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9. 将直线$y=-\frac{1}{2}x -1$向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为
$y=-\dfrac{1}{2}x$
。答案
9.$y=-\dfrac{1}{2}x$
解析
【分析】
解决本题首先要明确一次函数图象上下平移的变化规律：一次函数平移时，代表斜率的一次项系数$k$保持不变，仅常数项$b$发生变化，遵循“上加下减”的原则，即向上平移$n$个单位，常数项加$n$，向下平移$n$个单位，常数项减$n$。本题是向上平移1个单位，因此只需给原函数的常数项加1即可得到新的函数表达式。
【解析】
已知原直线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x -1$，根据一次函数上下平移“上加下减常数项”的规律，向上平移1个单位长度时，一次项系数不变，常数项加1：
所得新直线的函数表达式为：
$y=-\frac{1}{2}x -1 +1$
化简得$y=-\frac{1}{2}x$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x$
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数的表达式
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，核心考查上下平移时解析式的变化规则，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速解题，注意不要混淆上下平移和左右平移的调整对象。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确一次函数图象上下平移的变化规律：一次函数平移时，代表斜率的一次项系数$k$保持不变，仅常数项$b$发生变化，遵循“上加下减”的原则，即向上平移$n$个单位，常数项加$n$，向下平移$n$个单位，常数项减$n$。本题是向上平移1个单位，因此只需给原函数的常数项加1即可得到新的函数表达式。
【解析】
已知原直线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x -1$，根据一次函数上下平移“上加下减常数项”的规律，向上平移1个单位长度时，一次项系数不变，常数项加1：
所得新直线的函数表达式为：
$y=-\frac{1}{2}x -1 +1$
化简得$y=-\frac{1}{2}x$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x$
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数的表达式
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，核心考查上下平移时解析式的变化规则，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速解题，注意不要混淆上下平移和左右平移的调整对象。
【难度系数】
0.9
10. 在函数$y=\frac{2x}{7x -5}$中，自变量$x$的取值范围为
$x ≠ \dfrac{5}{7}$
。答案
10.$x ≠ \dfrac{5}{7}$
解析
【分析】
拿到求函数自变量取值范围的题目时，首先判断函数表达式的类型，本题的函数是分式形式，根据分式的相关性质，分式有意义的前提是分母不能为0，因此我们只需要让分母对应的代数式不等于0，解出x的限制条件即可，分子为整式，对x的取值无额外限制。
【解析】
要使函数$y=\frac{2x}{7x -5}$有意义，需满足分母不为0，即：
$7x - 5 ≠ 0$
移项得：$7x ≠ 5$
系数化为1得：$x ≠ \frac{5}{7}$
【答案】
$x ≠ \dfrac{5}{7}$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查分式型函数自变量取值范围的求解，解题核心是牢记分式有意义时分母不为0的性质，计算量小，掌握基础知识点即可得分。
【难度系数】
0.9
拿到求函数自变量取值范围的题目时，首先判断函数表达式的类型，本题的函数是分式形式，根据分式的相关性质，分式有意义的前提是分母不能为0，因此我们只需要让分母对应的代数式不等于0，解出x的限制条件即可，分子为整式，对x的取值无额外限制。
【解析】
要使函数$y=\frac{2x}{7x -5}$有意义，需满足分母不为0，即：
$7x - 5 ≠ 0$
移项得：$7x ≠ 5$
系数化为1得：$x ≠ \frac{5}{7}$
【答案】
$x ≠ \dfrac{5}{7}$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查分式型函数自变量取值范围的求解，解题核心是牢记分式有意义时分母不为0的性质，计算量小，掌握基础知识点即可得分。
【难度系数】
0.9
11. 已知$m$是整数，且一次函数$y=(m+4)x + m + 2$的图象不经过第二象限，则$m=$
$-3$或$-2$
答案
11.$-3$或$-2$
解析
【分析】要解决这道题，首先回忆一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与系数的关系：图象不经过第二象限，说明函数的斜率为正（保证图象从左下向右上延伸，不会经过第二象限），且与y轴的交点不在正半轴（避免图象向上延伸进入第二象限）。据此列出关于m的不等式组，结合m是整数的条件求解即可，注意要同时满足一次函数的定义（$k≠0$）。
【解析】
∵一次函数$y=(m+4)x+m+2$的图象不经过第二象限
∴需满足两个条件：
1. 一次项系数大于0：$m+4＞0$，解得$m＞-4$
2. 常数项小于等于0：$m+2≤0$，解得$m≤-2$
联立得m的取值范围：$-4＜m≤-2$
又
∵m是整数，且$m＞-4$时$m+4≠0$，满足一次函数定义
∴m的可能取值为$-3$或$-2$
【答案】$-3$或$-2$
【知识点】一次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式组；整数解求解
【点评】本题是一次函数性质的基础应用题型，易错点是容易忽略常数项等于0的情况（即正比例函数，也属于一次函数，图象仅过一、三象限，也符合不经过第二象限的要求），解题时要注意考虑全面，结合限定条件筛选结果。
【难度系数】0.6
【解析】
∵一次函数$y=(m+4)x+m+2$的图象不经过第二象限
∴需满足两个条件：
1. 一次项系数大于0：$m+4＞0$，解得$m＞-4$
2. 常数项小于等于0：$m+2≤0$，解得$m≤-2$
联立得m的取值范围：$-4＜m≤-2$
又
∵m是整数，且$m＞-4$时$m+4≠0$，满足一次函数定义
∴m的可能取值为$-3$或$-2$
【答案】$-3$或$-2$
【知识点】一次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式组；整数解求解
【点评】本题是一次函数性质的基础应用题型，易错点是容易忽略常数项等于0的情况（即正比例函数，也属于一次函数，图象仅过一、三象限，也符合不经过第二象限的要求），解题时要注意考虑全面，结合限定条件筛选结果。
【难度系数】0.6
12.若直线$y=-x+a$和直线$y=x+b$的交点坐标为$(m,8)$，则$a+b=$
16
.答案
12.16
解析
【分析】
解题思路：首先明确两条直线的交点坐标同时满足两条直线的函数解析式，因此可以将交点坐标分别代入两个解析式得到两个关于a、b、m的等式，再观察等式的结构，将两个等式相加即可消去未知参数m，直接求出a+b的值，不需要单独求解m的具体数值，运用整体思想简化计算。
【解析】
∵ 点$(m,8)$是直线$y=-x+a$和直线$y=x+b$的交点
∴ 将点$(m,8)$代入$y=-x+a$，得：
$8 = -m + a$ ①
将点$(m,8)$代入$y=x+b$，得：
$8 = m + b$ ②
将①和②左右两边分别相加，可得：
$8 + 8 = (-m + a) + (m + b)$
化简得：$16 = a + b$
即$a + b = 16$
【答案】
16
【知识点】
一次函数交点的意义；代数式整体求值
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考查对一次函数交点坐标含义的理解，解题时无需单独求出m的取值，通过整体相加的方法即可快速得到结果，巧妙运用整体思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确两条直线的交点坐标同时满足两条直线的函数解析式，因此可以将交点坐标分别代入两个解析式得到两个关于a、b、m的等式，再观察等式的结构，将两个等式相加即可消去未知参数m，直接求出a+b的值，不需要单独求解m的具体数值，运用整体思想简化计算。
【解析】
∵ 点$(m,8)$是直线$y=-x+a$和直线$y=x+b$的交点
∴ 将点$(m,8)$代入$y=-x+a$，得：
$8 = -m + a$ ①
将点$(m,8)$代入$y=x+b$，得：
$8 = m + b$ ②
将①和②左右两边分别相加，可得：
$8 + 8 = (-m + a) + (m + b)$
化简得：$16 = a + b$
即$a + b = 16$
【答案】
16
【知识点】
一次函数交点的意义；代数式整体求值
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考查对一次函数交点坐标含义的理解，解题时无需单独求出m的取值，通过整体相加的方法即可快速得到结果，巧妙运用整体思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
13.直线$y=-2x+5$与坐标轴围成的三角形的面积是
$\dfrac{25}{4}$
。答案
13.$\dfrac{25}{4}$
解析
【分析】
要计算直线与坐标轴围成的三角形面积，首先需要明确：直线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，先求出这两个交点的坐标；直线与两坐标轴围成的是直角三角形，直角在坐标原点，两条直角边的长度分别是两个交点的横、纵坐标的绝对值，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步，求直线与y轴的交点坐标：
当x=0时，代入$y=-2x+5$，得$y=-2×0+5=5$，即直线与y轴的交点为$(0,5)$，该交点到原点的距离为5。
第二步，求直线与x轴的交点坐标：
当y=0时，代入$y=-2x+5$，得$0=-2x+5$，解得$x=\frac{5}{2}$，即直线与x轴的交点为$(\frac{5}{2},0)$，该交点到原点的距离为$\frac{5}{2}$。
第三步，计算三角形面积：
直线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长度分别为5和$\frac{5}{2}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2} × 5 × \frac{5}{2} =\frac{25}{4}$。
【答案】
$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
1.一次函数与坐标轴交点求解
2.三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求解方法，结合几何图形的面积公式即可得出结果，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要计算直线与坐标轴围成的三角形面积，首先需要明确：直线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，先求出这两个交点的坐标；直线与两坐标轴围成的是直角三角形，直角在坐标原点，两条直角边的长度分别是两个交点的横、纵坐标的绝对值，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步，求直线与y轴的交点坐标：
当x=0时，代入$y=-2x+5$，得$y=-2×0+5=5$，即直线与y轴的交点为$(0,5)$，该交点到原点的距离为5。
第二步，求直线与x轴的交点坐标：
当y=0时，代入$y=-2x+5$，得$0=-2x+5$，解得$x=\frac{5}{2}$，即直线与x轴的交点为$(\frac{5}{2},0)$，该交点到原点的距离为$\frac{5}{2}$。
第三步，计算三角形面积：
直线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长度分别为5和$\frac{5}{2}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2} × 5 × \frac{5}{2} =\frac{25}{4}$。
【答案】
$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
1.一次函数与坐标轴交点求解
2.三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求解方法，结合几何图形的面积公式即可得出结果，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
14. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 $ y=2x+1 $ 的图象经过 $ P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2) $ 两点，若 $ x_1 ＜ x_2 $，则 $ y_1 $
$＜$
$ y_2 $.（填“＞”“＜”或“=”）答案
14.$＜$
解析
【分析】
要判断$y_1$和$y_2$的大小关系，首先需要明确所给一次函数的增减性。对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），$k$的符号决定了$y$随$x$变化的规律：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。我们先找到本题中一次函数的$k$值，判断增减性后，再结合$x_1＜x_2$的条件就能比较出$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
对于一次函数$y=2x+1$，其中$k=2＞0$，
根据一次函数的性质可知，该函数中$y$随$x$的增大而增大，
已知$x_1 ＜ x_2$，因此$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，解题的关键是掌握一次函数中$k$的符号与函数增减性的对应关系，能够直接根据自变量的大小关系判断函数值的大小。
【难度系数】
0.9
要判断$y_1$和$y_2$的大小关系，首先需要明确所给一次函数的增减性。对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），$k$的符号决定了$y$随$x$变化的规律：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。我们先找到本题中一次函数的$k$值，判断增减性后，再结合$x_1＜x_2$的条件就能比较出$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
对于一次函数$y=2x+1$，其中$k=2＞0$，
根据一次函数的性质可知，该函数中$y$随$x$的增大而增大，
已知$x_1 ＜ x_2$，因此$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，解题的关键是掌握一次函数中$k$的符号与函数增减性的对应关系，能够直接根据自变量的大小关系判断函数值的大小。
【难度系数】
0.9
15.如图，直线$l_1$，$l_2$交于点A，观察图象，点A的坐标可以看作方程组的解。
答案
15.$\begin{cases} y=-x+2,\\ y=2x-1 \end{cases}$
解析
【分析】
要确定点A的坐标是哪个方程组的解，需先明确：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。因此解题步骤为：首先用待定系数法分别求出直线$l_1$、$l_2$的一次函数解析式，再将两个解析式联立即可得到所求方程组。
【解析】
1. 求直线$l_2$的解析式：
设$l_2$的解析式为$y=k_1x+b_1$，由图象可知$l_2$过点$(0,2)$和$(2,0)$，
将$(0,2)$代入得：$b_1=2$，
再将$(2,0)$、$b_1=2$代入得：$0=2k_1+2$，解得$k_1=-1$，
因此$l_2$的解析式为$y=-x+2$。
2. 求直线$l_1$的解析式：
设$l_1$的解析式为$y=k_2x+b_2$，由图象可知$l_1$过点$(0,-1)$和$A(1,1)$，
将$(0,-1)$代入得：$b_2=-1$，
再将$(1,1)$、$b_2=-1$代入得：$1=k_2×1 -1$，解得$k_2=2$，
因此$l_1$的解析式为$y=2x-1$。
3. 联立两个解析式：
因为两直线交点坐标是对应方程组的解，所以点A的坐标可看作所求方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} y=-x+2\\ y=2x-1 \end{cases}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与方程组的关系；一次函数的图象
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，核心是利用待定系数法求出两条直线的解析式，掌握“两函数交点即为对应方程组的解”的规律即可快速解题，是一次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要确定点A的坐标是哪个方程组的解，需先明确：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。因此解题步骤为：首先用待定系数法分别求出直线$l_1$、$l_2$的一次函数解析式，再将两个解析式联立即可得到所求方程组。
【解析】
1. 求直线$l_2$的解析式：
设$l_2$的解析式为$y=k_1x+b_1$，由图象可知$l_2$过点$(0,2)$和$(2,0)$，
将$(0,2)$代入得：$b_1=2$，
再将$(2,0)$、$b_1=2$代入得：$0=2k_1+2$，解得$k_1=-1$，
因此$l_2$的解析式为$y=-x+2$。
2. 求直线$l_1$的解析式：
设$l_1$的解析式为$y=k_2x+b_2$，由图象可知$l_1$过点$(0,-1)$和$A(1,1)$，
将$(0,-1)$代入得：$b_2=-1$，
再将$(1,1)$、$b_2=-1$代入得：$1=k_2×1 -1$，解得$k_2=2$，
因此$l_1$的解析式为$y=2x-1$。
3. 联立两个解析式：
因为两直线交点坐标是对应方程组的解，所以点A的坐标可看作所求方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} y=-x+2\\ y=2x-1 \end{cases}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与方程组的关系；一次函数的图象
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，核心是利用待定系数法求出两条直线的解析式，掌握“两函数交点即为对应方程组的解”的规律即可快速解题，是一次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
16.若直线$y=k_1x+b_1(k_1＞0)$与$y=k_2x+b_2(k_2＜0)$相交于点$(-2,0)$，且两直线与y轴围成的三角形面积为4，则$b_1 - b_2=$
4
。答案
16.4
解析
【分析】
首先我们需要先明确两条直线与y轴的交点坐标，再找到两直线与y轴围成三角形的底和高：①一次函数与y轴交点的纵坐标就是解析式中的常数项，由此可得到两条直线和y轴的交点分别为(0,b₁)、(0,b₂)；②两直线交点为(-2,0)，该点到y轴的水平距离就是三角形的高，y轴上两个交点的距离就是三角形的底；③结合三角形面积公式列方程，再根据k₁、k₂的正负判断b₁、b₂的符号，去掉绝对值即可得到结果。
【解析】
步骤1：求两条直线与y轴的交点坐标
当x=0时，直线$y=k_1x+b_1$与y轴交于点$(0, b_1)$，直线$y=k_2x+b_2$与y轴交于点$(0, b_2)$。
步骤2：确定围成三角形的底和高
两直线交点为$(-2, 0)$，因此三条线围成的三角形三个顶点为$(-2, 0)$、$(0, b_1)$、$(0, b_2)$：
三角形在y轴上的边长（底）为：$|b_1 - b_2|$
该底边上的高为交点$(-2, 0)$到y轴的水平距离：$|-2|=2$
步骤3：结合面积公式计算
已知三角形面积为4，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$\frac{1}{2}×|b_1 - b_2|×2 = 4$
化简得$|b_1 - b_2|=4$
步骤4：判断符号去掉绝对值
因为$k_1＞0$，将交点$(-2,0)$代入$y=k_1x+b_1$得：$0=-2k_1 + b_1$，即$b_1=2k_1＞0$
因为$k_2＜0$，将交点$(-2,0)$代入$y=k_2x+b_2$得：$0=-2k_2 + b_2$，即$b_2=2k_2＜0$
因此$b_1 - b_2$为正数，所以$b_1 - b_2=4$
【答案】
4
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是准确找出两直线与y轴围成的三角形的底和高，结合斜率的正负判断常数项的符号是避免去绝对值出错的关键，属于一次函数的综合基础应用题。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先明确两条直线与y轴的交点坐标，再找到两直线与y轴围成三角形的底和高：①一次函数与y轴交点的纵坐标就是解析式中的常数项，由此可得到两条直线和y轴的交点分别为(0,b₁)、(0,b₂)；②两直线交点为(-2,0)，该点到y轴的水平距离就是三角形的高，y轴上两个交点的距离就是三角形的底；③结合三角形面积公式列方程，再根据k₁、k₂的正负判断b₁、b₂的符号，去掉绝对值即可得到结果。
【解析】
步骤1：求两条直线与y轴的交点坐标
当x=0时，直线$y=k_1x+b_1$与y轴交于点$(0, b_1)$，直线$y=k_2x+b_2$与y轴交于点$(0, b_2)$。
步骤2：确定围成三角形的底和高
两直线交点为$(-2, 0)$，因此三条线围成的三角形三个顶点为$(-2, 0)$、$(0, b_1)$、$(0, b_2)$：
三角形在y轴上的边长（底）为：$|b_1 - b_2|$
该底边上的高为交点$(-2, 0)$到y轴的水平距离：$|-2|=2$
步骤3：结合面积公式计算
已知三角形面积为4，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$\frac{1}{2}×|b_1 - b_2|×2 = 4$
化简得$|b_1 - b_2|=4$
步骤4：判断符号去掉绝对值
因为$k_1＞0$，将交点$(-2,0)$代入$y=k_1x+b_1$得：$0=-2k_1 + b_1$，即$b_1=2k_1＞0$
因为$k_2＜0$，将交点$(-2,0)$代入$y=k_2x+b_2$得：$0=-2k_2 + b_2$，即$b_2=2k_2＜0$
因此$b_1 - b_2$为正数，所以$b_1 - b_2=4$
【答案】
4
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是准确找出两直线与y轴围成的三角形的底和高，结合斜率的正负判断常数项的符号是避免去绝对值出错的关键，属于一次函数的综合基础应用题。
【难度系数】
0.6
17.现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为
$\dfrac{1}{5}$
小时.答案
17.$\dfrac{1}{5}$ [解析]设甲池中的水深度 $y_1$ 与注水时间 $x$ 之间的函数表达式是 $y_1=k_1x+b_1$，
$\therefore \begin{cases} b_1=4,\\ k_1+b_1=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=-4,\\ b_1=4. \end{cases}$
即 $y_1=-4x+4(0≤ x≤ 1).$
设乙池中的水深度 $y_2$ 与注水时间 $x$ 之间的函数表达式是 $y_2=k_2x+b_2$，
$\therefore \begin{cases} b_2=2,\\ k_2+b_2=8, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_2=6,\\ b_2=2. \end{cases}$
即 $y_2=6x+2(0≤ x≤ 1).$
令 $y_1=y_2$,则$-4x+4=6x+2$,解得 $x=\dfrac{1}{5}$，
$\therefore$当甲、乙两池中水的深度相同时,注水时间为$\dfrac{1}{5}$小时.
$\therefore \begin{cases} b_1=4,\\ k_1+b_1=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_1=-4,\\ b_1=4. \end{cases}$
即 $y_1=-4x+4(0≤ x≤ 1).$
设乙池中的水深度 $y_2$ 与注水时间 $x$ 之间的函数表达式是 $y_2=k_2x+b_2$，
$\therefore \begin{cases} b_2=2,\\ k_2+b_2=8, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_2=6,\\ b_2=2. \end{cases}$
即 $y_2=6x+2(0≤ x≤ 1).$
令 $y_1=y_2$,则$-4x+4=6x+2$,解得 $x=\dfrac{1}{5}$，
$\therefore$当甲、乙两池中水的深度相同时,注水时间为$\dfrac{1}{5}$小时.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要分别得到甲、乙两个蓄水池水的深度和注水时间的函数关系：观察图象可知，两个蓄水池的水深随注水时间的变化规律都是一次函数，我们可以利用图象上给出的已知点，通过待定系数法求出两个一次函数的解析式；再令两个函数的函数值相等（即水深相同），解出对应的$x$值，就是所求的注水时间。
【解析】
设甲蓄水池的水深$y_1$（米）与注水时间$x$（小时）的函数表达式为$y_1=k_1x+b_1$，
由图象可知函数过点$(0,4)$和$(1,0)$，代入得：
$\begin{cases} b_1=4 \\ k_1+b_1=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=-4 \\ b_1=4 \end{cases}$
即$y_1=-4x+4\quad(0≤ x≤1)$。
设乙蓄水池的水深$y_2$（米）与注水时间$x$（小时）的函数表达式为$y_2=k_2x+b_2$，
由图象可知函数过点$(0,2)$和$(1,8)$，代入得：
$\begin{cases} b_2=2 \\ k_2+b_2=8 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=6 \\ b_2=2 \end{cases}$
即$y_2=6x+2\quad(0≤ x≤1)$。
当两池水深相同时，$y_1=y_2$，即：
$-4x+4=6x+2$
移项整理得$10x=2$，
解得$x=\dfrac{1}{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
3. 解一元一次方程
【点评】
本题结合实际注水场景考查一次函数的相关应用，解题的核心是从图象中提取有效坐标信息求出两个函数的解析式，再通过解方程得到对应结果，侧重考查学生对基础知识的应用能力和读图提取信息的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们首先需要分别得到甲、乙两个蓄水池水的深度和注水时间的函数关系：观察图象可知，两个蓄水池的水深随注水时间的变化规律都是一次函数，我们可以利用图象上给出的已知点，通过待定系数法求出两个一次函数的解析式；再令两个函数的函数值相等（即水深相同），解出对应的$x$值，就是所求的注水时间。
【解析】
设甲蓄水池的水深$y_1$（米）与注水时间$x$（小时）的函数表达式为$y_1=k_1x+b_1$，
由图象可知函数过点$(0,4)$和$(1,0)$，代入得：
$\begin{cases} b_1=4 \\ k_1+b_1=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=-4 \\ b_1=4 \end{cases}$
即$y_1=-4x+4\quad(0≤ x≤1)$。
设乙蓄水池的水深$y_2$（米）与注水时间$x$（小时）的函数表达式为$y_2=k_2x+b_2$，
由图象可知函数过点$(0,2)$和$(1,8)$，代入得：
$\begin{cases} b_2=2 \\ k_2+b_2=8 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=6 \\ b_2=2 \end{cases}$
即$y_2=6x+2\quad(0≤ x≤1)$。
当两池水深相同时，$y_1=y_2$，即：
$-4x+4=6x+2$
移项整理得$10x=2$，
解得$x=\dfrac{1}{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
3. 解一元一次方程
【点评】
本题结合实际注水场景考查一次函数的相关应用，解题的核心是从图象中提取有效坐标信息求出两个函数的解析式，再通过解方程得到对应结果，侧重考查学生对基础知识的应用能力和读图提取信息的能力。
【难度系数】
0.7
18.已知点$A_1(a_1,a_2)$，$A_2(a_2,a_3)$，$A_3(a_3,a_4)$，…，$A_n(a_n,a_{n+1})$（$n$为正整数）都在一次函数$y=x+3$的图象上.若$a_1=2$，则$a_{2025}=$
6074
.答案
18.6074 [解析]由题意,得 $a_1=2,a_2=5,a_3=8,\dots$，
$\therefore a_n=2+3(n-1)=3n-1$，
$\therefore a_{2025}=6074.$
$\therefore a_n=2+3(n-1)=3n-1$，
$\therefore a_{2025}=6074.$
解析
【分析】
首先明确一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点$A_n(a_n,a_{n+1})$代入$y=x+3$可得到相邻两个数的关系：$a_{n+1}=a_n+3$，即后一个数比前一个数大3。已知$a_1=2$，我们可以先计算前几项找到变化规律，推导出$a_n$的通用表达式，再将$n=2025$代入表达式即可算出结果。
【解析】
∵点$A_1(a_1,a_2)$，$A_2(a_2,a_3)$，…，$A_n(a_n,a_{n+1})$都在一次函数$y=x+3$的图象上，
∴将点坐标代入函数解析式可得：$a_{n+1} = a_n + 3$，即相邻两个数的差值为3。
已知$a_1=2$，
则$a_2 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$，
$a_3 = a_2 + 3 = 5 + 3 = 8$，
……
由此归纳可得$a_n$的表达式：$a_n = a_1 + 3(n-1) = 2 + 3(n-1) = 3n - 1$。
当$n=2025$时，$a_{2025} = 3×2025 - 1 = 6075 - 1 = 6074$。
【答案】
6074
【知识点】
一次函数图象的点坐标特征，数字规律探究
【点评】
本题结合一次函数的性质考查数字规律的探究，解题的关键是利用一次函数图象上点的坐标特征推导出相邻两项的数量关系，进而归纳得到通项公式代入求解，侧重考查学生的规律归纳能力和代数计算能力。
【难度系数】
0.7
首先明确一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点$A_n(a_n,a_{n+1})$代入$y=x+3$可得到相邻两个数的关系：$a_{n+1}=a_n+3$，即后一个数比前一个数大3。已知$a_1=2$，我们可以先计算前几项找到变化规律，推导出$a_n$的通用表达式，再将$n=2025$代入表达式即可算出结果。
【解析】
∵点$A_1(a_1,a_2)$，$A_2(a_2,a_3)$，…，$A_n(a_n,a_{n+1})$都在一次函数$y=x+3$的图象上，
∴将点坐标代入函数解析式可得：$a_{n+1} = a_n + 3$，即相邻两个数的差值为3。
已知$a_1=2$，
则$a_2 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$，
$a_3 = a_2 + 3 = 5 + 3 = 8$，
……
由此归纳可得$a_n$的表达式：$a_n = a_1 + 3(n-1) = 2 + 3(n-1) = 3n - 1$。
当$n=2025$时，$a_{2025} = 3×2025 - 1 = 6075 - 1 = 6074$。
【答案】
6074
【知识点】
一次函数图象的点坐标特征，数字规律探究
【点评】
本题结合一次函数的性质考查数字规律的探究，解题的关键是利用一次函数图象上点的坐标特征推导出相邻两项的数量关系，进而归纳得到通项公式代入求解，侧重考查学生的规律归纳能力和代数计算能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19.已知两直线$ l_1:y=k_1x+b_1 $，$ l_2:y=k_2x+b_2 $。若$ l_1 ⊥ l_2 $，则有$ k_1 · k_2 = -1 $。
(1)已知$ y=2x+1 $与$ y=kx-1 $垂直，求$ k $；
(2)已知直线经过$ A(2,3) $，且与$ y=-\frac{1}{3}x+3 $垂直，求该直线的表达式。
19.已知两直线$ l_1:y=k_1x+b_1 $，$ l_2:y=k_2x+b_2 $。若$ l_1 ⊥ l_2 $，则有$ k_1 · k_2 = -1 $。
(1)已知$ y=2x+1 $与$ y=kx-1 $垂直，求$ k $；
(2)已知直线经过$ A(2,3) $，且与$ y=-\frac{1}{3}x+3 $垂直，求该直线的表达式。
答案
19.(1)$\because l_1 ⊥ l_2$,则$k_1 · k_2=-1$,$\therefore 2k=-1.$
解得 $k=-\dfrac{1}{2}.$
(2)所求直线的表达式为 $y=3x-3.$
解得 $k=-\dfrac{1}{2}.$
(2)所求直线的表达式为 $y=3x-3.$
解析
【分析】
(1) 题目明确给出两直线垂直时斜率乘积为-1的结论，解题时先提取两条已知直线的斜率，代入公式列方程求解即可。已知直线$y=2x+1$的斜率为2，$y=kx-1$的斜率为$k$，代入$k_1·k_2=-1$就能直接解出$k$的值。
(2) 首先根据两直线垂直的斜率关系求出所求直线的斜率，再用待定系数法设出直线的解析式，将已知点$A$的坐标代入解析式求解常数项$b$，即可得到直线表达式。
【解析】
(1) 已知直线$y=2x+1$与$y=kx-1$垂直，根据两直线垂直时$k_1·k_2=-1$的性质，可得：
$2·k=-1$
解得：$k=-\dfrac{1}{2}$
(2) 设过点$A$的直线解析式为$y=kx+b$，
∵ 该直线与$y=-\dfrac{1}{3}x+3$垂直，
∴ $k·(-\dfrac{1}{3})=-1$，解得$k=3$，
∴ 直线解析式为$y=3x+b$，
将点$A(2,3)$代入解析式得：$3=3×2+b$，
解得$b=-3$，
因此该直线的表达式为$y=3x-3$。
【答案】
(1) $k=-\dfrac{1}{2}$；(2) $y=3x-3$
【知识点】
1. 两直线垂直的斜率关系
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，核心是灵活运用题目给出的两直线垂直性质，结合待定系数法的常规求解步骤即可快速解题，计算量小，属于易得分题型。
【难度系数】
0.85
(1) 题目明确给出两直线垂直时斜率乘积为-1的结论，解题时先提取两条已知直线的斜率，代入公式列方程求解即可。已知直线$y=2x+1$的斜率为2，$y=kx-1$的斜率为$k$，代入$k_1·k_2=-1$就能直接解出$k$的值。
(2) 首先根据两直线垂直的斜率关系求出所求直线的斜率，再用待定系数法设出直线的解析式，将已知点$A$的坐标代入解析式求解常数项$b$，即可得到直线表达式。
【解析】
(1) 已知直线$y=2x+1$与$y=kx-1$垂直，根据两直线垂直时$k_1·k_2=-1$的性质，可得：
$2·k=-1$
解得：$k=-\dfrac{1}{2}$
(2) 设过点$A$的直线解析式为$y=kx+b$，
∵ 该直线与$y=-\dfrac{1}{3}x+3$垂直，
∴ $k·(-\dfrac{1}{3})=-1$，解得$k=3$，
∴ 直线解析式为$y=3x+b$，
将点$A(2,3)$代入解析式得：$3=3×2+b$，
解得$b=-3$，
因此该直线的表达式为$y=3x-3$。
【答案】
(1) $k=-\dfrac{1}{2}$；(2) $y=3x-3$
【知识点】
1. 两直线垂直的斜率关系
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，核心是灵活运用题目给出的两直线垂直性质，结合待定系数法的常规求解步骤即可快速解题，计算量小，属于易得分题型。
【难度系数】
0.85
20.某厂家生产A,B两种款式的布质环保购物袋,每天共生产4500个,两种购物袋的成本和售价如下表,设每天生产A种购物袋x个,每天共获利y元.
(1)求y与x的函数表达式；
(2)如果该厂每天最多投入成本10000元,那么每天最多获利多少元？
(1)求y与x的函数表达式；
(2)如果该厂每天最多投入成本10000元,那么每天最多获利多少元？
答案
20.(1)$y=-0.2x+2\ 250.$
(2)由题意,得 $2x+3(4\ 500-x)≤ 10\ 000$,
解得 $x≥ 3\ 500.$
$\because -0.2＜0$,
$\therefore$ 当 $x=3\ 500$ 时,$y$ 取最大值,为1 550.
故每天最多获利1 550元.
(2)由题意,得 $2x+3(4\ 500-x)≤ 10\ 000$,
解得 $x≥ 3\ 500.$
$\because -0.2＜0$,
$\therefore$ 当 $x=3\ 500$ 时,$y$ 取最大值,为1 550.
故每天最多获利1 550元.
解析
【分析】
(1)要求y与x的函数表达式，核心是明确总利润=A种购物袋总利润+B种购物袋总利润。先分别计算A、B单个购物袋的利润，再结合两种购物袋的生产数量，将总利润相加化简即可得到函数式。
(2)先根据“每天最多投入成本10000元”的限制条件，列出关于x的一元一次不等式，解出x的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性，找到使y取最大值时x的取值，代入计算即可得到最大获利。
【解析】
(1)已知每天生产A种购物袋x个，则每天生产B种购物袋$(4500-x)$个。
A每个利润：$2.3-2=0.3$（元），B每个利润：$3.5-3=0.5$（元）
总利润$y=0.3x + 0.5(4500-x)$
化简得：$y=0.3x +2250 -0.5x = -0.2x +2250$
(2)根据总成本不超过10000元，列不等式：
$2x +3(4500-x) ≤ 10000$
展开得：$2x +13500 -3x ≤ 10000$
移项合并得：$-x ≤ -3500$
解得：$x ≥ 3500$
在函数$y=-0.2x+2250$中，$k=-0.2＜0$，因此y随x的增大而减小，
所以当x取最小值3500时，y取得最大值，
代入得：$y=-0.2×3500 +2250 = 1550$（元）
【答案】
(1)$y=-0.2x+2250$
(2)每天最多获利1550元
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是典型的一次函数实际应用问题，解题关键是理清题意，找准等量关系列函数解析式，再结合不等式的限制条件和一次函数的增减性求解最值，这类题型属于常考题型，需要熟练掌握解题思路。
【难度系数】
0.7
(1)要求y与x的函数表达式，核心是明确总利润=A种购物袋总利润+B种购物袋总利润。先分别计算A、B单个购物袋的利润，再结合两种购物袋的生产数量，将总利润相加化简即可得到函数式。
(2)先根据“每天最多投入成本10000元”的限制条件，列出关于x的一元一次不等式，解出x的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性，找到使y取最大值时x的取值，代入计算即可得到最大获利。
【解析】
(1)已知每天生产A种购物袋x个，则每天生产B种购物袋$(4500-x)$个。
A每个利润：$2.3-2=0.3$（元），B每个利润：$3.5-3=0.5$（元）
总利润$y=0.3x + 0.5(4500-x)$
化简得：$y=0.3x +2250 -0.5x = -0.2x +2250$
(2)根据总成本不超过10000元，列不等式：
$2x +3(4500-x) ≤ 10000$
展开得：$2x +13500 -3x ≤ 10000$
移项合并得：$-x ≤ -3500$
解得：$x ≥ 3500$
在函数$y=-0.2x+2250$中，$k=-0.2＜0$，因此y随x的增大而减小，
所以当x取最小值3500时，y取得最大值，
代入得：$y=-0.2×3500 +2250 = 1550$（元）
【答案】
(1)$y=-0.2x+2250$
(2)每天最多获利1550元
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是典型的一次函数实际应用问题，解题关键是理清题意，找准等量关系列函数解析式，再结合不等式的限制条件和一次函数的增减性求解最值，这类题型属于常考题型，需要熟练掌握解题思路。
【难度系数】
0.7
