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23. 玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装修公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元. 玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成.
(1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？
(1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？
答案
23.(1)设甲公司的工作效率为$m$,乙公司的工作效率为$n$，
则$\begin{cases}6(m+n)=1, \\4m+9n=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{10}, \\n=\dfrac{1}{15}.\end{cases}$则甲、乙单独完成这次工程分别需要10周、15周，
故从节约时间的角度考虑应选择甲公司.
(2)由(1),知甲、乙单独完成这次工程分别需10周、15周.
设需付甲公司每周装修费$x$万元,乙公司$y$万元.
则$\begin{cases}6x+6y=5.2, \\4x+9y=4.8,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\dfrac{3}{5}, \\y=\dfrac{4}{15}.\end{cases}$
此时,$10x=6,15y=4.$
故从节约开支的角度出发应选择乙公司.
则$\begin{cases}6(m+n)=1, \\4m+9n=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{10}, \\n=\dfrac{1}{15}.\end{cases}$则甲、乙单独完成这次工程分别需要10周、15周，
故从节约时间的角度考虑应选择甲公司.
(2)由(1),知甲、乙单独完成这次工程分别需10周、15周.
设需付甲公司每周装修费$x$万元,乙公司$y$万元.
则$\begin{cases}6x+6y=5.2, \\4x+9y=4.8,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\dfrac{3}{5}, \\y=\dfrac{4}{15}.\end{cases}$
此时,$10x=6,15y=4.$
故从节约开支的角度出发应选择乙公司.
解析
【分析】
本题需分别从时间、开支两个维度选择最优装修公司，解题思路如下：
(1) 节约时间即比较两家公司单独完工的时长，时长由工作效率决定。我们将总工程量设为单位“1”，设甲、乙的工作效率分别为$m$、$n$，根据“甲乙合作6周完工”“甲做4周后乙做9周完工”两个等量关系列二元一次方程组，解出效率后即可算出单独完工的时长，选择用时更短的公司即可。
(2) 节约开支即比较两家公司单独完工的总费用，需要先算出两家每周的装修费用。设每周付甲$x$万元、付乙$y$万元，根据“合作6周总费用5.2万元”“甲做4周乙做9周总费用4.8万元”列方程组，解出每周费用后乘以各自单独完工的时长，得到总费用后选择更低的即可。
【解析】
(1) 设甲公司的工作效率为$m$，乙公司的工作效率为$n$，总工程量记为单位“1”，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6(m+n)=1, \\4m+9n=1,\end{cases}$
由第一个方程得$m=\frac{1}{6}-n$，代入第二个方程解得：
$4(\frac{1}{6}-n)+9n=1$，化简得$5n=\frac{1}{3}$，即$n=\frac{1}{15}$，
代入$m=\frac{1}{6}-n$得$m=\frac{1}{10}$。
因此甲单独完工需$1÷\frac{1}{10}=10$周，乙单独完工需$1÷\frac{1}{15}=15$周，$10＜15$，故选甲公司更省时间。
(2) 设需付甲公司每周装修费$x$万元，乙公司每周装修费$y$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6x+6y=5.2, \\4x+9y=4.8,\end{cases}$
将第一个方程化简为$3x+3y=2.6$，两边乘3得$9x+9y=7.8$，减去第二个方程得$5x=3$，解得$x=\frac{3}{5}$，
代入$3x+3y=2.6$解得$y=\frac{4}{15}$。
因此甲单独完工总费用为$10×\frac{3}{5}=6$万元，乙单独完工总费用为$15×\frac{4}{15}=4$万元，$4＜6$，故选乙公司更省开支。
【答案】
(1) 从节约时间的角度考虑应选甲公司；
(2) 从节约开支的角度考虑应选乙公司。
【知识点】
二元一次方程组应用，工程问题，最优方案选择
【点评】
本题是生活场景下的方案选择类典型题，核心是将实际问题转化为数学方程组求解，找准工作总量、总费用对应的等量关系是解题的关键，能有效考察学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题需分别从时间、开支两个维度选择最优装修公司，解题思路如下：
(1) 节约时间即比较两家公司单独完工的时长，时长由工作效率决定。我们将总工程量设为单位“1”，设甲、乙的工作效率分别为$m$、$n$，根据“甲乙合作6周完工”“甲做4周后乙做9周完工”两个等量关系列二元一次方程组，解出效率后即可算出单独完工的时长，选择用时更短的公司即可。
(2) 节约开支即比较两家公司单独完工的总费用，需要先算出两家每周的装修费用。设每周付甲$x$万元、付乙$y$万元，根据“合作6周总费用5.2万元”“甲做4周乙做9周总费用4.8万元”列方程组，解出每周费用后乘以各自单独完工的时长，得到总费用后选择更低的即可。
【解析】
(1) 设甲公司的工作效率为$m$，乙公司的工作效率为$n$，总工程量记为单位“1”，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6(m+n)=1, \\4m+9n=1,\end{cases}$
由第一个方程得$m=\frac{1}{6}-n$，代入第二个方程解得：
$4(\frac{1}{6}-n)+9n=1$，化简得$5n=\frac{1}{3}$，即$n=\frac{1}{15}$，
代入$m=\frac{1}{6}-n$得$m=\frac{1}{10}$。
因此甲单独完工需$1÷\frac{1}{10}=10$周，乙单独完工需$1÷\frac{1}{15}=15$周，$10＜15$，故选甲公司更省时间。
(2) 设需付甲公司每周装修费$x$万元，乙公司每周装修费$y$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6x+6y=5.2, \\4x+9y=4.8,\end{cases}$
将第一个方程化简为$3x+3y=2.6$，两边乘3得$9x+9y=7.8$，减去第二个方程得$5x=3$，解得$x=\frac{3}{5}$，
代入$3x+3y=2.6$解得$y=\frac{4}{15}$。
因此甲单独完工总费用为$10×\frac{3}{5}=6$万元，乙单独完工总费用为$15×\frac{4}{15}=4$万元，$4＜6$，故选乙公司更省开支。
【答案】
(1) 从节约时间的角度考虑应选甲公司；
(2) 从节约开支的角度考虑应选乙公司。
【知识点】
二元一次方程组应用，工程问题，最优方案选择
【点评】
本题是生活场景下的方案选择类典型题，核心是将实际问题转化为数学方程组求解，找准工作总量、总费用对应的等量关系是解题的关键，能有效考察学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
24. 传统文化 漆器 “平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药.”平遥推光漆器因其历史悠久和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、北京漆器并称为中国四大漆器.某漆器厂清明前生产A，B两种首饰盒，若生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3 100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3 800元.
(1)每件A，B首饰盒的生产成本分别是多少元？
(2)该厂准备用不超过12 900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍，问共有几种生产方案？
(1)每件A，B首饰盒的生产成本分别是多少元？
(2)该厂准备用不超过12 900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍，问共有几种生产方案？
答案
24.(1)设每件A首饰盒的生产成本是$x$元,每件B首饰盒的生产成本是$y$元，
由题意,得$\begin{cases}10x+20y=3\ 100, \\20x+10y=3\ 800,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=150, \\y=80.\end{cases}$
故每件A首饰盒的生产成本是150元,每件B首饰盒的生产成本是80元.
(2)设该厂生产B首饰盒$m$件，
由题意,得$\begin{cases}100-m≥2m, \\150(100-m)+80m≤12\ 900,\end{cases}$
解得$30≤ m≤\dfrac{100}{3}.$
$\because m$取正整数,$\therefore m$可取30,31,32,33，
$\therefore$ 共有4种生产方案.
由题意,得$\begin{cases}10x+20y=3\ 100, \\20x+10y=3\ 800,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=150, \\y=80.\end{cases}$
故每件A首饰盒的生产成本是150元,每件B首饰盒的生产成本是80元.
(2)设该厂生产B首饰盒$m$件，
由题意,得$\begin{cases}100-m≥2m, \\150(100-m)+80m≤12\ 900,\end{cases}$
解得$30≤ m≤\dfrac{100}{3}.$
$\because m$取正整数,$\therefore m$可取30,31,32,33，
$\therefore$ 共有4种生产方案.
解析
【分析】
(1) 题目给出了两种不同生产组合对应的总成本，存在两个明确的等量关系，我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解A、B两种首饰盒的单件成本。
(2) 已知两种首饰盒总生产数量、总资金上限，以及A、B的数量关系，我们可以设生产B首饰盒的数量为$m$，用含$m$的式子表示A首饰盒的数量，再将两个限制条件转化为不等式，组成一元一次不等式组，解出$m$的取值范围，最后结合$m$为正整数的实际意义，统计符合条件的$m$的个数，即可得到生产方案的数量。
【解析】
(1) 设每件A首饰盒的生产成本是$x$元，每件B首饰盒的生产成本是$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}10x+20y=3100 \\20x+10y=3800\end{cases}$
化简方程组得$\begin{cases}x+2y=310 \\2x+y=380\end{cases}$，用消元法求解，得$\begin{cases}x=150 \\y=80\end{cases}$。
(2) 设该厂生产B首饰盒$m$件，则生产A首饰盒$(100-m)$件。
由题意列不等式组：
$\begin{cases}100-m≥2m \\150(100-m)+80m≤12900\end{cases}$
解第一个不等式得：$m≤\dfrac{100}{3}$
解第二个不等式得：$m≥30$
因此不等式组的解集为$30≤ m≤\dfrac{100}{3}$。
因为$m$为正整数，所以$m$可取30、31、32、33，共4个取值，对应4种生产方案。
【答案】
(1) 每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元；
(2) 共有4种生产方案。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式组应用；方案设计
【点评】
本题以传统漆器工艺为背景，考查方程与不等式的实际应用，解题的核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程组与不等式组，同时注意实际问题中未知数的取值需符合正整数的要求。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出了两种不同生产组合对应的总成本，存在两个明确的等量关系，我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解A、B两种首饰盒的单件成本。
(2) 已知两种首饰盒总生产数量、总资金上限，以及A、B的数量关系，我们可以设生产B首饰盒的数量为$m$，用含$m$的式子表示A首饰盒的数量，再将两个限制条件转化为不等式，组成一元一次不等式组，解出$m$的取值范围，最后结合$m$为正整数的实际意义，统计符合条件的$m$的个数，即可得到生产方案的数量。
【解析】
(1) 设每件A首饰盒的生产成本是$x$元，每件B首饰盒的生产成本是$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}10x+20y=3100 \\20x+10y=3800\end{cases}$
化简方程组得$\begin{cases}x+2y=310 \\2x+y=380\end{cases}$，用消元法求解，得$\begin{cases}x=150 \\y=80\end{cases}$。
(2) 设该厂生产B首饰盒$m$件，则生产A首饰盒$(100-m)$件。
由题意列不等式组：
$\begin{cases}100-m≥2m \\150(100-m)+80m≤12900\end{cases}$
解第一个不等式得：$m≤\dfrac{100}{3}$
解第二个不等式得：$m≥30$
因此不等式组的解集为$30≤ m≤\dfrac{100}{3}$。
因为$m$为正整数，所以$m$可取30、31、32、33，共4个取值，对应4种生产方案。
【答案】
(1) 每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元；
(2) 共有4种生产方案。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式组应用；方案设计
【点评】
本题以传统漆器工艺为背景，考查方程与不等式的实际应用，解题的核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程组与不等式组，同时注意实际问题中未知数的取值需符合正整数的要求。
【难度系数】
0.7
25. 我们知道乌鸦喝水的故事.现在来做一个道理相同的游戏.如图,在圆柱形玻璃桶里已有定量的水,将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中.显然,在有水溢出之前,每投入一个棋子,桶里水位的高度都会有变化.根据如图信息,解答下列各题:
(1)投入第1个围棋子后,水位上升了
(2)设投入了n个围棋子,没有水溢出.用n表示此时桶里水位的高度.
(3)小亮认为投入72个围棋子,正好可使水位达到桶的高度.你同意他的观点吗?说说理由.
(第25题)
(1)投入第1个围棋子后,水位上升了
0.25
cm,此时桶里的水位高度达到了12.25
cm.(2)设投入了n个围棋子,没有水溢出.用n表示此时桶里水位的高度.
(3)小亮认为投入72个围棋子,正好可使水位达到桶的高度.你同意他的观点吗?说说理由.
(第25题)答案
25.(1)0.25 12.25 [解析]无围棋子时,水位12 cm,加入12个围棋子时,水位上升了3 cm,$\therefore$ 每增加一个围棋子,水位上升$3÷12=0.25$(cm).故投入第1个围棋子后,水位上升了0.25 cm,此时筒里的水位高度达到了12.25 cm.
(2)由(1)知,每增加一个围棋子,水位上升0.25 cm,
故桶里水位的高度为$(0.25n+12)$cm.
(3)同意.理由如下：
$\because$ 当$n=72$时,$0.25n+12=30$,
$\therefore$ 正好使水位达到桶的高度.
(2)由(1)知,每增加一个围棋子,水位上升0.25 cm,
故桶里水位的高度为$(0.25n+12)$cm.
(3)同意.理由如下：
$\because$ 当$n=72$时,$0.25n+12=30$,
$\therefore$ 正好使水位达到桶的高度.
解析
【分析】
解题时先从题图提取关键信息：无棋子时水位高12cm，投入12个棋子后水位高15cm，玻璃桶总高度为30cm。
针对(1)：先算12个棋子使水位上升的总高度，再除以棋子数得到单个棋子带来的水位上升高度，加初始水位就是投1个棋子后的水位高度。
针对(2)：水位总高度=初始水位高度+n个棋子带来的水位总上升高度，代入单个棋子的上升高度即可得到对应表达式。
针对(3)：将n=72代入第(2)问的代数式，计算结果和桶的总高度30cm对比，相等则观点正确，反之错误。
【解析】
(1) 由图可知，无围棋子时水位高度为12cm，投入12个围棋子后水位高度为15cm，
12个棋子使水位总上升高度：$15-12=3(\mathrm{cm})$，
单个棋子使水位上升高度：$3÷12=0.25(\mathrm{cm})$，
投入1个棋子后水位高度：$12+0.25=12.25(\mathrm{cm})$。
(2) 投入n个围棋子时，水位总上升高度为$0.25n\ \mathrm{cm}$，初始水位为12cm，
因此此时桶里水位的高度为$(0.25n+12)\ \mathrm{cm}$。
(3) 同意小亮的观点，理由如下：
将$n=72$代入水位高度表达式得：
$0.25×72+12=18+12=30(\mathrm{cm})$，
计算结果和玻璃桶总高度相等，因此投入72个围棋子正好可使水位达到桶的高度。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.25}$；$\boldsymbol{12.25}$
(2) 水位高度为$\boldsymbol{(0.25n+12)\ \mathrm{cm}}$
(3) 同意，当$n=72$时，$0.25n+12=30$，正好达到桶的高度。
【知识点】
列代数式；代数式求值；实际问题的数量关系
【点评】
本题结合熟悉的生活场景命题，考查学生从图形提取信息、用代数式表示变化规律以及代入求值的能力，解题核心是先求出单个棋子带来的水位上升高度，题目贴合生活实际，能有效锻炼学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.8
解题时先从题图提取关键信息：无棋子时水位高12cm，投入12个棋子后水位高15cm，玻璃桶总高度为30cm。
针对(1)：先算12个棋子使水位上升的总高度，再除以棋子数得到单个棋子带来的水位上升高度，加初始水位就是投1个棋子后的水位高度。
针对(2)：水位总高度=初始水位高度+n个棋子带来的水位总上升高度，代入单个棋子的上升高度即可得到对应表达式。
针对(3)：将n=72代入第(2)问的代数式，计算结果和桶的总高度30cm对比，相等则观点正确，反之错误。
【解析】
(1) 由图可知，无围棋子时水位高度为12cm，投入12个围棋子后水位高度为15cm，
12个棋子使水位总上升高度：$15-12=3(\mathrm{cm})$，
单个棋子使水位上升高度：$3÷12=0.25(\mathrm{cm})$，
投入1个棋子后水位高度：$12+0.25=12.25(\mathrm{cm})$。
(2) 投入n个围棋子时，水位总上升高度为$0.25n\ \mathrm{cm}$，初始水位为12cm，
因此此时桶里水位的高度为$(0.25n+12)\ \mathrm{cm}$。
(3) 同意小亮的观点，理由如下：
将$n=72$代入水位高度表达式得：
$0.25×72+12=18+12=30(\mathrm{cm})$，
计算结果和玻璃桶总高度相等，因此投入72个围棋子正好可使水位达到桶的高度。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.25}$；$\boldsymbol{12.25}$
(2) 水位高度为$\boldsymbol{(0.25n+12)\ \mathrm{cm}}$
(3) 同意，当$n=72$时，$0.25n+12=30$，正好达到桶的高度。
【知识点】
列代数式；代数式求值；实际问题的数量关系
【点评】
本题结合熟悉的生活场景命题，考查学生从图形提取信息、用代数式表示变化规律以及代入求值的能力，解题核心是先求出单个棋子带来的水位上升高度，题目贴合生活实际，能有效锻炼学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.8
