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3.甲、乙两人相约一起去登山,登山过程中,甲先爬了100 m,乙才开始追赶甲.甲、乙两人距地面的高度y(单位:m)与登山时间x(单位:min)(x≥0)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山的速度是每分钟
(2)若乙提速后,乙的速度是甲登山速度的3倍,请求出整个登山过程中乙距离地面的高度y关于登山时间x的函数解析式.
(3)直接写出甲、乙相遇后,甲再经过多长时间与乙相距30 m?
(1)甲登山的速度是每分钟
10
m,乙提速时距地面的高度b为30
m.(2)若乙提速后,乙的速度是甲登山速度的3倍,请求出整个登山过程中乙距离地面的高度y关于登山时间x的函数解析式.
(3)直接写出甲、乙相遇后,甲再经过多长时间与乙相距30 m?
答案
3.解:(1)10 30;
(2)当0≤x≤2时,y=15x;当x＞2时,y=30+10×3(x-2)=30x-30.当y=30t-30=300时,t=11.
∴乙登山全程中,距地面的高度y关于登山时间x的函数解析式为$y=\begin{cases}15x(0≤ x≤2),\\30x-30(2＜x≤11);\end{cases}$
(3)甲登山全程中,距地面的高度y关于登山时间x的函数解析式为y=10x+100(0≤x≤11).当10x+100=30x-30时,解得x=6.5,令30x-30-(10x+100)=30,解得x=8,
∴8-6.5=1.5(min);当甲距离山顶30 m时,此时20-3-6.5=10.5(min).答:甲、乙相遇后,甲再经过1.5 min或10.5 min与乙相距30 m.
(2)当0≤x≤2时,y=15x;当x＞2时,y=30+10×3(x-2)=30x-30.当y=30t-30=300时,t=11.
∴乙登山全程中,距地面的高度y关于登山时间x的函数解析式为$y=\begin{cases}15x(0≤ x≤2),\\30x-30(2＜x≤11);\end{cases}$
(3)甲登山全程中,距地面的高度y关于登山时间x的函数解析式为y=10x+100(0≤x≤11).当10x+100=30x-30时,解得x=6.5,令30x-30-(10x+100)=30,解得x=8,
∴8-6.5=1.5(min);当甲距离山顶30 m时,此时20-3-6.5=10.5(min).答:甲、乙相遇后,甲再经过1.5 min或10.5 min与乙相距30 m.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1)求甲的登山速度：观察甲的函数图象，甲20分钟登山的高度差为300-100=200m，根据速度=路程÷时间即可算出甲的速度；求b的值：乙前2分钟匀速登山，由图可知1分钟爬15m，2分钟爬的高度就是b的值。
(2)求乙的y关于x的函数解析式：乙的行程分两段，①0≤x≤2时，是过原点的正比例函数，结合点(2,30)可求解析式；②x＞2时，已知提速后速度是甲的3倍，即30m/min，结合过点(2,30)写出解析式，再算出乙爬到300m的时间，确定第二段的定义域。
(3)求相遇后甲再经过多久和乙相距30m：首先写出甲的函数解析式，先求出甲乙相遇的时间；再分两种情况讨论：第一种是乙未登顶时，乙的高度减甲的高度等于30，列方程求解时间后减去相遇时间；第二种是乙登顶后高度保持300m，此时甲的高度为300-30=270m，求出对应时间后减去相遇时间即可。
【解析】
(1) 甲登山的速度：$(300-100)÷20=10(\mathrm{m/min})$；
乙前2分钟的速度为15m/min，所以2分钟时高度$b=15×2=30(\mathrm{m})$。
(2) 分两段讨论乙的函数解析式：
①当$0≤ x≤2$时，设$y=kx$，将$(2,30)$代入得$30=2k$，解得$k=15$，即$y=15x$；
②当$x＞2$时，乙提速后的速度为$10×3=30(\mathrm{m/min})$，解析式为$y=30(x-2)+30=30x-30$；
当乙爬到山顶300m时，$30x-30=300$，解得$x=11$，即第二段定义域为$2＜x≤11$。
综上，乙的高度y关于x的函数解析式为分段函数。
(3) 甲的函数解析式为：$y=10x+100(0≤ x≤20)$。
先求相遇时间：令$10x+100=30x-30$，解得$x=6.5$，即6.5min时甲乙相遇。
分两种情况讨论相距30m：
①乙未登顶（$x≤11$）时，乙比甲高30m：
$30x-30-(10x+100)=30$，解得$x=8$，经过的时间为$8-6.5=1.5(\mathrm{min})$；
②乙登顶后（$x＞11$），乙高度保持300m，此时甲高度为$300-30=270\mathrm{m}$：
令$10x+100=270$，解得$x=17$，经过的时间为$17-6.5=10.5(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$，$\boxed{30}$；
(2) $\boxed{y=\begin{cases}15x(0≤ x≤2)\\30x-30(2＜x≤11)\end{cases}}$；
(3) $\boxed{1.5\ \mathrm{min}}$或$\boxed{10.5\ \mathrm{min}}$。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际登山场景考查一次函数的实际应用，需要学生具备从图象中提取信息的能力，求解分段函数时要注意定义域的划分，第三问需分类讨论相距30m的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：
(1)求甲的登山速度：观察甲的函数图象，甲20分钟登山的高度差为300-100=200m，根据速度=路程÷时间即可算出甲的速度；求b的值：乙前2分钟匀速登山，由图可知1分钟爬15m，2分钟爬的高度就是b的值。
(2)求乙的y关于x的函数解析式：乙的行程分两段，①0≤x≤2时，是过原点的正比例函数，结合点(2,30)可求解析式；②x＞2时，已知提速后速度是甲的3倍，即30m/min，结合过点(2,30)写出解析式，再算出乙爬到300m的时间，确定第二段的定义域。
(3)求相遇后甲再经过多久和乙相距30m：首先写出甲的函数解析式，先求出甲乙相遇的时间；再分两种情况讨论：第一种是乙未登顶时，乙的高度减甲的高度等于30，列方程求解时间后减去相遇时间；第二种是乙登顶后高度保持300m，此时甲的高度为300-30=270m，求出对应时间后减去相遇时间即可。
【解析】
(1) 甲登山的速度：$(300-100)÷20=10(\mathrm{m/min})$；
乙前2分钟的速度为15m/min，所以2分钟时高度$b=15×2=30(\mathrm{m})$。
(2) 分两段讨论乙的函数解析式：
①当$0≤ x≤2$时，设$y=kx$，将$(2,30)$代入得$30=2k$，解得$k=15$，即$y=15x$；
②当$x＞2$时，乙提速后的速度为$10×3=30(\mathrm{m/min})$，解析式为$y=30(x-2)+30=30x-30$；
当乙爬到山顶300m时，$30x-30=300$，解得$x=11$，即第二段定义域为$2＜x≤11$。
综上，乙的高度y关于x的函数解析式为分段函数。
(3) 甲的函数解析式为：$y=10x+100(0≤ x≤20)$。
先求相遇时间：令$10x+100=30x-30$，解得$x=6.5$，即6.5min时甲乙相遇。
分两种情况讨论相距30m：
①乙未登顶（$x≤11$）时，乙比甲高30m：
$30x-30-(10x+100)=30$，解得$x=8$，经过的时间为$8-6.5=1.5(\mathrm{min})$；
②乙登顶后（$x＞11$），乙高度保持300m，此时甲高度为$300-30=270\mathrm{m}$：
令$10x+100=270$，解得$x=17$，经过的时间为$17-6.5=10.5(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$，$\boxed{30}$；
(2) $\boxed{y=\begin{cases}15x(0≤ x≤2)\\30x-30(2＜x≤11)\end{cases}}$；
(3) $\boxed{1.5\ \mathrm{min}}$或$\boxed{10.5\ \mathrm{min}}$。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际登山场景考查一次函数的实际应用，需要学生具备从图象中提取信息的能力，求解分段函数时要注意定义域的划分，第三问需分类讨论相距30m的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
4.某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：甲店所有商品按原价8.5折出售；乙店一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.设需要购买体育用品的原价总额为$x$元，去甲商店购买实付$y_甲$元，去乙商店购买实付$y_乙$元，其函数图象如图所示.
(1)分别求$y_甲,y_乙$关于$x$的函数解析式；
(2)两图象交于点$A$，求点$A$的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.
(1)分别求$y_甲,y_乙$关于$x$的函数解析式；
(2)两图象交于点$A$，求点$A$的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.
答案
4.解:(1)$y_甲=0.85x$.当0≤x≤300时,$y_乙=x$;当x＞300时,$y_乙=300+(x-300)×0.7=0.7x+90$,则$y_乙=\begin{cases}x(0≤ x≤300),\\0.7x+90(x＞300);\end{cases}$
(2)令0.85x=0.7x+90,解得x=600,将x=600代入y=0.85x中,得y=0.85×600=510,即点A的坐标为(600,510);
(3)由图象可得,当x＜600时,去甲体育专卖店购买体育用品更合算;当x=600时,两家体育专卖店购买体育用品一样合算;当x＞600时,去乙体育专卖店购买体育用品更合算.
(2)令0.85x=0.7x+90,解得x=600,将x=600代入y=0.85x中,得y=0.85×600=510,即点A的坐标为(600,510);
(3)由图象可得,当x＜600时,去甲体育专卖店购买体育用品更合算;当x=600时,两家体育专卖店购买体育用品一样合算;当x＞600时,去乙体育专卖店购买体育用品更合算.
解析
【分析】
(1)求函数解析式时，先根据甲店全单8.5折的优惠规则，直接可写出$y_甲$的表达式；乙店是分段优惠，需分原价总额不超过300元、超过300元两种情况，分别对应优惠规则计算即可得到$y_乙$的分段函数表达式。
(2)交点A处两个商店的实付金额相等，观察图象可知A点对应原价总额大于300元，因此联立$y_甲$和$x＞300$时的$y_乙$表达式，解方程即可得到A点的横坐标，代入任意函数即可求得纵坐标。
(3)判断哪个商店更合算，就是比较相同原价总额下两个商店实付金额的大小，实付金额越低越合算，结合交点A的坐标分三类情况讨论即可。
【解析】
(1) 甲店所有商品按原价8.5折出售，因此实付金额为原价的0.85倍：
$y_甲=0.85x \quad (x≥0)$
乙店优惠分两种情况：
① 当$0≤ x≤300$时，无优惠按原价付费，故$y_乙=x$；
② 当$x＞300$时，300元按原价支付，超出300元的部分打7折，因此：
$y_乙=300+0.7(x-300)=0.7x+90$
综上，$y_乙=\begin{cases}x&(0≤ x≤300)\\0.7x+90&(x＞300)\end{cases}$
(2) 交点A处$y_甲=y_乙$，且A点横坐标大于300，因此联立方程：
$0.85x=0.7x+90$
移项计算得$0.15x=90$，解得$x=600$
将$x=600$代入$y_甲=0.85x$，得$y=0.85×600=510$
即点A的坐标为$(600,510)$
(3) 结合函数图象中$y$值的大小比较：
当$x＜600$时，$y_甲＜y_乙$，去甲店更合算；
当$x=600$时，$y_甲=y_乙$，两家店费用相同；
当$x＞600$时，$y_乙＜y_甲$，去乙店更合算。
【答案】
(1) $y_甲=0.85x$，$y_乙=\begin{cases}x&(0≤ x≤300)\\0.7x+90&(x＞300)\end{cases}$
(2) $A(600,510)$
(3) 当购买体育用品原价总额小于600元时，去甲专卖店更合算；当原价总额等于600元时，两家专卖店费用相同；当原价总额大于600元时，去乙专卖店更合算。
【知识点】
一次函数应用，分段函数，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景，考查一次函数的实际应用能力，需要准确理解优惠规则写出对应函数表达式，同时能通过函数交点划分区间比较费用，选择最优方案，与生活联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1)求函数解析式时，先根据甲店全单8.5折的优惠规则，直接可写出$y_甲$的表达式；乙店是分段优惠，需分原价总额不超过300元、超过300元两种情况，分别对应优惠规则计算即可得到$y_乙$的分段函数表达式。
(2)交点A处两个商店的实付金额相等，观察图象可知A点对应原价总额大于300元，因此联立$y_甲$和$x＞300$时的$y_乙$表达式，解方程即可得到A点的横坐标，代入任意函数即可求得纵坐标。
(3)判断哪个商店更合算，就是比较相同原价总额下两个商店实付金额的大小，实付金额越低越合算，结合交点A的坐标分三类情况讨论即可。
【解析】
(1) 甲店所有商品按原价8.5折出售，因此实付金额为原价的0.85倍：
$y_甲=0.85x \quad (x≥0)$
乙店优惠分两种情况：
① 当$0≤ x≤300$时，无优惠按原价付费，故$y_乙=x$；
② 当$x＞300$时，300元按原价支付，超出300元的部分打7折，因此：
$y_乙=300+0.7(x-300)=0.7x+90$
综上，$y_乙=\begin{cases}x&(0≤ x≤300)\\0.7x+90&(x＞300)\end{cases}$
(2) 交点A处$y_甲=y_乙$，且A点横坐标大于300，因此联立方程：
$0.85x=0.7x+90$
移项计算得$0.15x=90$，解得$x=600$
将$x=600$代入$y_甲=0.85x$，得$y=0.85×600=510$
即点A的坐标为$(600,510)$
(3) 结合函数图象中$y$值的大小比较：
当$x＜600$时，$y_甲＜y_乙$，去甲店更合算；
当$x=600$时，$y_甲=y_乙$，两家店费用相同；
当$x＞600$时，$y_乙＜y_甲$，去乙店更合算。
【答案】
(1) $y_甲=0.85x$，$y_乙=\begin{cases}x&(0≤ x≤300)\\0.7x+90&(x＞300)\end{cases}$
(2) $A(600,510)$
(3) 当购买体育用品原价总额小于600元时，去甲专卖店更合算；当原价总额等于600元时，两家专卖店费用相同；当原价总额大于600元时，去乙专卖店更合算。
【知识点】
一次函数应用，分段函数，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景，考查一次函数的实际应用能力，需要准确理解优惠规则写出对应函数表达式，同时能通过函数交点划分区间比较费用，选择最优方案，与生活联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.7
