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知识点一 切线的性质
圆的切线
圆的切线
垂直于
过切点的半径。答案
垂直于
解析
【分析】
本题是对圆切线基础性质的直接考查，属于概念记忆类题型，解题时只需回忆课本中关于切线性质的定理内容，即可直接写出对应结论。
【解析】
根据圆的切线性质定理的明确规定：圆的切线垂直于过切点的半径，因此横线处应填入对应的表述。
【答案】
垂直于
【知识点】
切线的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对核心几何定理的掌握情况，该性质是解决所有切线相关几何题的核心基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题是对圆切线基础性质的直接考查，属于概念记忆类题型，解题时只需回忆课本中关于切线性质的定理内容，即可直接写出对应结论。
【解析】
根据圆的切线性质定理的明确规定：圆的切线垂直于过切点的半径，因此横线处应填入对应的表述。
【答案】
垂直于
【知识点】
切线的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对核心几何定理的掌握情况，该性质是解决所有切线相关几何题的核心基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
例1 如图，$△ ABC$的边$AC$与$\odot O$相交于$C$，$D$两点，且经过圆心$O$，边$AB$与$\odot O$相切，切点为$B$.若$∠ C＝28°$，则$∠ A$的度数为（）
A.$38°$
B.$36°$
C.$34°$
D.$32°$
解析 如图，连接$OB$.
则$∠ AOB＝2∠ C＝2×28°＝56°$.
因为$AB$与$\odot O$相切，
所以$OB⊥ AB$. 所以$∠ ABO＝90°$.
所以$∠ A＝90°－56°＝34°$.
答案 C
A.$38°$
B.$36°$
C.$34°$
D.$32°$
解析 如图，连接$OB$.
则$∠ AOB＝2∠ C＝2×28°＝56°$.
因为$AB$与$\odot O$相切，
所以$OB⊥ AB$. 所以$∠ ABO＝90°$.
所以$∠ A＝90°－56°＝34°$.
答案 C
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，已知AB是⊙O的切线，切点为B，遇到切线问题通常优先连接圆心与切点，构造垂直关系；其次已知圆周角∠C的度数，可利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠AOB的度数；最后在得到的直角三角形ABO中，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：如图，连接OB。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得
$∠ AOB = 2∠ C = 2×28° = 56°$
∵AB与⊙O相切，切点为B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径
∴$OB⊥ AB$，即$∠ ABO = 90°$
在$Rt△ ABO$中，两锐角互余，因此
$∠ A = 90° - ∠ AOB = 90° - 56° = 34°$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题型，核心考察圆中常见辅助线的构造思路，结合基础几何定理即可求解，是圆章节的常规考点题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，已知AB是⊙O的切线，切点为B，遇到切线问题通常优先连接圆心与切点，构造垂直关系；其次已知圆周角∠C的度数，可利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠AOB的度数；最后在得到的直角三角形ABO中，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：如图，连接OB。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得
$∠ AOB = 2∠ C = 2×28° = 56°$
∵AB与⊙O相切，切点为B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径
∴$OB⊥ AB$，即$∠ ABO = 90°$
在$Rt△ ABO$中，两锐角互余，因此
$∠ A = 90° - ∠ AOB = 90° - 56° = 34°$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题型，核心考察圆中常见辅助线的构造思路，结合基础几何定理即可求解，是圆章节的常规考点题。
【难度系数】
0.8
知识点二 切线的判定定理
经过
经过
半径的外端
并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线。答案
半径的外端 这条半径
解析
【分析】
本题考查切线判定定理的内容识记，解题时需回忆切线判定需同时满足的两个核心条件：一是直线要经过半径和圆的交点也就是半径的外端，二是直线和对应的半径位置关系为互相垂直，两个条件缺一不可，结合定理原文即可补全空缺内容。
【解析】
根据切线的判定定理可知：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。需注意两个条件必须同时满足，仅满足其中一个条件的直线都不属于圆的切线。
【答案】
半径的外端；这条半径
【知识点】
切线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对切线判定定理内容的准确记忆，牢记定理的两个必要条件是答对本题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查切线判定定理的内容识记，解题时需回忆切线判定需同时满足的两个核心条件：一是直线要经过半径和圆的交点也就是半径的外端，二是直线和对应的半径位置关系为互相垂直，两个条件缺一不可，结合定理原文即可补全空缺内容。
【解析】
根据切线的判定定理可知：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。需注意两个条件必须同时满足，仅满足其中一个条件的直线都不属于圆的切线。
【答案】
半径的外端；这条半径
【知识点】
切线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对切线判定定理内容的准确记忆，牢记定理的两个必要条件是答对本题的关键。
【难度系数】
0.9
例2 如图，已知$∠ AOB=30°$，$M$为边$OB$上任意一点，以$M$为圆心，2 cm长为半径作$\odot M$，当$OM$等于 cm时，$\odot M$与$OA$相切。
解题要点
先由圆周角定理求出$∠ AOB$，再由切线的性质得到$OB⊥ AB$，最后根据直角三角形的性质计算即可。
解析 如图，作$MH⊥ OA$于点$H$.当$MH＝2$ cm时，$\odot M$与$OA$相切.因为$∠ AOB＝30°$，所以$OM＝2MH＝4$ cm.即当$OM＝4$ cm时，$\odot M$与$OA$相切。
答案 4
解题要点
先由圆周角定理求出$∠ AOB$，再由切线的性质得到$OB⊥ AB$，最后根据直角三角形的性质计算即可。
解析 如图，作$MH⊥ OA$于点$H$.当$MH＝2$ cm时，$\odot M$与$OA$相切.因为$∠ AOB＝30°$，所以$OM＝2MH＝4$ cm.即当$OM＝4$ cm时，$\odot M$与$OA$相切。
答案 4
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的判定条件：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。因此我们先过圆心M作OA的垂线段MH，此时MH的长度就是圆心M到OA的距离。当⊙M与OA相切时，MH的长度等于⊙M的半径2cm，再结合已知的∠AOB=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出OM的长度。
【解析】
过点M作$MH ⊥ OA$于点H。
若$\odot M$与$OA$相切，则圆心$M$到直线$OA$的距离等于$\odot M$的半径，即$MH = 2\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHM$中，$∠ OHM = 90°$，$∠ AOB = 30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$MH = \frac{1}{2}OM$
因此$OM = 2MH = 2 × 2 = 4\mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是圆与直角三角形性质结合的基础题型，解题核心是抓住相切时圆心到直线的距离等于半径这一关键条件，再结合特殊直角三角形的边角关系计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆直线与圆相切的判定条件：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。因此我们先过圆心M作OA的垂线段MH，此时MH的长度就是圆心M到OA的距离。当⊙M与OA相切时，MH的长度等于⊙M的半径2cm，再结合已知的∠AOB=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出OM的长度。
【解析】
过点M作$MH ⊥ OA$于点H。
若$\odot M$与$OA$相切，则圆心$M$到直线$OA$的距离等于$\odot M$的半径，即$MH = 2\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHM$中，$∠ OHM = 90°$，$∠ AOB = 30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$MH = \frac{1}{2}OM$
因此$OM = 2MH = 2 × 2 = 4\mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是圆与直角三角形性质结合的基础题型，解题核心是抓住相切时圆心到直线的距离等于半径这一关键条件，再结合特殊直角三角形的边角关系计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
