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1. 正方形边长为4，边长增加x，面积增加y，则y与x之间的函数关系式是
$y=x^2+8x$
。答案
1. $y=x^2+8x$
解析
【分析】
要得到y与x的函数关系式，首先明确面积增加量y的含义：y等于边长增加x后的新正方形面积减去原正方形的面积。解题时先算原正方形面积，再表示出边长增加后的新正方形面积，最后用新面积减原面积，化简后即可得到所求关系式。
【解析】
解：原正方形边长为4，因此原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}}=4×4=16$
边长增加x后，新正方形的边长为$(4+x)$，新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}}=(4+x)^2$
根据面积增加量的定义$y=S_{\mathrm{新}}-S_{\mathrm{原}}$，代入表达式化简：
$\begin{aligned}y&=(4+x)^2-16\\&=16+8x+x^2-16\\&=x^2+8x\end{aligned}$
（注：边长增加量x为正数，即隐含取值范围$x＞0$）
【答案】
$y=x^2+8x$
【知识点】
正方形面积计算，列函数关系式，整式化简
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，解题关键是找准面积变化的等量关系，计算时注意完全平方公式的正确展开，避免漏项、错项即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
要得到y与x的函数关系式，首先明确面积增加量y的含义：y等于边长增加x后的新正方形面积减去原正方形的面积。解题时先算原正方形面积，再表示出边长增加后的新正方形面积，最后用新面积减原面积，化简后即可得到所求关系式。
【解析】
解：原正方形边长为4，因此原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}}=4×4=16$
边长增加x后，新正方形的边长为$(4+x)$，新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}}=(4+x)^2$
根据面积增加量的定义$y=S_{\mathrm{新}}-S_{\mathrm{原}}$，代入表达式化简：
$\begin{aligned}y&=(4+x)^2-16\\&=16+8x+x^2-16\\&=x^2+8x\end{aligned}$
（注：边长增加量x为正数，即隐含取值范围$x＞0$）
【答案】
$y=x^2+8x$
【知识点】
正方形面积计算，列函数关系式，整式化简
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，解题关键是找准面积变化的等量关系，计算时注意完全平方公式的正确展开，避免漏项、错项即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
2. 若点$A(2,m)$是抛物线$y=\frac{1}{2}(x - m)^2 + 2$上一点，则$m=$
2或4
.答案
2. 2或4
解析
【分析】
解题的核心依据是“函数图像上的点的坐标满足对应函数的解析式”。首先将点A的横、纵坐标代入抛物线解析式，就能得到只含未知数m的方程，再将方程整理为标准一元二次方程形式，求解即可得到m的值，两个解均无额外限制，都符合题意。
【解析】
解：
∵点$A(2,m)$在抛物线$y=\frac{1}{2}(x - m)^2 + 2$上
∴将$x=2$，$y=m$代入抛物线解析式，得：
$m = \frac{1}{2}(2 - m)^2 + 2$
展开右侧并化简：
$m = \frac{1}{2}(4 - 4m + m^2) + 2$
$m = 2 - 2m + \frac{1}{2}m^2 + 2$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$\frac{1}{2}m^2 - 3m + 4 = 0$
两边同乘2消去分母：
$m^2 - 6m + 8 = 0$
因式分解得：
$(m - 2)(m - 4) = 0$
解得$m_1=2$，$m_2=4$，两个值均符合题意。
【答案】
2或4
【知识点】
二次函数图像上点的特征；一元二次方程求解；代入求值
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查点与函数图像的对应关系，同时结合了一元二次方程的解法，解题关键是正确代入坐标列方程，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.75
解题的核心依据是“函数图像上的点的坐标满足对应函数的解析式”。首先将点A的横、纵坐标代入抛物线解析式，就能得到只含未知数m的方程，再将方程整理为标准一元二次方程形式，求解即可得到m的值，两个解均无额外限制，都符合题意。
【解析】
解：
∵点$A(2,m)$在抛物线$y=\frac{1}{2}(x - m)^2 + 2$上
∴将$x=2$，$y=m$代入抛物线解析式，得：
$m = \frac{1}{2}(2 - m)^2 + 2$
展开右侧并化简：
$m = \frac{1}{2}(4 - 4m + m^2) + 2$
$m = 2 - 2m + \frac{1}{2}m^2 + 2$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$\frac{1}{2}m^2 - 3m + 4 = 0$
两边同乘2消去分母：
$m^2 - 6m + 8 = 0$
因式分解得：
$(m - 2)(m - 4) = 0$
解得$m_1=2$，$m_2=4$，两个值均符合题意。
【答案】
2或4
【知识点】
二次函数图像上点的特征；一元二次方程求解；代入求值
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查点与函数图像的对应关系，同时结合了一元二次方程的解法，解题关键是正确代入坐标列方程，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.75
3. 与抛物线 $y=\frac{1}{8}x^2$ 形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是
$y=-\dfrac{1}{8}x^2$
.答案
3. $y=-\dfrac{1}{8}x^2$
解析
【分析】
解题时先明确抛物线的几个特征对应的决定因素：①抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，形状相同则两个二次函数的二次项系数的绝对值相等；②开口方向由二次项系数的符号决定，开口相反则二次项系数符号相反；③顶点相同说明所求抛物线和原抛物线的顶点坐标一致，原抛物线$y=\frac{1}{8}x^2$的顶点为原点，没有一次项和常数项。结合以上三点就能推导出所求抛物线的解析式。
【解析】
第一步：确定二次项系数的绝对值：
∵ 两个抛物线形状相同，
∴ 所求抛物线的二次项系数的绝对值与$y=\frac{1}{8}x^2$的二次项系数绝对值相等，即$|a|=\frac{1}{8}$。
第二步：确定二次项系数的符号：
∵ 两个抛物线开口方向相反，
∴ 所求抛物线的二次项系数与原二次项系数符号相反，原二次项系数为$\frac{1}{8}＞0$，故$a=-\frac{1}{8}$。
第三步：确定解析式形式：
∵ 所求抛物线与原抛物线顶点相同，原抛物线$y=\frac{1}{8}x^2$的顶点为$(0,0)$，
∴ 所求抛物线无一次项和常数项，解析式为$y=ax^2$，代入$a=-\frac{1}{8}$得$y=-\frac{1}{8}x^2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{8}x^2$
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次项系数的意义
3. 抛物线顶点特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心是掌握二次项系数a对抛物线形状、开口方向的影响，以及不同形式二次函数的顶点坐标规律，熟练记忆相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确抛物线的几个特征对应的决定因素：①抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，形状相同则两个二次函数的二次项系数的绝对值相等；②开口方向由二次项系数的符号决定，开口相反则二次项系数符号相反；③顶点相同说明所求抛物线和原抛物线的顶点坐标一致，原抛物线$y=\frac{1}{8}x^2$的顶点为原点，没有一次项和常数项。结合以上三点就能推导出所求抛物线的解析式。
【解析】
第一步：确定二次项系数的绝对值：
∵ 两个抛物线形状相同，
∴ 所求抛物线的二次项系数的绝对值与$y=\frac{1}{8}x^2$的二次项系数绝对值相等，即$|a|=\frac{1}{8}$。
第二步：确定二次项系数的符号：
∵ 两个抛物线开口方向相反，
∴ 所求抛物线的二次项系数与原二次项系数符号相反，原二次项系数为$\frac{1}{8}＞0$，故$a=-\frac{1}{8}$。
第三步：确定解析式形式：
∵ 所求抛物线与原抛物线顶点相同，原抛物线$y=\frac{1}{8}x^2$的顶点为$(0,0)$，
∴ 所求抛物线无一次项和常数项，解析式为$y=ax^2$，代入$a=-\frac{1}{8}$得$y=-\frac{1}{8}x^2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{8}x^2$
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次项系数的意义
3. 抛物线顶点特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心是掌握二次项系数a对抛物线形状、开口方向的影响，以及不同形式二次函数的顶点坐标规律，熟练记忆相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 函数$y=(m+2)x^{m^2 + 2m}$是关于x的二次函数，则$m=$
$-1\pm\sqrt{3}$
。答案
4. $-1\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣二次函数的定义，二次函数需要同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。解题时首先根据最高次数为2列出关于m的方程，求解后再验证所得的m值是否满足二次项系数不为0的要求，排除不符合条件的解即可得到最终结果。
【解析】
∵ 函数$y=(m+2)x^{m^2 + 2m}$是关于x的二次函数
∴ 需同时满足两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 + 2m = 2$
移项得一元二次方程：$m^2 + 2m - 2 = 0$
用求根公式求解：
$m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4×1×(-2)}}{2×1} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$
2. 二次项系数不为0，即：
$m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$
验证：$m=-1+\sqrt{3}$和$m=-1-\sqrt{3}$均满足$m ≠ -2$，两个解都有效。
【答案】
$-1\pm\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；系数取值限制
【点评】
本题核心考查二次函数定义的应用，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的要求，解题时要先根据次数列方程，再验证系数是否符合条件，避免出现多余的增根。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需紧扣二次函数的定义，二次函数需要同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。解题时首先根据最高次数为2列出关于m的方程，求解后再验证所得的m值是否满足二次项系数不为0的要求，排除不符合条件的解即可得到最终结果。
【解析】
∵ 函数$y=(m+2)x^{m^2 + 2m}$是关于x的二次函数
∴ 需同时满足两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 + 2m = 2$
移项得一元二次方程：$m^2 + 2m - 2 = 0$
用求根公式求解：
$m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4×1×(-2)}}{2×1} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$
2. 二次项系数不为0，即：
$m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$
验证：$m=-1+\sqrt{3}$和$m=-1-\sqrt{3}$均满足$m ≠ -2$，两个解都有效。
【答案】
$-1\pm\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；系数取值限制
【点评】
本题核心考查二次函数定义的应用，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的要求，解题时要先根据次数列方程，再验证系数是否符合条件，避免出现多余的增根。
【难度系数】
0.6
5. 当$x=$
$-1$
时，二次函数$y=x^2+2x-2$有最小值。答案
5. $-1$
解析
【分析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$中，当$a＞0$时抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，因此要求函数取最小值时的$x$值，本质就是求二次函数顶点的横坐标。我们可以通过两种思路求解：一是用配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点横坐标；二是直接套用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。
【解析】
方法1：配方法
对二次函数配方变形：
$\begin{aligned}y&=x^2+2x-2\\&=x^2+2x+1-1-2\\&=(x+1)^2-3\end{aligned}$
因为平方数是非负数，即$(x+1)^2≥0$，当且仅当$x+1=0$也就是$x=-1$时，$(x+1)^2=0$，此时$y$取得最小值。
方法2：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中$a=1$，$b=2$，代入公式得：
$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即$x=-1$时函数有最小值。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的性质，配方法，顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数最值和顶点的对应关系，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速求解，是后续解决二次函数实际最值问题的基础。
【难度系数】
0.9
二次函数$y=ax^2+bx+c$中，当$a＞0$时抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，因此要求函数取最小值时的$x$值，本质就是求二次函数顶点的横坐标。我们可以通过两种思路求解：一是用配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点横坐标；二是直接套用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。
【解析】
方法1：配方法
对二次函数配方变形：
$\begin{aligned}y&=x^2+2x-2\\&=x^2+2x+1-1-2\\&=(x+1)^2-3\end{aligned}$
因为平方数是非负数，即$(x+1)^2≥0$，当且仅当$x+1=0$也就是$x=-1$时，$(x+1)^2=0$，此时$y$取得最小值。
方法2：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中$a=1$，$b=2$，代入公式得：
$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即$x=-1$时函数有最小值。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的性质，配方法，顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数最值和顶点的对应关系，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速求解，是后续解决二次函数实际最值问题的基础。
【难度系数】
0.9
6. 将抛物线$y=x^2 - 2$向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是
。
$y=x^2-1$
。
答案
6. $y=x^2-1$
解析
【分析】
解决这道题需要用到二次函数图象上下平移的规律。首先明确平移规则：抛物线上下平移时，仅改变函数表达式的常数项，遵循“上加下减”的原则，即向上平移几个单位，常数项就加几，向下平移几个单位，常数项就减几。本题已知原抛物线表达式和平移的方向、单位，直接套用规律计算即可得到新抛物线的表达式。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的“上加下减”规律：
原抛物线的表达式为$y=x^2 - 2$，将其向上平移1个单位，只需在常数项上加1，
因此新抛物线的表达式为：
$y = x^2 - 2 + 1$
化简得$y = x^2 - 1$。
【答案】
$y=x^2-1$
【知识点】
二次函数平移；图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移类基础题，核心考查平移规则的应用，解题时注意区分上下平移和左右平移的规则，上下平移仅修改常数项，避免混淆规则导致出错。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要用到二次函数图象上下平移的规律。首先明确平移规则：抛物线上下平移时，仅改变函数表达式的常数项，遵循“上加下减”的原则，即向上平移几个单位，常数项就加几，向下平移几个单位，常数项就减几。本题已知原抛物线表达式和平移的方向、单位，直接套用规律计算即可得到新抛物线的表达式。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的“上加下减”规律：
原抛物线的表达式为$y=x^2 - 2$，将其向上平移1个单位，只需在常数项上加1，
因此新抛物线的表达式为：
$y = x^2 - 2 + 1$
化简得$y = x^2 - 1$。
【答案】
$y=x^2-1$
【知识点】
二次函数平移；图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移类基础题，核心考查平移规则的应用，解题时注意区分上下平移和左右平移的规则，上下平移仅修改常数项，避免混淆规则导致出错。
【难度系数】
0.9
7. 若根式$\sqrt{\dfrac{1}{2-2k}}$有意义，则双曲线$y=\dfrac{2k-2}{x}$与抛物线$y=x^2+2x+2-2k$的交点在第
二
象限。答案
7. 二
解析
【分析】
解题时首先根据二次根式有意义的条件求出k的取值范围，再根据k的范围判断反比例函数的图象所在象限，接着分析抛物线的开口方向、不同x取值范围对应的y值符号，排除不可能存在交点的象限，最终确定交点所在的象限。
【解析】
1. 求k的取值范围：
要使根式$\sqrt{\dfrac{1}{2-2k}}$有意义，被开方数必须大于0，即$\dfrac{1}{2-2k}＞0$，因此分母$2-2k＞0$，解得$k＜1$。
2. 判断双曲线所在象限：
双曲线$y=\dfrac{2k-2}{x}$的比例系数为$2k-2=2(k-1)$，因为$k＜1$，所以$k-1＜0$，即$2k-2＜0$，因此双曲线的图象位于第二、四象限：当$x＜0$时，$y＞0$；当$x＞0$时，$y＜0$。
3. 分析抛物线的图象性质：
对抛物线$y=x^2+2x+2-2k$配方得$y=(x+1)^2 + (1-2k)$，可知抛物线开口向上。
当$x＞0$时，$x^2＞0$，$2x＞0$，又因为$k＜1$，所以$2-2k＞0$，因此$y=x^2+2x+2-2k＞0$，即抛物线在$x＞0$时y值恒为正，不会经过第四象限。
4. 判断交点象限：
双曲线在第四象限的特征是$x＞0,y＜0$，但抛物线在$x＞0$时y恒为正，因此二者不可能在第四象限相交；双曲线在第一、三象限无图象，因此交点只能在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
二次根式有意义的条件；反比例函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数综合题，需要结合根式的取值限制先确定参数范围，再结合反比例函数、二次函数的图象分布特征推理交点位置，能有效考察对函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据二次根式有意义的条件求出k的取值范围，再根据k的范围判断反比例函数的图象所在象限，接着分析抛物线的开口方向、不同x取值范围对应的y值符号，排除不可能存在交点的象限，最终确定交点所在的象限。
【解析】
1. 求k的取值范围：
要使根式$\sqrt{\dfrac{1}{2-2k}}$有意义，被开方数必须大于0，即$\dfrac{1}{2-2k}＞0$，因此分母$2-2k＞0$，解得$k＜1$。
2. 判断双曲线所在象限：
双曲线$y=\dfrac{2k-2}{x}$的比例系数为$2k-2=2(k-1)$，因为$k＜1$，所以$k-1＜0$，即$2k-2＜0$，因此双曲线的图象位于第二、四象限：当$x＜0$时，$y＞0$；当$x＞0$时，$y＜0$。
3. 分析抛物线的图象性质：
对抛物线$y=x^2+2x+2-2k$配方得$y=(x+1)^2 + (1-2k)$，可知抛物线开口向上。
当$x＞0$时，$x^2＞0$，$2x＞0$，又因为$k＜1$，所以$2-2k＞0$，因此$y=x^2+2x+2-2k＞0$，即抛物线在$x＞0$时y值恒为正，不会经过第四象限。
4. 判断交点象限：
双曲线在第四象限的特征是$x＞0,y＜0$，但抛物线在$x＞0$时y恒为正，因此二者不可能在第四象限相交；双曲线在第一、三象限无图象，因此交点只能在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
二次根式有意义的条件；反比例函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数综合题，需要结合根式的取值限制先确定参数范围，再结合反比例函数、二次函数的图象分布特征推理交点位置，能有效考察对函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8. 已知二次函数$y=x^2+2mx+2$，当$x＞2$时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是
$m≥-2$
。答案
8. $m≥-2$
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数的增减性与开口方向、对称轴的关系：本题二次函数的二次项系数为1＞0，图象开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小。题目要求x＞2时y随x增大而增大，说明x＞2的区间要全部落在对称轴右侧（包括对称轴与x=2重合的情况），因此先求出二次函数的对称轴，再根据对称轴和x=2的大小关系列不等式求解即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2+2mx+2$，
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2×1}=-m$，
∵当$x＞2$时，y随x的增大而增大，
∴对称轴需在x=2的左侧或与x=2重合，即$-m≤2$，
解得：$m≥-2$。
【答案】
$m≥-2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握开口向上的二次函数“对称轴右侧函数值随自变量增大而增大”的性质，列不等式时要注意不要遗漏等号的情况，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确二次函数的增减性与开口方向、对称轴的关系：本题二次函数的二次项系数为1＞0，图象开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小。题目要求x＞2时y随x增大而增大，说明x＞2的区间要全部落在对称轴右侧（包括对称轴与x=2重合的情况），因此先求出二次函数的对称轴，再根据对称轴和x=2的大小关系列不等式求解即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2+2mx+2$，
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2×1}=-m$，
∵当$x＞2$时，y随x的增大而增大，
∴对称轴需在x=2的左侧或与x=2重合，即$-m≤2$，
解得：$m≥-2$。
【答案】
$m≥-2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握开口向上的二次函数“对称轴右侧函数值随自变量增大而增大”的性质，列不等式时要注意不要遗漏等号的情况，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.7
9. 抛物线 $y=x^2 -2x +1$ 的顶点坐标是（
A.(1,0)
B.(-1,0)
C.(-2,1)
D.(2,-1)
A
）A.(1,0)
B.(-1,0)
C.(-2,1)
D.(2,-1)
答案
9. A
解析
【分析】
要求二次函数抛物线的顶点坐标，常用两种符合学段要求的方法：方法一是用配方法将二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到顶点坐标为$(h,k)$；方法二是利用顶点坐标公式，先算横坐标$x=-\frac{b}{2a}$，再代入函数解析式求出纵坐标即可。本题给出的解析式刚好符合完全平方公式的形式，用配方法求解更简便。
【解析】
解法1（配方法）：
由完全平方公式对$y=x^2-2x+1$化简可得：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，属于二次函数顶点式，对应顶点坐标为$(1,0)$。
解法2（公式法）：
二次函数$y=x^2-2x+1$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，
将$x=1$代入解析式得：$y=1^2-2×1+1=0$，
因此顶点坐标为$(1,0)$。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标求解、配方法、完全平方公式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数顶点坐标的求解方法，配方法和顶点公式法都是二次函数部分需要熟练掌握的基本技能，掌握两种方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要求二次函数抛物线的顶点坐标，常用两种符合学段要求的方法：方法一是用配方法将二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到顶点坐标为$(h,k)$；方法二是利用顶点坐标公式，先算横坐标$x=-\frac{b}{2a}$，再代入函数解析式求出纵坐标即可。本题给出的解析式刚好符合完全平方公式的形式，用配方法求解更简便。
【解析】
解法1（配方法）：
由完全平方公式对$y=x^2-2x+1$化简可得：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，属于二次函数顶点式，对应顶点坐标为$(1,0)$。
解法2（公式法）：
二次函数$y=x^2-2x+1$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，
将$x=1$代入解析式得：$y=1^2-2×1+1=0$，
因此顶点坐标为$(1,0)$。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标求解、配方法、完全平方公式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数顶点坐标的求解方法，配方法和顶点公式法都是二次函数部分需要熟练掌握的基本技能，掌握两种方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
10. 由二次函数$y=2(x-3)^2+1$，可知（
A.其图象的开口向下
B.其图象的对称轴为直线$x=-3$
C.其最小值为1
D.当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大
C
）A.其图象的开口向下
B.其图象的对称轴为直线$x=-3$
C.其最小值为1
D.当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
10. C
解析
【分析】
本题给出的是二次函数顶点式，解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，先确定参数$a、h、k$的取值，再从开口方向、对称轴、最值、增减性四个维度逐一判断选项正误即可。
【解析】
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，与题中函数$y=2(x-3)^2+1$对应可得：$a=2$，$h=3$，$k=1$。
1. 判断A选项：$a=2＞0$，图象开口向上，A错误；
2. 判断B选项：顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴为直线$x=3$，B错误；
3. 判断C选项：图象开口向上，函数最小值为顶点纵坐标$k=1$，C正确；
4. 判断D选项：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即$x＜3$时$y$随$x$的增大而减小，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数的最值，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是准确掌握顶点式中各参数对应的图象特征，易错点是容易误判对称轴的符号，判断增减性时要结合开口方向和对称轴共同分析。
【难度系数】
0.8
本题给出的是二次函数顶点式，解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，先确定参数$a、h、k$的取值，再从开口方向、对称轴、最值、增减性四个维度逐一判断选项正误即可。
【解析】
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，与题中函数$y=2(x-3)^2+1$对应可得：$a=2$，$h=3$，$k=1$。
1. 判断A选项：$a=2＞0$，图象开口向上，A错误；
2. 判断B选项：顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴为直线$x=3$，B错误；
3. 判断C选项：图象开口向上，函数最小值为顶点纵坐标$k=1$，C正确；
4. 判断D选项：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即$x＜3$时$y$随$x$的增大而减小，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数的最值，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是准确掌握顶点式中各参数对应的图象特征，易错点是容易误判对称轴的符号，判断增减性时要结合开口方向和对称轴共同分析。
【难度系数】
0.8
11. 将抛物线$y=3x^2$向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（
A.$y=3(x+2)^2+3$
B.$y=3(x-2)^2+3$
C.$y=3(x+2)^2-3$
D.$y=3(x-2)^2-3$
A
）A.$y=3(x+2)^2+3$
B.$y=3(x-2)^2+3$
C.$y=3(x+2)^2-3$
D.$y=3(x-2)^2-3$
答案
11. A
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题时先回忆二次函数平移的规律：“上加下减，左加右减”。其中上下平移针对函数整体的常数项调整，向上平移加，向下平移减；左右平移针对自变量x进行调整，向左平移则把x替换为x加平移单位，向右平移则把x替换为x减平移单位。我们按照题目给出的平移顺序分步推导，就能得到最终的抛物线解析式。
【解析】
1. 原抛物线解析式为$ y=3x^2 $，首先向上平移3个单位，根据“上加下减”的规律，平移后解析式为：
$ y=3x^2+3 $
2. 再将上述抛物线向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律，需要把解析式中的$ x $替换为$ x+2 $，代入后得到：
$ y=3(x+2)^2+3 $
对比选项，A选项符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查平移规律的应用，易错点是左右平移时容易混淆自变量的加减方向，只要明确左右平移仅针对自变量x进行变换，记牢“左加右减、上加下减”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移变换，解题时先回忆二次函数平移的规律：“上加下减，左加右减”。其中上下平移针对函数整体的常数项调整，向上平移加，向下平移减；左右平移针对自变量x进行调整，向左平移则把x替换为x加平移单位，向右平移则把x替换为x减平移单位。我们按照题目给出的平移顺序分步推导，就能得到最终的抛物线解析式。
【解析】
1. 原抛物线解析式为$ y=3x^2 $，首先向上平移3个单位，根据“上加下减”的规律，平移后解析式为：
$ y=3x^2+3 $
2. 再将上述抛物线向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律，需要把解析式中的$ x $替换为$ x+2 $，代入后得到：
$ y=3(x+2)^2+3 $
对比选项，A选项符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查平移规律的应用，易错点是左右平移时容易混淆自变量的加减方向，只要明确左右平移仅针对自变量x进行变换，记牢“左加右减、上加下减”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 已知函数$y=(k-3)x^2+2x+1$的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（
A.$k＜4$
B.$k≤4$
C.$k＜4$且$k≠3$
D.$k≤4$且$k≠3$
B
）A.$k＜4$
B.$k≤4$
C.$k＜4$且$k≠3$
D.$k≤4$且$k≠3$
答案
12. B
解析
【分析】
解题时首先注意题目未明确说明函数是二次函数，因此需分两类讨论：①当二次项系数为0时，函数为一次函数，判断其与x轴是否有交点；②当二次项系数不为0时，函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于判别式Δ≥0，分别求解两种情况的k的取值范围后取并集即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k-3=0$，即$k=3$时，函数解析式为$y=2x+1$，是一次函数，该直线与x轴有交点（交点为$(-\frac{1}{2},0)$），符合题意，故$k=3$成立；
2. 当$k-3≠0$，即$k≠3$时，函数为二次函数，若其图象与x轴有交点，则判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
其中$a=k-3$，$b=2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-3)×1 ≥ 0$
化简得：$4 - 4(k-3) ≥ 0$
即$4 -k +3 ≥ 0$，解得$k ≤ 4$，此时k的取值范围为$k ≤ 4$且$k≠3$。
将两种情况的取值范围合并，可得k的取值范围是$k ≤ 4$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数性质；二次函数判别式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是直接默认函数为二次函数，忽略一次函数的情况从而误选D，解题时遇到未明确类型的含参函数，要先分类讨论，做到考虑全面。
【难度系数】
0.6
解题时首先注意题目未明确说明函数是二次函数，因此需分两类讨论：①当二次项系数为0时，函数为一次函数，判断其与x轴是否有交点；②当二次项系数不为0时，函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于判别式Δ≥0，分别求解两种情况的k的取值范围后取并集即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k-3=0$，即$k=3$时，函数解析式为$y=2x+1$，是一次函数，该直线与x轴有交点（交点为$(-\frac{1}{2},0)$），符合题意，故$k=3$成立；
2. 当$k-3≠0$，即$k≠3$时，函数为二次函数，若其图象与x轴有交点，则判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
其中$a=k-3$，$b=2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-3)×1 ≥ 0$
化简得：$4 - 4(k-3) ≥ 0$
即$4 -k +3 ≥ 0$，解得$k ≤ 4$，此时k的取值范围为$k ≤ 4$且$k≠3$。
将两种情况的取值范围合并，可得k的取值范围是$k ≤ 4$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数性质；二次函数判别式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是直接默认函数为二次函数，忽略一次函数的情况从而误选D，解题时遇到未明确类型的含参函数，要先分类讨论，做到考虑全面。
【难度系数】
0.6
13. 对于抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+3$，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 $x=1$；③顶点坐标为 $(-1,3)$；④$x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。其中正确结论的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
13. C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）中各参数对应的图像特征，再依次对4个结论逐一验证即可：先由$a$的正负判断开口方向，再根据$h$确定对称轴和顶点坐标，最后结合开口方向与对称轴判断函数的增减性。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 判断开口方向：解析式中$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，结论①正确；
2. 判断对称轴：解析式可变形为$y=-\frac{1}{2}[x-(-1)]^2+3$，可得$h=-1$，即对称轴为直线$x=-1$，故结论②错误；
3. 判断顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)$，代入得顶点坐标为$(-1,3)$，结论③正确；
4. 判断增减性：因抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，$x＞1$属于$x＞-1$的范围，因此$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，解题关键是熟练掌握顶点式中各参数对应的图像特征，易错点是容易将$(x+1)$对应的对称轴误认为是$x=1$，需注意顶点式中括号内为$x-h$的形式，要准确提取$h$的符号。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）中各参数对应的图像特征，再依次对4个结论逐一验证即可：先由$a$的正负判断开口方向，再根据$h$确定对称轴和顶点坐标，最后结合开口方向与对称轴判断函数的增减性。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 判断开口方向：解析式中$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，结论①正确；
2. 判断对称轴：解析式可变形为$y=-\frac{1}{2}[x-(-1)]^2+3$，可得$h=-1$，即对称轴为直线$x=-1$，故结论②错误；
3. 判断顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)$，代入得顶点坐标为$(-1,3)$，结论③正确；
4. 判断增减性：因抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，$x＞1$属于$x＞-1$的范围，因此$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，解题关键是熟练掌握顶点式中各参数对应的图像特征，易错点是容易将$(x+1)$对应的对称轴误认为是$x=1$，需注意顶点式中括号内为$x-h$的形式，要准确提取$h$的符号。
【难度系数】
0.7
14. 在同一坐标系内，一次函数 $ y = ax + b $ 与二次函数 $ y = ax^2 + 8x + b $ 的图象可能是 (
C
) 答案
14. C
解析
【分析】
解题时我们可以从两个函数的共同参数a、b入手分析：①参数a：二次函数中a决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；一次函数中a决定直线的升降趋势，a＞0直线从左下向右上上升，a＜0直线从左上向右下下降，两个函数的a是同一个数，符号必须一致，可据此排除部分选项。②参数b：x=0时，两个函数的y值都等于b，说明两个图象与y轴的交点是同一个点，据此可进一步排除错误选项。
【解析】
1. 先通过参数a的符号排除矛盾选项：
选项A：二次函数开口向上，说明a＞0，但一次函数呈下降趋势，说明a＜0，a的符号矛盾，排除A；
选项D：二次函数开口向下，说明a＜0，但一次函数呈上升趋势，说明a＞0，a的符号矛盾，排除D；
2. 再通过参数b判断y轴交点排除矛盾选项：
选项B：二次函数与y轴交于正半轴，说明b＞0，一次函数与y轴交于负半轴，说明b＜0，b的符号矛盾，排除B；
3. 验证选项C：二次函数开口向上（a＞0），一次函数上升（a＞0），且两个图象与y轴交于同一点（b相同），所有条件都符合。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象的典型判断类题目，解题核心是抓住两个函数中相同参数的一致性，不需要复杂计算，通过两步排除法就能快速得到答案，能很好地考察对函数图象与系数对应关系的理解。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以从两个函数的共同参数a、b入手分析：①参数a：二次函数中a决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；一次函数中a决定直线的升降趋势，a＞0直线从左下向右上上升，a＜0直线从左上向右下下降，两个函数的a是同一个数，符号必须一致，可据此排除部分选项。②参数b：x=0时，两个函数的y值都等于b，说明两个图象与y轴的交点是同一个点，据此可进一步排除错误选项。
【解析】
1. 先通过参数a的符号排除矛盾选项：
选项A：二次函数开口向上，说明a＞0，但一次函数呈下降趋势，说明a＜0，a的符号矛盾，排除A；
选项D：二次函数开口向下，说明a＜0，但一次函数呈上升趋势，说明a＞0，a的符号矛盾，排除D；
2. 再通过参数b判断y轴交点排除矛盾选项：
选项B：二次函数与y轴交于正半轴，说明b＞0，一次函数与y轴交于负半轴，说明b＜0，b的符号矛盾，排除B；
3. 验证选项C：二次函数开口向上（a＞0），一次函数上升（a＞0），且两个图象与y轴交于同一点（b相同），所有条件都符合。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象的典型判断类题目，解题核心是抓住两个函数中相同参数的一致性，不需要复杂计算，通过两步排除法就能快速得到答案，能很好地考察对函数图象与系数对应关系的理解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15. 通过配方,写出函数$y=-2x^2 -3x +5$的顶点式,并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标.
15. 通过配方,写出函数$y=-2x^2 -3x +5$的顶点式,并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标.
答案
15. 解:$y=-2(x+\dfrac{3}{4})^2 +\dfrac{49}{8}$,开口向下,对称轴是直线$x=-\dfrac{3}{4}$,顶点坐标为$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{49}{8})$.
解析
【分析】
解题时先利用配方法把二次函数的一般式转化为顶点式，配方法的步骤为：先提取二次项系数，将含x的二次项、一次项放入括号内，再在括号中凑完全平方，变形过程中要注意调整常数项保证等式成立；得到顶点式后，根据二次项系数的符号判断开口方向，直接从顶点式中读取对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
解：对函数$y=-2x^2 -3x +5$配方步骤如下：
1. 提取二次项系数$-2$，合并含$x$的项：
$y=-2(x^2 + \dfrac{3}{2}x) + 5$
2. 括号内凑完全平方：$x^2+\dfrac{3}{2}x = (x+\dfrac{3}{4})^2 - (\dfrac{3}{4})^2$，代入上式得：
$y=-2[(x+\dfrac{3}{4})^2 - \dfrac{9}{16}] +5$
3. 展开化简常数项：
$y=-2(x+\dfrac{3}{4})^2 + \dfrac{9}{8} + 5 = -2(x+\dfrac{3}{4})^2 + \dfrac{49}{8}$
结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质判断：
$\because a=-2＜0$，$\therefore$函数开口向下；
对称轴为直线$x=-\dfrac{3}{4}$；
顶点坐标为$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{49}{8})$。
【答案】
顶点式为$y=-2(x+\dfrac{3}{4})^2 +\dfrac{49}{8}$，开口向下，对称轴是直线$x=-\dfrac{3}{4}$，顶点坐标为$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{49}{8})$。
【知识点】
配方法；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查配方法的操作以及顶点式和函数性质的对应关系，解题易错点为二次项系数不为1时，配方过程中常数项计算错误，需格外注意。
【难度系数】
0.8
解题时先利用配方法把二次函数的一般式转化为顶点式，配方法的步骤为：先提取二次项系数，将含x的二次项、一次项放入括号内，再在括号中凑完全平方，变形过程中要注意调整常数项保证等式成立；得到顶点式后，根据二次项系数的符号判断开口方向，直接从顶点式中读取对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
解：对函数$y=-2x^2 -3x +5$配方步骤如下：
1. 提取二次项系数$-2$，合并含$x$的项：
$y=-2(x^2 + \dfrac{3}{2}x) + 5$
2. 括号内凑完全平方：$x^2+\dfrac{3}{2}x = (x+\dfrac{3}{4})^2 - (\dfrac{3}{4})^2$，代入上式得：
$y=-2[(x+\dfrac{3}{4})^2 - \dfrac{9}{16}] +5$
3. 展开化简常数项：
$y=-2(x+\dfrac{3}{4})^2 + \dfrac{9}{8} + 5 = -2(x+\dfrac{3}{4})^2 + \dfrac{49}{8}$
结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质判断：
$\because a=-2＜0$，$\therefore$函数开口向下；
对称轴为直线$x=-\dfrac{3}{4}$；
顶点坐标为$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{49}{8})$。
【答案】
顶点式为$y=-2(x+\dfrac{3}{4})^2 +\dfrac{49}{8}$，开口向下，对称轴是直线$x=-\dfrac{3}{4}$，顶点坐标为$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{49}{8})$。
【知识点】
配方法；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查配方法的操作以及顶点式和函数性质的对应关系，解题易错点为二次项系数不为1时，配方过程中常数项计算错误，需格外注意。
【难度系数】
0.8
