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10. 已知下列命题:①若$a＞0,b＞0$,则$a+b＞0$;②若$a≠b$,则$a^2≠b^2$;③内错角相等,两直线平行;④等角的补角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心概念：①原命题是题目给出的命题，逆命题是将原命题的题设和结论互换得到的命题；②判断真命题需要严格推导，判断假命题只需举一个反例即可。解题步骤为：逐个分析4个命题，先判断原命题的真假，再写出其逆命题判断真假，最后统计原命题和逆命题均为真命题的个数即可。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
1. 命题①：
原命题：若$a＞0,b＞0$,则$a+b＞0$。正数加正数结果一定为正，是真命题。
逆命题：若$a+b＞0$，则$a＞0,b＞0$。举反例：$a=3,b=-1$，$a+b=2＞0$但$b＜0$，逆命题为假命题，不符合要求。
2. 命题②：
原命题：若$a≠b$,则$a^2≠b^2$。举反例：$a=2,b=-2$，$a≠b$但$a^2=b^2=4$，原命题为假命题，不符合要求。
3. 命题③：
原命题：内错角相等,两直线平行。这是平行线的判定定理，是真命题。
逆命题：两直线平行，内错角相等。这是平行线的性质定理，是真命题，符合要求。
4. 命题④：
原命题：等角的补角相等。若两个角相等，它们的补角都等于$180°$减去这个角，所以补角相等，是真命题。
逆命题：若两个角的补角相等，则这两个角相等。推导：设两个角为$∠1$、$∠2$，若$180°-∠1=180°-∠2$，则$∠1=∠2$，逆命题为真命题，符合要求。
综上，原命题和逆命题均为真命题的是③和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
命题与逆命题，真假命题判定，平行线的判定与性质
【点评】
本题考查对命题相关概念的掌握，以及对代数基本性质、几何定理的熟悉度，举反例是判断假命题的高效方法，解题时要注意不要仅凭直觉判断，要结合相关性质严谨推导。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确两个核心概念：①原命题是题目给出的命题，逆命题是将原命题的题设和结论互换得到的命题；②判断真命题需要严格推导，判断假命题只需举一个反例即可。解题步骤为：逐个分析4个命题，先判断原命题的真假，再写出其逆命题判断真假，最后统计原命题和逆命题均为真命题的个数即可。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
1. 命题①：
原命题：若$a＞0,b＞0$,则$a+b＞0$。正数加正数结果一定为正，是真命题。
逆命题：若$a+b＞0$，则$a＞0,b＞0$。举反例：$a=3,b=-1$，$a+b=2＞0$但$b＜0$，逆命题为假命题，不符合要求。
2. 命题②：
原命题：若$a≠b$,则$a^2≠b^2$。举反例：$a=2,b=-2$，$a≠b$但$a^2=b^2=4$，原命题为假命题，不符合要求。
3. 命题③：
原命题：内错角相等,两直线平行。这是平行线的判定定理，是真命题。
逆命题：两直线平行，内错角相等。这是平行线的性质定理，是真命题，符合要求。
4. 命题④：
原命题：等角的补角相等。若两个角相等，它们的补角都等于$180°$减去这个角，所以补角相等，是真命题。
逆命题：若两个角的补角相等，则这两个角相等。推导：设两个角为$∠1$、$∠2$，若$180°-∠1=180°-∠2$，则$∠1=∠2$，逆命题为真命题，符合要求。
综上，原命题和逆命题均为真命题的是③和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
命题与逆命题，真假命题判定，平行线的判定与性质
【点评】
本题考查对命题相关概念的掌握，以及对代数基本性质、几何定理的熟悉度，举反例是判断假命题的高效方法，解题时要注意不要仅凭直觉判断，要结合相关性质严谨推导。
【难度系数】
0.7
11.若0.000 000 2=2×10^a，则a=
-7
.答案
11.-7
解析
【分析】
本题考查用科学记数法表示小于1的正数，解题思路如下：首先回忆科学记数法表示较小数的规则：形式为$a×10^{-n}$（其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数），$n$的值等于原数左侧第一个非零数字前所有0的总个数，也等于把原数变形为$a$时小数点向右移动的位数。我们只需要数清楚0.0000002中2前面的0的个数，或者计算把0.0000002变为2时小数点移动的位数，就能确定10的指数，得到$a$的值。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数，一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ |a|＜10$，$n$为正整数，$n$的大小等于原数左起第一个非零数字前所有0的总个数。
观察原数$0.0000002$，第一个非零数字是2，2前面一共有7个0（包含小数点前的0），因此$n=7$，所以$0.0000002=2×10^{-7}$，对比题目中的$2×10^a$，可得$a=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查科学记数法的应用，解题的关键是准确判断负指数的数值，只要掌握数非零数字前0的个数或小数点移动位数的方法，就能快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查用科学记数法表示小于1的正数，解题思路如下：首先回忆科学记数法表示较小数的规则：形式为$a×10^{-n}$（其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数），$n$的值等于原数左侧第一个非零数字前所有0的总个数，也等于把原数变形为$a$时小数点向右移动的位数。我们只需要数清楚0.0000002中2前面的0的个数，或者计算把0.0000002变为2时小数点移动的位数，就能确定10的指数，得到$a$的值。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数，一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ |a|＜10$，$n$为正整数，$n$的大小等于原数左起第一个非零数字前所有0的总个数。
观察原数$0.0000002$，第一个非零数字是2，2前面一共有7个0（包含小数点前的0），因此$n=7$，所以$0.0000002=2×10^{-7}$，对比题目中的$2×10^a$，可得$a=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查科学记数法的应用，解题的关键是准确判断负指数的数值，只要掌握数非零数字前0的个数或小数点移动位数的方法，就能快速得分。
【难度系数】
0.9
12.若$4^x=5,4^y=3$,则$4^{x+y}=$
15
;若$a^x=2$,则$a^{3x}=$8
.答案
12.15 8
解析
【分析】
本题考查幂的运算公式的逆用，解题思路如下：1. 对于求$4^{x+y}$，回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，反过来可得$a^{m+n}=a^m · a^n$，代入已知的$4^x$和$4^y$的值即可计算；2. 对于求$a^{3x}$，回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$，反过来可得$a^{mn}=(a^m)^n$，把3x看作3×x，代入已知的$a^x$的值计算即可。
【解析】
1. 计算$4^{x+y}$：
根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$4^{x+y}=4^x · 4^y$
将$4^x=5$，$4^y=3$代入得：
$4^{x+y}=5 × 3 = 15$
2. 计算$a^{3x}$：
根据幂的乘方的逆运算可得：
$a^{3x}=(a^x)^3$
将$a^x=2$代入得：
$a^{3x}=2^3=8$
【答案】
15；8
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是考查幂的运算法则的灵活运用，尤其是公式的逆用是幂运算部分的常见考法，熟练记忆公式并能正向、逆向灵活转换即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的运算公式的逆用，解题思路如下：1. 对于求$4^{x+y}$，回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，反过来可得$a^{m+n}=a^m · a^n$，代入已知的$4^x$和$4^y$的值即可计算；2. 对于求$a^{3x}$，回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$，反过来可得$a^{mn}=(a^m)^n$，把3x看作3×x，代入已知的$a^x$的值计算即可。
【解析】
1. 计算$4^{x+y}$：
根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$4^{x+y}=4^x · 4^y$
将$4^x=5$，$4^y=3$代入得：
$4^{x+y}=5 × 3 = 15$
2. 计算$a^{3x}$：
根据幂的乘方的逆运算可得：
$a^{3x}=(a^x)^3$
将$a^x=2$代入得：
$a^{3x}=2^3=8$
【答案】
15；8
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是考查幂的运算法则的灵活运用，尤其是公式的逆用是幂运算部分的常见考法，熟练记忆公式并能正向、逆向灵活转换即可快速解题。
【难度系数】
0.9
13.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转66°得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B=
57
°。答案
13.57
解析
【分析】
解题时先根据旋转的性质，确定对应边AB与AD相等，且旋转角∠BAD为66°，由此可知△ABD是等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ 将△ABC绕点A逆时针旋转66°得到△ADE，
∴ AB=AD，∠BAD=66°，
∴ △ABD为等腰三角形，∠B=∠ADB，
根据三角形内角和定理可得：
∠B=(180°−∠BAD)÷2=(180°−66°)÷2=57°。
【答案】
57
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是结合旋转的性质找到相等线段和已知角，构造等腰三角形后利用内角和计算角度，是几何中旋转类问题的常见考法，需要熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.75
解题时先根据旋转的性质，确定对应边AB与AD相等，且旋转角∠BAD为66°，由此可知△ABD是等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ 将△ABC绕点A逆时针旋转66°得到△ADE，
∴ AB=AD，∠BAD=66°，
∴ △ABD为等腰三角形，∠B=∠ADB，
根据三角形内角和定理可得：
∠B=(180°−∠BAD)÷2=(180°−66°)÷2=57°。
【答案】
57
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是结合旋转的性质找到相等线段和已知角，构造等腰三角形后利用内角和计算角度，是几何中旋转类问题的常见考法，需要熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.75
14.一个角的余角比这个角的补角的一半小40°,则这个角的度数为
80°
.答案
14.80°
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设这个角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义分别表示出这个角的余角和补角，结合题目给出的“余角比补角的一半小40°”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程就能得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $。
根据余角和补角的定义，该角的余角为$ 90° - x $，补角为$ 180° - x $。
根据题意列方程：
$ 90 - x = \frac{1}{2}(180 - x) - 40 $
去括号得：
$ 90 - x = 90 - \frac{1}{2}x - 40 $
移项得：
$ -x + \frac{1}{2}x = 90 - 40 - 90 $
合并同类项得：
$ -\frac{1}{2}x = -40 $
系数化为1得：
$ x = 80 $
【答案】
$ 80° $
【知识点】
1.余角与补角的定义
2.一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是准确掌握余角、补角的概念，正确梳理题目中的等量关系列方程求解，是余角补角相关知识的典型考查方式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先设这个角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义分别表示出这个角的余角和补角，结合题目给出的“余角比补角的一半小40°”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程就能得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $。
根据余角和补角的定义，该角的余角为$ 90° - x $，补角为$ 180° - x $。
根据题意列方程：
$ 90 - x = \frac{1}{2}(180 - x) - 40 $
去括号得：
$ 90 - x = 90 - \frac{1}{2}x - 40 $
移项得：
$ -x + \frac{1}{2}x = 90 - 40 - 90 $
合并同类项得：
$ -\frac{1}{2}x = -40 $
系数化为1得：
$ x = 80 $
【答案】
$ 80° $
【知识点】
1.余角与补角的定义
2.一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是准确掌握余角、补角的概念，正确梳理题目中的等量关系列方程求解，是余角补角相关知识的典型考查方式。
【难度系数】
0.7
15. 如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是
12:05
。答案
15.12:05
解析
【分析】
平面镜成像的核心特点是像与物体关于镜面对称，二者左右完全相反。要得到电子钟的实际时间，有两种思考方向：一是最直观的方法，将印有该图像的纸张竖直翻转，从背面看到的数字就是实际时间；二是利用对称原理，先把像的数字顺序整体颠倒，再将每个数字左右翻转，即可得到实际对应的时间。
【解析】
根据平面镜成像左右对称的规律：
1. 镜子中显示的像从左到右的数字依次为2、0、:、5、1，由于像与实际左右相反，数字的整体顺序要先颠倒，得到顺序为1、5、:、0、2；
2. 再将每个数字左右翻转：数字1翻转后仍为1，数字5左右翻转后为2，数字0翻转后仍为0，数字2左右翻转后为5；
3. 组合后得到实际时间为12:05。
也可以直接将页面翻转，从背面观察图像，可直接读出实际时间为12:05。
【答案】
12:05
【知识点】
1. 平面镜成像特点
2. 轴对称的应用
【点评】
本题结合生活中常见的镜子看时钟的场景出题，趣味性较强，解题技巧易掌握，只要理解平面镜成像左右相反的特点，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
平面镜成像的核心特点是像与物体关于镜面对称，二者左右完全相反。要得到电子钟的实际时间，有两种思考方向：一是最直观的方法，将印有该图像的纸张竖直翻转，从背面看到的数字就是实际时间；二是利用对称原理，先把像的数字顺序整体颠倒，再将每个数字左右翻转，即可得到实际对应的时间。
【解析】
根据平面镜成像左右对称的规律：
1. 镜子中显示的像从左到右的数字依次为2、0、:、5、1，由于像与实际左右相反，数字的整体顺序要先颠倒，得到顺序为1、5、:、0、2；
2. 再将每个数字左右翻转：数字1翻转后仍为1，数字5左右翻转后为2，数字0翻转后仍为0，数字2左右翻转后为5；
3. 组合后得到实际时间为12:05。
也可以直接将页面翻转，从背面观察图像，可直接读出实际时间为12:05。
【答案】
12:05
【知识点】
1. 平面镜成像特点
2. 轴对称的应用
【点评】
本题结合生活中常见的镜子看时钟的场景出题，趣味性较强，解题技巧易掌握，只要理解平面镜成像左右相反的特点，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
16. 若计算$(2+x^2+mx^3)(1-5x)$的结果不含$x^3$项，那么$m$的值为
5
。答案
16.5
解析
【分析】
解决本题的核心思路是：先运用多项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项找到所有含$x^3$的项，合并后$x^3$项的系数为各同类项系数之和。题目说明结果不含$x^3$项，即$x^3$项的系数等于0，最后列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开原式：
$\begin{aligned}(2+x^2+mx^3)(1-5x)&=2×1 + 2×(-5x) + x^2×1 + x^2×(-5x) + mx^3×1 + mx^3×(-5x)\\&=2 - 10x + x^2 -5x^3 + mx^3 -5mx^4\\&=2 -10x +x^2 + (m -5)x^3 -5mx^4\end{aligned}$
因为计算结果不含$x^3$项，所以$x^3$项的系数为0，可得方程：
$m -5 = 0$
解得：$m=5$
【答案】
5
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法的典型常考题，解题关键是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，主要考察学生对多项式乘法运算、同类项合并规则的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是：先运用多项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项找到所有含$x^3$的项，合并后$x^3$项的系数为各同类项系数之和。题目说明结果不含$x^3$项，即$x^3$项的系数等于0，最后列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开原式：
$\begin{aligned}(2+x^2+mx^3)(1-5x)&=2×1 + 2×(-5x) + x^2×1 + x^2×(-5x) + mx^3×1 + mx^3×(-5x)\\&=2 - 10x + x^2 -5x^3 + mx^3 -5mx^4\\&=2 -10x +x^2 + (m -5)x^3 -5mx^4\end{aligned}$
因为计算结果不含$x^3$项，所以$x^3$项的系数为0，可得方程：
$m -5 = 0$
解得：$m=5$
【答案】
5
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法的典型常考题，解题关键是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，主要考察学生对多项式乘法运算、同类项合并规则的掌握程度。
【难度系数】
0.7
17. 不等式组$\begin{cases}x ＞ -1, \\ x ＜ m\end{cases}$有3个整数解，则m的取值范围是 ______ 。
答案
17.$2＜m≤3$
解析
【分析】
首先求出不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ m$，要确定m的取值范围，先找出满足解集的3个整数解：大于-1的整数从0开始数，前3个整数是0、1、2，这三个就是全部的整数解。接下来分析边界：m必须大于2，否则2不会包含在解集中，整数解不足3个；同时m不能超过3，若m＞3，整数3也会成为解，就会有4个整数解，而当m=3时，解集为$-1 ＜ x ＜ 3$，整数解还是0、1、2三个，符合要求，最终即可得到m的取值范围。
【解析】
解：不等式组$\begin{cases}x ＞ -1, \\ x ＜ m\end{cases}$的解集为$-1 ＜ x ＜ m$。
∵ 不等式组有3个整数解，
∴ 这3个整数解为0、1、2，
∴ m的取值范围是$2 ＜ m ≤ 3$。
【答案】
$2＜m≤3$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集
2. 不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，解题核心是先确定符合条件的整数解，再结合边界的取值是否符合题意判断参数范围，需特别注意端点值的取舍，避免因漏考虑等号导致错误。
【难度系数】
0.6
首先求出不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ m$，要确定m的取值范围，先找出满足解集的3个整数解：大于-1的整数从0开始数，前3个整数是0、1、2，这三个就是全部的整数解。接下来分析边界：m必须大于2，否则2不会包含在解集中，整数解不足3个；同时m不能超过3，若m＞3，整数3也会成为解，就会有4个整数解，而当m=3时，解集为$-1 ＜ x ＜ 3$，整数解还是0、1、2三个，符合要求，最终即可得到m的取值范围。
【解析】
解：不等式组$\begin{cases}x ＞ -1, \\ x ＜ m\end{cases}$的解集为$-1 ＜ x ＜ m$。
∵ 不等式组有3个整数解，
∴ 这3个整数解为0、1、2，
∴ m的取值范围是$2 ＜ m ≤ 3$。
【答案】
$2＜m≤3$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集
2. 不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，解题核心是先确定符合条件的整数解，再结合边界的取值是否符合题意判断参数范围，需特别注意端点值的取舍，避免因漏考虑等号导致错误。
【难度系数】
0.6
18.命题“互为相反数的两个数的和为零”：条件是
两个数互为相反数
，结论是这两个数的和为零
。答案
18.两个数互为相反数 这两个数的和为零
解析
【分析】
要区分命题的条件和结论，首先要明确命题的结构规则：所有命题都可以改写为“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后面的内容是已知的条件，“那么”后面的内容是由条件推导得到的结论。我们只需把题干的命题转化为“如果……那么……”的形式，就能快速拆分出条件和结论。
【解析】
先将命题“互为相反数的两个数的和为零”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零。
根据命题的结构定义，“如果”后的内容为条件，“那么”后的内容为结论，因此该命题的条件是两个数互为相反数，结论是这两个数的和为零。
【答案】
两个数互为相反数；这两个数的和为零
【知识点】
命题的构成；相反数的性质
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对命题结构的理解，掌握将命题改写为“如果……那么……”形式的方法，就能轻松区分命题的条件和结论。
【难度系数】
0.9
要区分命题的条件和结论，首先要明确命题的结构规则：所有命题都可以改写为“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后面的内容是已知的条件，“那么”后面的内容是由条件推导得到的结论。我们只需把题干的命题转化为“如果……那么……”的形式，就能快速拆分出条件和结论。
【解析】
先将命题“互为相反数的两个数的和为零”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零。
根据命题的结构定义，“如果”后的内容为条件，“那么”后的内容为结论，因此该命题的条件是两个数互为相反数，结论是这两个数的和为零。
【答案】
两个数互为相反数；这两个数的和为零
【知识点】
命题的构成；相反数的性质
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对命题结构的理解，掌握将命题改写为“如果……那么……”形式的方法，就能轻松区分命题的条件和结论。
【难度系数】
0.9
三、解答题(第19～22题每题6分，其余每题10分，共64分)
19. 已知$|a|=2$，$b^2=9$，$ab＜0$，求$a-b$的值。
19. 已知$|a|=2$，$b^2=9$，$ab＜0$，求$a-b$的值。
答案
19. $\because |a|=2,b^2=9,\therefore a=\pm2,b=\pm3.$
$\because ab＜0,$
$\therefore$ 当$a=2$时,$b=-3$,则$a-b=2+3=5$;
当$a=-2$时,$b=3$,则$a-b=-2-3=-5.$
$\because ab＜0,$
$\therefore$ 当$a=2$时,$b=-3$,则$a-b=2+3=5$;
当$a=-2$时,$b=3$,则$a-b=-2-3=-5.$
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，绝对值等于2的数有2和-2两个；再根据平方的性质，平方等于9的数有3和-3两个；接下来结合$ab＜0$的条件，可知a和b符号相反，因此分两种情况讨论，分别代入计算$a-b$的值即可。
【解析】
解：$\because |a|=2$，$b^2=9$，
$\therefore a=\pm2$，$b=\pm3$。
又$\because ab＜0$，即$a$、$b$异号，
$\therefore$ 分两种情况计算：
①当$a=2$时，$b=-3$，此时$a-b=2-(-3)=2+3=5$；
②当$a=-2$时，$b=3$，此时$a-b=-2-3=-5$。
【答案】
$\boxed{5}$或$\boxed{-5}$
【知识点】
绝对值的性质、平方的性质、有理数的减法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察分类讨论的数学思想，解题时需先根据绝对值、平方的性质求出所有可能的取值，再结合两数乘积为负的条件筛选出符合要求的取值组合，避免遗漏情况或符号计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据绝对值的性质，绝对值等于2的数有2和-2两个；再根据平方的性质，平方等于9的数有3和-3两个；接下来结合$ab＜0$的条件，可知a和b符号相反，因此分两种情况讨论，分别代入计算$a-b$的值即可。
【解析】
解：$\because |a|=2$，$b^2=9$，
$\therefore a=\pm2$，$b=\pm3$。
又$\because ab＜0$，即$a$、$b$异号，
$\therefore$ 分两种情况计算：
①当$a=2$时，$b=-3$，此时$a-b=2-(-3)=2+3=5$；
②当$a=-2$时，$b=3$，此时$a-b=-2-3=-5$。
【答案】
$\boxed{5}$或$\boxed{-5}$
【知识点】
绝对值的性质、平方的性质、有理数的减法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察分类讨论的数学思想，解题时需先根据绝对值、平方的性质求出所有可能的取值，再结合两数乘积为负的条件筛选出符合要求的取值组合，避免遗漏情况或符号计算错误。
【难度系数】
0.8
20. 先化简,再求值:$(m-n)(m+n)+(m-n)^2 -2m^2$,其中$m=1,n=-3$.
答案
20. 原式$=m^2-n^2+m^2-2mn+n^2-2m^2=-2mn$,当$m=1,n=-3$时,原式$=6.$
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路清晰：第一步先利用整式乘法公式将原式的各项展开，再合并同类项得到最简结果，第二步将已知的m、n的值代入最简式计算即可。解题时优先化简再代值，比直接代入原式计算更简便，还能降低计算错误率。
【解析】
1. 利用乘法公式展开各项：
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$；
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$；
将展开结果代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=m^2-n^2+m^2-2mn+n^2-2m^2\\\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$m^2+m^2-2m^2=0$，$-n^2+n^2=0$，因此化简后得$\mathrm{原式}=-2mn$
3. 代入$m=1$，$n=-3$计算：
$\mathrm{原式}=-2×1×(-3)=6$
【答案】
$6$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式乘法公式的应用和合并同类项的运算能力，化简过程中互为相反数的项可直接抵消，能大幅简化计算，熟练掌握乘法公式是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
本题属于整式化简求值类题目，解题思路清晰：第一步先利用整式乘法公式将原式的各项展开，再合并同类项得到最简结果，第二步将已知的m、n的值代入最简式计算即可。解题时优先化简再代值，比直接代入原式计算更简便，还能降低计算错误率。
【解析】
1. 利用乘法公式展开各项：
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$；
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$；
将展开结果代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=m^2-n^2+m^2-2mn+n^2-2m^2\\\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$m^2+m^2-2m^2=0$，$-n^2+n^2=0$，因此化简后得$\mathrm{原式}=-2mn$
3. 代入$m=1$，$n=-3$计算：
$\mathrm{原式}=-2×1×(-3)=6$
【答案】
$6$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式乘法公式的应用和合并同类项的运算能力，化简过程中互为相反数的项可直接抵消，能大幅简化计算，熟练掌握乘法公式是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
21. 如图，$DE⊥ AC$于点$E$，$BF⊥ AC$于点$F$，$∠1 + ∠2=180°$，试判断$∠ AGF$与$∠ ABC$的大小关系，并说明理由。
答案
21. $∠ AGF=∠ ABC$. 理由如下：
$\because DE⊥ AC,BF⊥ AC,$
$\therefore BF// DE.\therefore ∠ 2+∠ 3=180°.$
又$∠ 1+∠ 2=180°,\therefore ∠ 1=∠ 3,\therefore FG// CB,$
$\therefore ∠ AGF=∠ ABC.$
$\because DE⊥ AC,BF⊥ AC,$
$\therefore BF// DE.\therefore ∠ 2+∠ 3=180°.$
又$∠ 1+∠ 2=180°,\therefore ∠ 1=∠ 3,\therefore FG// CB,$
$\therefore ∠ AGF=∠ ABC.$
解析
【分析】
首先从已知的垂直条件入手，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可推出DE//BF；再利用平行线的性质得到∠2与∠3互补，结合题目给出的∠1+∠2=180°，通过同角的补角相等推出∠1=∠3；接着根据内错角相等判定FG//CB，最后利用平行线的同位角相等的性质即可判断两个角的大小关系。
【解析】
∠AGF=∠ABC，理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴BF//DE（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵∠1+∠2=180°（已知），
∴∠1=∠3（同角的补角相等），
∴FG//CB（内错角相等，两直线平行），
∴∠AGF=∠ABC（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
∠AGF=∠ABC
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题考查平行线判定与性质的综合应用，解题的核心是理清角和直线之间的推导逻辑，先由垂直关系得到第一组平行线，再通过角的等量关系推导第二组平行线，最终得到角的相等关系，是几何基础阶段的典型考题。
【难度系数】
0.7
首先从已知的垂直条件入手，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可推出DE//BF；再利用平行线的性质得到∠2与∠3互补，结合题目给出的∠1+∠2=180°，通过同角的补角相等推出∠1=∠3；接着根据内错角相等判定FG//CB，最后利用平行线的同位角相等的性质即可判断两个角的大小关系。
【解析】
∠AGF=∠ABC，理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴BF//DE（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵∠1+∠2=180°（已知），
∴∠1=∠3（同角的补角相等），
∴FG//CB（内错角相等，两直线平行），
∴∠AGF=∠ABC（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
∠AGF=∠ABC
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题考查平行线判定与性质的综合应用，解题的核心是理清角和直线之间的推导逻辑，先由垂直关系得到第一组平行线，再通过角的等量关系推导第二组平行线，最终得到角的相等关系，是几何基础阶段的典型考题。
【难度系数】
0.7
22.情景:试根据图中信息,解答下列问题:
“五一”大酬宾
跳绳每根25元
超过10根,享受8折优惠
(1)购买6根跳绳需
(2)小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元,你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
“五一”大酬宾
跳绳每根25元
超过10根,享受8折优惠
(1)购买6根跳绳需
150
元,购买12根跳绳需240
元.(2)小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元,你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
答案
22.(1)150 240
(2)有这种可能. 理由如下：
设小红购买跳绳$x(10＜x≤12)$根，
则$25×0.8x=25(x-2)-5$,解得$x=11$.
故小红购买跳绳11根.
(2)有这种可能. 理由如下：
设小红购买跳绳$x(10＜x≤12)$根，
则$25×0.8x=25(x-2)-5$,解得$x=11$.
故小红购买跳绳11根.
解析
【分析】
(1) 首先明确优惠规则：购买跳绳不超过10根时按原价25元/根计算，超过10根时全部按原价的8折计算。购买6根未达到优惠门槛，直接用单价乘数量计算总价；购买12根满足优惠条件，先算出打折后的单价，再乘数量计算总价。
(2) 出现“多买反而付钱少”的情况，说明两人分别处于不同的优惠区间：小红购买的数量超过10根享受折扣，小明购买的数量不足10根没有折扣。我们可以设小红购买跳绳x根，结合“小红比小明多买2根”可知小明买了(x-2)根，再根据“小红付款比小明少5元”的等量关系列方程求解，最后验证x的取值是否符合优惠区间的要求即可。
【解析】
(1) 购买6根跳绳，未超过10根，按原价计算：
$25×6=150$（元）
购买12根跳绳，超过10根，享受8折优惠：
打折后单价为$25×0.8=20$（元），总价为$20×12=240$（元）
(2) 有这种可能，理由如下：
这种情况是小红购买数量超过10根享受折扣，小明购买数量不足10根未享受折扣。
设小红购买跳绳$x$根，根据题意可知$10＜x≤12$（因为小明买的$x-2$根不超过10根），小明购买$(x-2)$根，可列方程：
$25×0.8x=25(x-2)-5$
化简得：$20x=25x-50-5$
移项计算得：$5x=55$
解得：$x=11$，符合$10＜x≤12$的取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{150}$；$\boxed{240}$
(2) 有这种可能，小红购买跳绳$\boxed{11}$根。
【知识点】
1. 折扣问题计算
2. 一元一次方程的应用
3. 优惠方案分析
【点评】
本题结合生活中常见的促销优惠场景出题，第一问考查基础的折扣计算能力，第二问需要同学们先分析出两人分属不同优惠区间的隐藏条件，再通过列一元一次方程求解，解题时要注意验证结果是否符合实际的优惠规则，避免出现不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确优惠规则：购买跳绳不超过10根时按原价25元/根计算，超过10根时全部按原价的8折计算。购买6根未达到优惠门槛，直接用单价乘数量计算总价；购买12根满足优惠条件，先算出打折后的单价，再乘数量计算总价。
(2) 出现“多买反而付钱少”的情况，说明两人分别处于不同的优惠区间：小红购买的数量超过10根享受折扣，小明购买的数量不足10根没有折扣。我们可以设小红购买跳绳x根，结合“小红比小明多买2根”可知小明买了(x-2)根，再根据“小红付款比小明少5元”的等量关系列方程求解，最后验证x的取值是否符合优惠区间的要求即可。
【解析】
(1) 购买6根跳绳，未超过10根，按原价计算：
$25×6=150$（元）
购买12根跳绳，超过10根，享受8折优惠：
打折后单价为$25×0.8=20$（元），总价为$20×12=240$（元）
(2) 有这种可能，理由如下：
这种情况是小红购买数量超过10根享受折扣，小明购买数量不足10根未享受折扣。
设小红购买跳绳$x$根，根据题意可知$10＜x≤12$（因为小明买的$x-2$根不超过10根），小明购买$(x-2)$根，可列方程：
$25×0.8x=25(x-2)-5$
化简得：$20x=25x-50-5$
移项计算得：$5x=55$
解得：$x=11$，符合$10＜x≤12$的取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{150}$；$\boxed{240}$
(2) 有这种可能，小红购买跳绳$\boxed{11}$根。
【知识点】
1. 折扣问题计算
2. 一元一次方程的应用
3. 优惠方案分析
【点评】
本题结合生活中常见的促销优惠场景出题，第一问考查基础的折扣计算能力，第二问需要同学们先分析出两人分属不同优惠区间的隐藏条件，再通过列一元一次方程求解，解题时要注意验证结果是否符合实际的优惠规则，避免出现不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
