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5.陕西省西安市周至县被誉为“猕猴桃之乡”，拥有世界上最大的猕猴桃种植基地.某水果经销商计划从猕猴桃种植专业户李大爷处购进甲、乙两种新品猕猴桃进行销售.已知李大爷给甲种猕猴桃的价格根据进货量给予优惠，若设该经销商购进甲种猕猴桃$x$ kg，购进甲种猕猴桃所需的总费用为$y$元，则$y$与$x$之间的函数关系如图所示.乙种猕猴桃的进价为8元/kg.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)若该经销商计划从李大爷处一次性购进甲、乙两种猕猴桃共200 kg，且购进的甲种猕猴桃的质量不少于45 kg且不超过购进的乙种猕猴桃质量的$\frac{2}{3}$，则应如何分配甲、乙两种猕猴桃的购进量才能使该经销商购进这两种猕猴桃所需的总费用最少？最少的总费用为多少？
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)若该经销商计划从李大爷处一次性购进甲、乙两种猕猴桃共200 kg，且购进的甲种猕猴桃的质量不少于45 kg且不超过购进的乙种猕猴桃质量的$\frac{2}{3}$，则应如何分配甲、乙两种猕猴桃的购进量才能使该经销商购进这两种猕猴桃所需的总费用最少？最少的总费用为多少？
答案
5.解:(1)当0≤x≤40时,设y=k₁x.将坐标(40,240)代入y=k₁x,得40k₁=240,解得k₁=6,
∴当0≤x≤40时,y=6x;当x＞40时,设y=k₂x+b.将坐标(40,240),(60,300)分别代入y=k₂x+b,得$\begin{cases}40k_2+b=240,\\60k_2+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=3,\\b=120,\end{cases}$
∴当x＞40时,y=3x+120.综上所述,y关于x的函数解析式为$y=\begin{cases}6x,0≤ x≤40,\\3x+120,x＞40;\end{cases}$
(2)
∵购进的甲种猕猴桃的质量不少于45 kg且不超过购进的乙种猕猴桃质量的$\frac{2}{3}$,
∴$\begin{cases}x≥45,\\x≤\frac{2}{3}(200-x),\end{cases}$解得45≤x≤80.设该经销商购进甲种猕猴桃x kg时该经销商购进这两种猕猴桃所需的总费用为w元.根据题意,得w=3x+120+8(200-x)=-5x+1 720.
∵-5＜0,
∴w随x的增大而减小,
∴当x=80时,w取得最小值,$w_{最小值}=-5×80+1\ 720=1\ 320$,此时200-x=120,
∴购进甲种猕猴桃80 kg,乙种猕猴桃120 kg才能使该经销商购进这两种猕猴桃所需的总费用最少,最少的总费用为1 320元.
∴当0≤x≤40时,y=6x;当x＞40时,设y=k₂x+b.将坐标(40,240),(60,300)分别代入y=k₂x+b,得$\begin{cases}40k_2+b=240,\\60k_2+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=3,\\b=120,\end{cases}$
∴当x＞40时,y=3x+120.综上所述,y关于x的函数解析式为$y=\begin{cases}6x,0≤ x≤40,\\3x+120,x＞40;\end{cases}$
(2)
∵购进的甲种猕猴桃的质量不少于45 kg且不超过购进的乙种猕猴桃质量的$\frac{2}{3}$,
∴$\begin{cases}x≥45,\\x≤\frac{2}{3}(200-x),\end{cases}$解得45≤x≤80.设该经销商购进甲种猕猴桃x kg时该经销商购进这两种猕猴桃所需的总费用为w元.根据题意,得w=3x+120+8(200-x)=-5x+1 720.
∵-5＜0,
∴w随x的增大而减小,
∴当x=80时,w取得最小值,$w_{最小值}=-5×80+1\ 720=1\ 320$,此时200-x=120,
∴购进甲种猕猴桃80 kg,乙种猕猴桃120 kg才能使该经销商购进这两种猕猴桃所需的总费用最少,最少的总费用为1 320元.
解析
【分析】
(1) 观察函数图像可知y是关于x的分段函数，分两段求解：①当$0≤ x≤40$时，函数为过原点的正比例函数，设解析式为$y=k_1x$，代入已知点$(40,240)$即可求出系数；②当$x＞40$时，函数为普通一次函数，设解析式为$y=k_2x+b$，代入已知的两个点$(40,240)$和$(60,300)$，解二元一次方程组求出系数，最后合并写出分段函数即可。
(2) 首先根据“甲种猕猴桃质量不少于45kg、不超过乙种质量的$\frac{2}{3}$”两个约束条件，列一元一次不等式组求出甲的质量x的取值范围；再设总费用为w元，结合第一问的甲的费用解析式，加上乙的费用，得到w关于x的一次函数，根据一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使w最小的x值，再计算对应的乙的质量和最小总费用即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤40$时，设$y=k_1x$，将点$(40,240)$代入得：
$40k_1=240$，解得$k_1=6$，
∴此时$y=6x$；
② 当$x＞40$时，设$y=k_2x+b$，将点$(40,240)$、$(60,300)$分别代入得：
$\begin{cases}40k_2+b=240\\60k_2+b=300\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=3\\b=120\end{cases}$，
∴此时$y=3x+120$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}6x&(0≤ x≤40)\\3x+120&(x＞40)\end{cases}$。
(2) 设购进甲种猕猴桃$x$kg，则购进乙种猕猴桃$(200-x)$kg，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≥45\\x≤\frac{2}{3}(200-x)\end{cases}$，
解第二个不等式得$3x≤400-2x$，即$x≤80$，
∴不等式组的解集为$45≤ x≤80$。
设购进两种猕猴桃的总费用为$w$元，
∵$45≤ x≤80＞40$，因此甲的费用选用$y=3x+120$，可得：
$w=3x+120+8(200-x)=-5x+1720$，
∵$-5＜0$，
∴$w$随$x$的增大而减小，
∴当$x$取最大值80时，$w$取得最小值，
$w_{最小}=-5×80+1720=1320$（元），
此时乙种猕猴桃的质量为$200-80=120$（kg）。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}6x&(0≤ x≤40)\\3x+120&(x＞40)\end{cases}$；
(2) 购进甲种猕猴桃80kg，乙种猕猴桃120kg时总费用最少，最少总费用为1320元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际进货场景考查一次函数的实际应用，解题时要注意分段函数的适用范围，结合约束条件确定自变量的取值范围后，利用一次函数的增减性求解最值，是函数与不等式结合的典型应用题型，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 观察函数图像可知y是关于x的分段函数，分两段求解：①当$0≤ x≤40$时，函数为过原点的正比例函数，设解析式为$y=k_1x$，代入已知点$(40,240)$即可求出系数；②当$x＞40$时，函数为普通一次函数，设解析式为$y=k_2x+b$，代入已知的两个点$(40,240)$和$(60,300)$，解二元一次方程组求出系数，最后合并写出分段函数即可。
(2) 首先根据“甲种猕猴桃质量不少于45kg、不超过乙种质量的$\frac{2}{3}$”两个约束条件，列一元一次不等式组求出甲的质量x的取值范围；再设总费用为w元，结合第一问的甲的费用解析式，加上乙的费用，得到w关于x的一次函数，根据一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使w最小的x值，再计算对应的乙的质量和最小总费用即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤40$时，设$y=k_1x$，将点$(40,240)$代入得：
$40k_1=240$，解得$k_1=6$，
∴此时$y=6x$；
② 当$x＞40$时，设$y=k_2x+b$，将点$(40,240)$、$(60,300)$分别代入得：
$\begin{cases}40k_2+b=240\\60k_2+b=300\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=3\\b=120\end{cases}$，
∴此时$y=3x+120$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}6x&(0≤ x≤40)\\3x+120&(x＞40)\end{cases}$。
(2) 设购进甲种猕猴桃$x$kg，则购进乙种猕猴桃$(200-x)$kg，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≥45\\x≤\frac{2}{3}(200-x)\end{cases}$，
解第二个不等式得$3x≤400-2x$，即$x≤80$，
∴不等式组的解集为$45≤ x≤80$。
设购进两种猕猴桃的总费用为$w$元，
∵$45≤ x≤80＞40$，因此甲的费用选用$y=3x+120$，可得：
$w=3x+120+8(200-x)=-5x+1720$，
∵$-5＜0$，
∴$w$随$x$的增大而减小，
∴当$x$取最大值80时，$w$取得最小值，
$w_{最小}=-5×80+1720=1320$（元），
此时乙种猕猴桃的质量为$200-80=120$（kg）。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}6x&(0≤ x≤40)\\3x+120&(x＞40)\end{cases}$；
(2) 购进甲种猕猴桃80kg，乙种猕猴桃120kg时总费用最少，最少总费用为1320元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际进货场景考查一次函数的实际应用，解题时要注意分段函数的适用范围，结合约束条件确定自变量的取值范围后，利用一次函数的增减性求解最值，是函数与不等式结合的典型应用题型，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
