26. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 [阅读理解]
两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化.
例如:如图(1),$MN// PQ$,点$C,B$分别在直线$MN,PQ$上,点$A$在直线$MN,PQ$之间.
求证:$∠ CAB=∠ MCA+∠ PBA$.
证明:如图(1),过点$A$作$AD// MN$.
$\because MN// PQ,AD// MN$,
$\therefore AD// MN// PQ$,
$\therefore ∠ MCA=∠ DAC,∠ PBA=∠ DAB$,
$\therefore ∠ CAB=∠ DAC+∠ DAB=∠ MCA+∠ PBA$,即$∠ CAB=∠ MCA+∠ PBA$.
[类比应用]已知直线$AB// CD$,$P$为平面内一点,连接$PA$,$PD$.
(1)如图(2),已知$∠ A=40°,∠ D=150°$,求$∠ APD$的度数,请说明理由;
(2)如图(3),设$∠ PAB=α,∠ CDP=β$,猜想$α,β,∠ P$之间的数量关系为;
[联系拓展](3)如图(4),直线$AB// CD$,$P$为平面内一点,连接$PA$,$PD$,$AP⊥ PD$,$DN$平分$∠ PDC$,若$∠ PAN+\frac{1}{2}∠ PAB=∠ P$,运用(2)中的结论,直接写出$∠ N$的度数,则$∠ N$的度数为.

精题详解

26.(1)如图(1),过点$P$作$PE// AB$.
$\because AB// CD,PE// AB,\therefore AB// PE// CD$,
$\therefore ∠ APE=∠ A=40°,∠ DPE+∠ D=180°$,
$\therefore ∠ DPE=180°-150°=30°$,
$\therefore ∠ APD=∠ APE+∠ DPE=40°+30°=70°.$

(2)$α+β-∠ DPA=180°$ [解析]如图(2),过点$P$作$PE// AB$.
$\because AB// CD,PE// AB,\therefore AB// PE// CD$,
$\therefore ∠ DPE=∠ CDP=β,∠ APE+∠ PAB=180°$,
$\therefore ∠ APE=180°-α.$
$\because ∠ DPE=∠ DPA+∠ APE=∠ DPA+180°-α$,
$\therefore β=∠ DPA+180°-α$,
$\therefore α+β-∠ DPA=180°.$
(3)$45°$ [解析]如图(3),设$PD$交$AN$于点$O$.

$\because AP⊥ PD,\therefore ∠ P=90°.$
$\because ∠ PAN+\dfrac{1}{2}∠ PAB=∠ P$,
$\therefore ∠ PAN+\dfrac{1}{2}∠ PAB=90°.$
$\because ∠ POA+∠ PAN=90°,\therefore ∠ POA=\dfrac{1}{2}∠ PAB.$
$\because ∠ POA=∠ NOD,\therefore ∠ NOD=\dfrac{1}{2}∠ PAB.$
$\because DN$平分$∠ PDC,\therefore ∠ ODN=\dfrac{1}{2}∠ PDC$,
$\therefore ∠ AND=180°-∠ NOD-∠ ODN=180°-\dfrac{1}{2}(∠ PAB+∠ PDC).$
由(2),得$∠ PDC+∠ PAB-∠ P=180°$,
$\therefore ∠ PDC+∠ PAB=180°+∠ P$,
$\therefore ∠ AND=180°-\dfrac{1}{2}(∠ PAB+∠ PDC)=180°-\dfrac{1}{2}(180°+∠ P)=180°-\dfrac{1}{2}(180°+90°)=45°.$

【分析】
本题属于平行线间的拐点类问题，通用解题思路是过拐点作已知平行线的平行线，利用“平行于同一直线的两直线互相平行”得到多条平行线，再借助平行线的性质转化角的关系求解：
(1) 求∠APD的度数时，过点P作平行于AB的辅助线，将∠APD拆分为两个角，分别和已知的∠A、∠D建立联系，求和即可得到结果；
(2) 探究三个角的数量关系时，同样过P作平行线，分别用α、β表示出与∠APD相关的角，整理等式即可得到三者的关系；
(3) 求∠N的度数时，先结合垂直的性质得到∠P=90°，再利用已知角的等量关系、对顶角相等、角平分线的定义，将∠N所在三角形的另外两个内角用∠PAB和∠PDC表示，最后代入第(2)问的结论计算即可。
【解析】
(1) 如图(1)，过点$P$作$PE// AB$。
$\because AB// CD,PE// AB,\therefore AB// PE// CD$，
$\therefore ∠ APE=∠ A=40°,∠ DPE+∠ D=180°$，
$\therefore ∠ DPE=180°-150°=30°$，
$\therefore ∠ APD=∠ APE+∠ DPE=40°+30°=70°$。

(2) 如图(2)，过点$P$作$PE// AB$。
$\because AB// CD,PE// AB,\therefore AB// PE// CD$，
$\therefore ∠ DPE=∠ CDP=β,∠ APE+∠ PAB=180°$，
$\therefore ∠ APE=180°-α$。
$\because ∠ DPE=∠ DPA+∠ APE=∠ DPA+180°-α$，
$\therefore β=∠ DPA+180°-α$，
整理得$α+β-∠ DPA=180°$。
(3) 如图(3)，设$PD$交$AN$于点$O$。

$\because AP⊥ PD,\therefore ∠ P=90°$。
$\because ∠ PAN+\dfrac{1}{2}∠ PAB=∠ P$，
$\therefore ∠ PAN+\dfrac{1}{2}∠ PAB=90°$。
$\because ∠ POA+∠ PAN=90°,\therefore ∠ POA=\dfrac{1}{2}∠ PAB$。
$\because ∠ POA=∠ NOD,\therefore ∠ NOD=\dfrac{1}{2}∠ PAB$。
$\because DN$平分$∠ PDC,\therefore ∠ ODN=\dfrac{1}{2}∠ PDC$，
$\therefore ∠ AND=180°-∠ NOD-∠ ODN=180°-\dfrac{1}{2}(∠ PAB+∠ PDC)$。
由(2)的结论可得$∠ PDC+∠ PAB-∠ P=180°$，
$\therefore ∠ PDC+∠ PAB=180°+∠ P$，
代入得$∠ AND=180°-\dfrac{1}{2}(180°+90°)=45°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70°}$，辅助线作图见；
(2) $\boldsymbol{α+β-∠ DPA=180°}$；
(3) $\boldsymbol{45°}$，辅助线作图见。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等
【点评】
本题是典型的平行线间拐点应用问题，从基础角度计算到规律探究再到拓展应用层层递进，核心解题方法是过拐点作平行线转化角的关系，最后一问需要结合前面探究的结论进行整体代入计算，很好地考查了类比迁移能力和综合运算能力。
【难度系数】
0.5