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例2 已知$\odot O$的半径为2，直线$l$上有一点$P$满足$OP=2$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是
解析 当$OP$垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d=2=r$，$\odot O$与$l$相切；
当$OP$不垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d＜2=r$，$\odot O$与直线$l$相交。
故直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
答案 相切或相交
解题要点
通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而确定直线与圆的位置关系。
相切或相交
。解析 当$OP$垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d=2=r$，$\odot O$与$l$相切；
当$OP$不垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d＜2=r$，$\odot O$与直线$l$相交。
故直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
答案 相切或相交
解题要点
通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而确定直线与圆的位置关系。
答案
答案 相切或相交
解析 当$OP$垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d=2=r$，$\odot O$与$l$相切；
当$OP$不垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d＜2=r$，$\odot O$与直线$l$相交。
故直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
解题要点
通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而确定直线与圆的位置关系。
解析 当$OP$垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d=2=r$，$\odot O$与$l$相切；
当$OP$不垂直于直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d＜2=r$，$\odot O$与直线$l$相交。
故直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
解题要点
通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而确定直线与圆的位置关系。
解析
【分析】
判断直线与圆的位置关系的核心依据是：比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小，若$d=r$则直线与圆相切，$d＜r$则相交，$d＞r$则相离。本题中已知$OP=2=r$，但点$P$只是直线$l$上的点，$OP$不一定是圆心$O$到直线$l$的距离，因此需要分两种情况讨论：一是$OP$与直线$l$垂直的情况，二是$OP$与直线$l$不垂直的情况，结合垂线段最短的性质分别推导$d$与$r$的大小关系即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2$，直线$l$上一点$P$满足$OP=2$，分两种情况讨论：
1. 当$OP⊥$直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d=OP=2=r$，此时$\odot O$与直线$l$相切；
2. 当$OP$不垂直于直线$l$时，根据垂线段最短的性质，圆心$O$到直线$l$的距离$d＜OP=2=r$，此时$\odot O$与直线$l$相交。
综上，直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
【答案】
相切或相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂线段最短
【点评】
本题易错点是默认$OP$为圆心到直线的距离，仅得出相切的结论，忽略$OP$与直线不垂直的情况，解题时要注意分类讨论所有可能的情形。
【难度系数】
0.6
判断直线与圆的位置关系的核心依据是：比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小，若$d=r$则直线与圆相切，$d＜r$则相交，$d＞r$则相离。本题中已知$OP=2=r$，但点$P$只是直线$l$上的点，$OP$不一定是圆心$O$到直线$l$的距离，因此需要分两种情况讨论：一是$OP$与直线$l$垂直的情况，二是$OP$与直线$l$不垂直的情况，结合垂线段最短的性质分别推导$d$与$r$的大小关系即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2$，直线$l$上一点$P$满足$OP=2$，分两种情况讨论：
1. 当$OP⊥$直线$l$时，圆心$O$到直线$l$的距离$d=OP=2=r$，此时$\odot O$与直线$l$相切；
2. 当$OP$不垂直于直线$l$时，根据垂线段最短的性质，圆心$O$到直线$l$的距离$d＜OP=2=r$，此时$\odot O$与直线$l$相交。
综上，直线$l$与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
【答案】
相切或相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂线段最短
【点评】
本题易错点是默认$OP$为圆心到直线的距离，仅得出相切的结论，忽略$OP$与直线不垂直的情况，解题时要注意分类讨论所有可能的情形。
【难度系数】
0.6
1. 已知$\odot O$的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与$\odot O$的位置关系的图形是（
B
）答案
1. B
解析
【分析】
要判断直线l和$\odot O$的位置关系，首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系判断。已知$\odot O$半径r=5，圆心到直线l的距离d=3，可得d＜r，说明直线和圆相交，且d≠0，说明圆心不在直线l上，再对照四个选项排除不符合的即可。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d：
①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交。
由题可知，r=5，d=3，$\because 3＜5$，即d＜r，$\therefore$直线l与$\odot O$相交，且d=3≠0，说明圆心O不在直线l上。
对选项逐一判断：
A选项：圆心O在直线l上，此时d=0，不符合题意；
B选项：直线l与圆相交，且圆心不在直线上，符合题意；
C选项：直线l与圆相切，此时d=r=5，不符合题意；
D选项：直线l与圆相离，此时d＞r=5，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础题型，考查直线与圆位置关系的判断，熟练掌握“通过比较圆心到直线距离和半径的大小判定位置关系”的方法，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断直线l和$\odot O$的位置关系，首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系判断。已知$\odot O$半径r=5，圆心到直线l的距离d=3，可得d＜r，说明直线和圆相交，且d≠0，说明圆心不在直线l上，再对照四个选项排除不符合的即可。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d：
①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交。
由题可知，r=5，d=3，$\because 3＜5$，即d＜r，$\therefore$直线l与$\odot O$相交，且d=3≠0，说明圆心O不在直线l上。
对选项逐一判断：
A选项：圆心O在直线l上，此时d=0，不符合题意；
B选项：直线l与圆相交，且圆心不在直线上，符合题意；
C选项：直线l与圆相切，此时d=r=5，不符合题意；
D选项：直线l与圆相离，此时d＞r=5，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础题型，考查直线与圆位置关系的判断，熟练掌握“通过比较圆心到直线距离和半径的大小判定位置关系”的方法，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 3\ \mathrm{cm}$，$AC = 4\ \mathrm{cm}$，以点$C$为圆心，$2.5\ \mathrm{cm}$为半径画圆，则直线$AB$与$\odot O$的位置关系是（
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
A
）A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
答案
2. A
解析
【分析】
要判断直线和圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小：若$d＜r$，直线与圆相交；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＞r$，直线与圆相离。本题圆心为点$C$，直线为$AB$，因此首先需要用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再通过直角三角形等面积法求出点$C$到$AB$的距离，最后和半径$2.5\mathrm{cm}$比较大小即可得出结论。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC=4\mathrm{cm}$，$BC=3\mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得斜边长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{cm}$
设点$C$到直线$AB$的距离为$h$，由三角形面积公式可知：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· h$
代入数值计算：
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× h$
解得$h=2.4\mathrm{cm}$
已知圆的半径$r=2.5\mathrm{cm}$，因为$2.4\mathrm{cm}＜2.5\mathrm{cm}$，即$d＜r$，所以直线$AB$与$\odot C$相交。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握直线与圆三种位置关系的判定规则，灵活运用等面积法求解直角三角形斜边上的高，能有效考查对基础知识点的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断直线和圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小：若$d＜r$，直线与圆相交；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＞r$，直线与圆相离。本题圆心为点$C$，直线为$AB$，因此首先需要用勾股定理求出斜边$AB$的长度，再通过直角三角形等面积法求出点$C$到$AB$的距离，最后和半径$2.5\mathrm{cm}$比较大小即可得出结论。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC=4\mathrm{cm}$，$BC=3\mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得斜边长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{cm}$
设点$C$到直线$AB$的距离为$h$，由三角形面积公式可知：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· h$
代入数值计算：
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× h$
解得$h=2.4\mathrm{cm}$
已知圆的半径$r=2.5\mathrm{cm}$，因为$2.4\mathrm{cm}＜2.5\mathrm{cm}$，即$d＜r$，所以直线$AB$与$\odot C$相交。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握直线与圆三种位置关系的判定规则，灵活运用等面积法求解直角三角形斜边上的高，能有效考查对基础知识点的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图，将圆向左平移3格后，与线段AB的交点有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：第一步，先从网格中获取基础信息：确定线段AB的位置、长度，以及圆的半径、初始时圆心到AB所在直线的距离；第二步，根据平移的性质，计算圆向左平移3格后，圆心到AB所在直线的新距离；第三步，结合圆的半径，判断圆与AB所在直线的位置关系，再验证交点是否在线段AB范围内，最终得到交点个数。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 观察可得，线段AB是竖直放置的线段，长度为6；右侧圆的直径为6，因此圆的半径$r=3$。
2. 初始状态下，圆心到AB所在竖直直线的水平距离为5，将圆向左平移3格后，圆心到AB所在直线的水平距离变为$5-3=2$。
3. 因为$2＜r=3$，所以平移后的圆与AB所在直线相交，有2个公共点；又因为AB的长度为6，和圆的直径相等，这两个公共点均落在线段AB上，因此交点共有2个。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合网格考查平移和直线与圆位置关系的应用，需要学生准确从网格中提取线段长度、距离等信息，再根据直线与圆位置关系的判定规则求解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，避免漏判交点是否在线段上。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：第一步，先从网格中获取基础信息：确定线段AB的位置、长度，以及圆的半径、初始时圆心到AB所在直线的距离；第二步，根据平移的性质，计算圆向左平移3格后，圆心到AB所在直线的新距离；第三步，结合圆的半径，判断圆与AB所在直线的位置关系，再验证交点是否在线段AB范围内，最终得到交点个数。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 观察可得，线段AB是竖直放置的线段，长度为6；右侧圆的直径为6，因此圆的半径$r=3$。
2. 初始状态下，圆心到AB所在竖直直线的水平距离为5，将圆向左平移3格后，圆心到AB所在直线的水平距离变为$5-3=2$。
3. 因为$2＜r=3$，所以平移后的圆与AB所在直线相交，有2个公共点；又因为AB的长度为6，和圆的直径相等，这两个公共点均落在线段AB上，因此交点共有2个。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合网格考查平移和直线与圆位置关系的应用，需要学生准确从网格中提取线段长度、距离等信息，再根据直线与圆位置关系的判定规则求解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，避免漏判交点是否在线段上。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\odot O$的半径为8，圆心O到直线l的距离是6，则直线l与$\odot O$的位置关系是
相交
。答案
4. 相交
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是对比圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系。解题时首先提取题目给出的半径、圆心到直线的距离两个数值，再根据两者的大小对应匹配位置关系即可。
【解析】
直线与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，①若d＜r，直线与圆相交；②若d=r，直线与圆相切；③若d＞r，直线与圆相离。
由题可知，⊙O的半径r=8，圆心O到直线l的距离d=6，
因为6＜8，即d＜r，因此直线l与⊙O的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础考查题，只要牢记直线和圆三种位置关系对应的d与r的大小关系，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是对比圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系。解题时首先提取题目给出的半径、圆心到直线的距离两个数值，再根据两者的大小对应匹配位置关系即可。
【解析】
直线与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，①若d＜r，直线与圆相交；②若d=r，直线与圆相切；③若d＞r，直线与圆相离。
由题可知，⊙O的半径r=8，圆心O到直线l的距离d=6，
因为6＜8，即d＜r，因此直线l与⊙O的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础考查题，只要牢记直线和圆三种位置关系对应的d与r的大小关系，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
5. 在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，－3），则把圆向上平移
1或5
个单位长度后与x轴相切.答案
5. 1或5
解析
【分析】
解题思路：首先明确圆与x轴相切的核心条件是圆心到x轴的距离等于半径，x轴对应的纵坐标为0，因此圆心纵坐标的绝对值等于半径。再结合向上平移的坐标变化规律：向上平移a个单位时，圆心纵坐标增加a，设平移量为a，列出绝对值方程求解即可，注意要考虑圆在x轴上方相切和下方相切两种情况，避免漏解。
【解析】
设圆向上平移$a$个单位长度后与x轴相切（$a＞0$）。
已知原圆心坐标为$(3,-3)$，平移后圆心坐标为$(3, -3+a)$。
圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于半径，已知圆半径为2，因此圆心纵坐标的绝对值等于2，可列方程：
$\left| -3 + a \right| = 2$
分两种情况解方程：
1. 当$-3+a = 2$时，解得$a=5$；
2. 当$-3+a = -2$时，解得$a=1$。
两个解均满足$a＞0$的要求，符合题意。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；坐标平移规律；绝对值方程求解
【点评】
本题易错点是只考虑圆在x轴上方相切的情况，忽略圆在x轴下方也可与x轴相切，解题时要结合几何图形的位置特征全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先明确圆与x轴相切的核心条件是圆心到x轴的距离等于半径，x轴对应的纵坐标为0，因此圆心纵坐标的绝对值等于半径。再结合向上平移的坐标变化规律：向上平移a个单位时，圆心纵坐标增加a，设平移量为a，列出绝对值方程求解即可，注意要考虑圆在x轴上方相切和下方相切两种情况，避免漏解。
【解析】
设圆向上平移$a$个单位长度后与x轴相切（$a＞0$）。
已知原圆心坐标为$(3,-3)$，平移后圆心坐标为$(3, -3+a)$。
圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于半径，已知圆半径为2，因此圆心纵坐标的绝对值等于2，可列方程：
$\left| -3 + a \right| = 2$
分两种情况解方程：
1. 当$-3+a = 2$时，解得$a=5$；
2. 当$-3+a = -2$时，解得$a=1$。
两个解均满足$a＞0$的要求，符合题意。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；坐标平移规律；绝对值方程求解
【点评】
本题易错点是只考虑圆在x轴上方相切的情况，忽略圆在x轴下方也可与x轴相切，解题时要结合几何图形的位置特征全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B，C，解答下列问题：
（1）将⊙A向左平移
（2）求BC的长.
（1）将⊙A向左平移
3
个单位长度后与y轴首次相切，得到⊙A'，此时点A'的坐标为（2，1）
，阴影部分的面积S的大小为6
；（2）求BC的长.
答案
6. 解（1）3 （2，1） 6
（2）如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D. 则BC=2DC. 由A(5，1)可得AD=1. 因为半径AC=2，所以在Rt△ADC中，DC=$\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. 所以BC=2$\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先明确圆与y轴相切的条件：圆心到y轴的距离等于半径。已知⊙A圆心为(5,1)，半径为2，向左平移首次与y轴相切时，圆心横坐标应为2，据此可计算平移距离和A'坐标；求阴影面积时，利用两个圆半径相等的特点，采用割补法将不规则阴影转化为规则的长方形计算面积即可。
（2）解决第二问求弦长BC，根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此构造直角三角形ADC，结合勾股定理计算弦长的一半，再乘2即可得到BC的长度。
【解析】
（1）⊙A的圆心坐标为A(5,1)，半径r=2，当圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径，即圆心横坐标为2，因此向左平移的距离为$5-2=3$个单位长度，此时点A'的坐标为$(2,1)$。
由于⊙A和⊙A'半径相等，二者重叠部分的弓形面积相等，将阴影中左侧的弓形补到右侧圆的空缺弓形位置，阴影部分可转化为长为3、宽为2的长方形，因此阴影面积$S=3×2=6$。
（2）连接AC，过点A作$AD⊥BC$于点D，根据垂径定理可得$BC=2DC$。
由A(5,1)可知AD的长度为1（AD为点A到x轴的距离），已知半径$AC=2$，在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
因此$BC=2DC=2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）3；$(2,1)$；6
（2）BC的长为$2\sqrt{3}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、平移的应用以及不规则图形面积的计算，解题的关键是掌握圆相切的判定条件、垂径定理的应用，同时灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形求解，注重对基础方法和基础定理的考查。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先明确圆与y轴相切的条件：圆心到y轴的距离等于半径。已知⊙A圆心为(5,1)，半径为2，向左平移首次与y轴相切时，圆心横坐标应为2，据此可计算平移距离和A'坐标；求阴影面积时，利用两个圆半径相等的特点，采用割补法将不规则阴影转化为规则的长方形计算面积即可。
（2）解决第二问求弦长BC，根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此构造直角三角形ADC，结合勾股定理计算弦长的一半，再乘2即可得到BC的长度。
【解析】
（1）⊙A的圆心坐标为A(5,1)，半径r=2，当圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径，即圆心横坐标为2，因此向左平移的距离为$5-2=3$个单位长度，此时点A'的坐标为$(2,1)$。
由于⊙A和⊙A'半径相等，二者重叠部分的弓形面积相等，将阴影中左侧的弓形补到右侧圆的空缺弓形位置，阴影部分可转化为长为3、宽为2的长方形，因此阴影面积$S=3×2=6$。
（2）连接AC，过点A作$AD⊥BC$于点D，根据垂径定理可得$BC=2DC$。
由A(5,1)可知AD的长度为1（AD为点A到x轴的距离），已知半径$AC=2$，在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
因此$BC=2DC=2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）3；$(2,1)$；6
（2）BC的长为$2\sqrt{3}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、平移的应用以及不规则图形面积的计算，解题的关键是掌握圆相切的判定条件、垂径定理的应用，同时灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形求解，注重对基础方法和基础定理的考查。
【难度系数】
0.7
