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16. 若二次函数$y=a(x+1)^2+2$的图象经过点$(-2,8)$。
(1)求$a$的值；
(2)这个函数有最大值或最小值吗？是多少？
(1)求$a$的值；
(2)这个函数有最大值或最小值吗？是多少？
答案
16. (1)$a=6$
(2)有最小值2.
(2)有最小值2.
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标必然满足该函数的解析式，因此将已知点$(-2,8)$的横、纵坐标代入二次函数解析式，即可得到关于$a$的一元一次方程，求解方程就能得到$a$的值。(2) 二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$的正负决定抛物线的开口方向：$a＞0$时开口向上，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标$k$；$a＜0$时开口向下，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标$k$。求出$a$后结合顶点式的性质即可判断最值情况。
【解析】
(1) 将点$(-2,8)$代入二次函数$y=a(x+1)^2+2$，得：
$\begin{aligned}8&=a×(-2+1)^2+2\\8&=a×1 + 2\\a&=8-2\\a&=6\end{aligned}$
(2) 由(1)可知二次函数解析式为$y=6(x+1)^2+2$，
$\because a=6＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，函数有最小值，
该函数的顶点坐标为$(-1,2)$，因此函数的最小值为2。
【答案】
(1)$a=6$；(2)有最小值2。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题核心是理解函数图象与解析式的对应关系，熟练掌握二次函数顶点式的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
(1) 函数图象上的点的坐标必然满足该函数的解析式，因此将已知点$(-2,8)$的横、纵坐标代入二次函数解析式，即可得到关于$a$的一元一次方程，求解方程就能得到$a$的值。(2) 二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，$a$的正负决定抛物线的开口方向：$a＞0$时开口向上，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标$k$；$a＜0$时开口向下，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标$k$。求出$a$后结合顶点式的性质即可判断最值情况。
【解析】
(1) 将点$(-2,8)$代入二次函数$y=a(x+1)^2+2$，得：
$\begin{aligned}8&=a×(-2+1)^2+2\\8&=a×1 + 2\\a&=8-2\\a&=6\end{aligned}$
(2) 由(1)可知二次函数解析式为$y=6(x+1)^2+2$，
$\because a=6＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，函数有最小值，
该函数的顶点坐标为$(-1,2)$，因此函数的最小值为2。
【答案】
(1)$a=6$；(2)有最小值2。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题核心是理解函数图象与解析式的对应关系，熟练掌握二次函数顶点式的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
17. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=mx^2 -2mx -2(m≠0)$与$y$轴交于点$A$，其对称轴与$x$轴交于点$B$.
(1)求点$A$，$B$的坐标；
(2)设直线$l$与直线$AB$关于该抛物线的对称轴对称，求直线$l$的解析式；
(3)若该抛物线在$-2＜x＜-1$这一段位于直线$l$的上方，并且在$2＜x＜3$这一段位于直线$AB$的下方，求该抛物线的解析式.
(1)求点$A$，$B$的坐标；
(2)设直线$l$与直线$AB$关于该抛物线的对称轴对称，求直线$l$的解析式；
(3)若该抛物线在$-2＜x＜-1$这一段位于直线$l$的上方，并且在$2＜x＜3$这一段位于直线$AB$的下方，求该抛物线的解析式.
答案
17. 解:(1)当$x=0$时,$y=-2$.
$\therefore A(0,-2)$.
抛物线对称轴为直线$x=-\dfrac{-2m}{2m}=1$,
$\therefore B(1,0)$;
(2)易得 A 点关于对称轴的对称点为$A'(2,-2)$,
则直线 l 经过$A',B$.
设直线 l 的解析式为$y=kx+b$,
则$\begin{cases}2k+b=-2,\\k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=2.\end{cases}$
$\therefore$直线 l 的解析式为$y=-2x+2$;
(3)$\because$抛物线的对称轴为直线$x=1$.
抛物线在$2＜x＜3$这一段与在$-1＜x＜0$这一段关于对称轴对称,结合图象可以观察到抛物线在$-2＜x＜-1$这一段位于直线 l 的上方,在$-1＜x＜0$这一段位于直线 l 的下方.
$\therefore$抛物线与直线 l 的交点横坐标为$-1$;
当$x=-1$时,$y=-2×(-1)+2=4$,
则抛物线过点$(-1,4)$.
当$x=-1$时,$m+2m-2=4,m=2$,
$\therefore$抛物线解析式为$y=2x^2-4x-2$.
$\therefore A(0,-2)$.
抛物线对称轴为直线$x=-\dfrac{-2m}{2m}=1$,
$\therefore B(1,0)$;
(2)易得 A 点关于对称轴的对称点为$A'(2,-2)$,
则直线 l 经过$A',B$.
设直线 l 的解析式为$y=kx+b$,
则$\begin{cases}2k+b=-2,\\k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=2.\end{cases}$
$\therefore$直线 l 的解析式为$y=-2x+2$;
(3)$\because$抛物线的对称轴为直线$x=1$.
抛物线在$2＜x＜3$这一段与在$-1＜x＜0$这一段关于对称轴对称,结合图象可以观察到抛物线在$-2＜x＜-1$这一段位于直线 l 的上方,在$-1＜x＜0$这一段位于直线 l 的下方.
$\therefore$抛物线与直线 l 的交点横坐标为$-1$;
当$x=-1$时,$y=-2×(-1)+2=4$,
则抛物线过点$(-1,4)$.
当$x=-1$时,$m+2m-2=4,m=2$,
$\therefore$抛物线解析式为$y=2x^2-4x-2$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线与y轴交点A时，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入抛物线解析式即可得到A的坐标；求对称轴与x轴交点B时，利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$算出对称轴，x轴上点的纵坐标为0，即可得到B的坐标。
(2) 两条直线关于抛物线对称轴对称时，直线AB上的点关于对称轴的对称点都在直线l上，先找到A点关于对称轴x=1的对称点A'，可知直线l经过A'和B两点，再用待定系数法即可求出直线l的解析式。
(3) 抛物线关于对称轴x=1对称，因此2＜x＜3的图象段和-1＜x＜0的图象段完全对称，结合已知的两段图象和直线的位置关系，可推出抛物线与直线l的交点横坐标为x=-1，将该点代入抛物线解析式即可求出m的值，得到最终抛物线解析式。
【解析】
(1) 当$x=0$时，代入抛物线$y=mx^2 -2mx -2$得$y=-2$，$\therefore A(0,-2)$。
抛物线对称轴为直线$x=-\dfrac{-2m}{2m}=1$，对称轴与x轴交点纵坐标为0，$\therefore B(1,0)$。
(2) 点A(0,-2)关于对称轴直线x=1的对称点为$A'(2,-2)$，由轴对称性质可知直线l经过$A'$、$B$两点。
设直线l的解析式为$y=kx+b$，将$A'(2,-2)$、$B(1,0)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=-2\\k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$，$\therefore$直线l的解析式为$y=-2x+2$。
(3) $\because$抛物线的对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$抛物线在$2＜x＜3$这一段的图象与在$-1＜x＜0$这一段的图象关于对称轴对称。
已知抛物线在$2＜x＜3$这一段位于直线AB的下方，可推出抛物线在$-1＜x＜0$这一段位于直线l的下方，
结合题目给出的抛物线在$-2＜x＜-1$这一段位于直线l的上方，可知抛物线与直线l的交点横坐标为$x=-1$。
当$x=-1$时，代入直线l解析式得$y=-2×(-1)+2=4$，即抛物线过点$(-1,4)$。
将$(-1,4)$代入抛物线解析式得：$m+2m-2=4$，解得$m=2$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=2x^2-4x-2$。
【答案】
(1) $A(0,-2)$，$B(1,0)$；
(2) $y=-2x+2$；
(3) $y=2x^2-4x-2$
【知识点】
二次函数基本性质，一次函数解析式求解，轴对称的性质
【点评】
本题综合考查了二次函数的图象性质、待定系数法求函数解析式、轴对称的应用，解题核心是利用抛物线的对称性找到关键交点坐标，对函数图象的变换理解有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线与y轴交点A时，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入抛物线解析式即可得到A的坐标；求对称轴与x轴交点B时，利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$算出对称轴，x轴上点的纵坐标为0，即可得到B的坐标。
(2) 两条直线关于抛物线对称轴对称时，直线AB上的点关于对称轴的对称点都在直线l上，先找到A点关于对称轴x=1的对称点A'，可知直线l经过A'和B两点，再用待定系数法即可求出直线l的解析式。
(3) 抛物线关于对称轴x=1对称，因此2＜x＜3的图象段和-1＜x＜0的图象段完全对称，结合已知的两段图象和直线的位置关系，可推出抛物线与直线l的交点横坐标为x=-1，将该点代入抛物线解析式即可求出m的值，得到最终抛物线解析式。
【解析】
(1) 当$x=0$时，代入抛物线$y=mx^2 -2mx -2$得$y=-2$，$\therefore A(0,-2)$。
抛物线对称轴为直线$x=-\dfrac{-2m}{2m}=1$，对称轴与x轴交点纵坐标为0，$\therefore B(1,0)$。
(2) 点A(0,-2)关于对称轴直线x=1的对称点为$A'(2,-2)$，由轴对称性质可知直线l经过$A'$、$B$两点。
设直线l的解析式为$y=kx+b$，将$A'(2,-2)$、$B(1,0)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=-2\\k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$，$\therefore$直线l的解析式为$y=-2x+2$。
(3) $\because$抛物线的对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$抛物线在$2＜x＜3$这一段的图象与在$-1＜x＜0$这一段的图象关于对称轴对称。
已知抛物线在$2＜x＜3$这一段位于直线AB的下方，可推出抛物线在$-1＜x＜0$这一段位于直线l的下方，
结合题目给出的抛物线在$-2＜x＜-1$这一段位于直线l的上方，可知抛物线与直线l的交点横坐标为$x=-1$。
当$x=-1$时，代入直线l解析式得$y=-2×(-1)+2=4$，即抛物线过点$(-1,4)$。
将$(-1,4)$代入抛物线解析式得：$m+2m-2=4$，解得$m=2$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=2x^2-4x-2$。
【答案】
(1) $A(0,-2)$，$B(1,0)$；
(2) $y=-2x+2$；
(3) $y=2x^2-4x-2$
【知识点】
二次函数基本性质，一次函数解析式求解，轴对称的性质
【点评】
本题综合考查了二次函数的图象性质、待定系数法求函数解析式、轴对称的应用，解题核心是利用抛物线的对称性找到关键交点坐标，对函数图象的变换理解有一定要求。
【难度系数】
0.6
18. 将二次函数 $ y = -x^2 + 2x + 3 $ 的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式(平移后抛物线的形状不变)。
答案
18. 解:在抛物线$y=-x^2+2x+3$上任取两点$A(0,3),B(1,4)$,由题意知:点 A 向左平移 1 个单位得到$A'(-1,3)$,再向下平移 2 个单位得到$A''(-1,1)$;点 B 向左平移 1 个单位得到$B'(0,4)$,再向下平移 2 个单位得到$B''(0,2)$.
设平移后的抛物线的解析式为$y=-x^2+bx+c$.
则点$A''(-1,1),B''(0,2)$在抛物线上.
可得$\begin{cases}-1-b+c=1,\\c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=0,\\c=2.\end{cases}$
所以平移后的抛物线的解析式为$y=-x^2+2$.
设平移后的抛物线的解析式为$y=-x^2+bx+c$.
则点$A''(-1,1),B''(0,2)$在抛物线上.
可得$\begin{cases}-1-b+c=1,\\c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=0,\\c=2.\end{cases}$
所以平移后的抛物线的解析式为$y=-x^2+2$.
解析
【分析】
要解决二次函数平移后的解析式问题，首先明确二次函数平移时形状不变，因此二次项系数不变，仍为-1。我们可以通过“点平移”的思路求解：先在原抛物线上选取两个计算简便的点，再根据“向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减”的平移规则算出两点平移后的坐标，最后将平移后的两点坐标代入设好的含未知系数的抛物线解析式，列方程组求解即可得到平移后的解析式。
【解析】
解：在抛物线$y=-x^2+2x+3$上任取两点$A(0,3)$、$B(1,4)$。
根据平移规则：向左平移1个单位，横坐标减1；向下平移2个单位，纵坐标减2。
点A先向左平移1个单位得到$A'(-1,3)$，再向下平移2个单位得到$A''(-1,1)$；
点B先向左平移1个单位得到$B'(0,4)$，再向下平移2个单位得到$B''(0,2)$。
因为平移后抛物线形状不变，所以二次项系数仍为$-1$，设平移后的抛物线解析式为$y=-x^2+bx+c$。
将$A''(-1,1)$、$B''(0,2)$代入解析式，可得：
$\begin{cases}-1-b+c=1\\c=2\end{cases}$
把$c=2$代入第一个方程，解得$b=0$。
所以平移后的抛物线的解析式为$y=-x^2+2$。
【答案】
$y=-x^2+2$
【知识点】
二次函数图象平移；待定系数法求解析式；点坐标平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，既可以通过点平移结合待定系数法求解，也可以用“左加右减、上加下减”的平移规律直接对函数式变形求解，解题时注意平移不改变二次项系数的性质是关键。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数平移后的解析式问题，首先明确二次函数平移时形状不变，因此二次项系数不变，仍为-1。我们可以通过“点平移”的思路求解：先在原抛物线上选取两个计算简便的点，再根据“向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减”的平移规则算出两点平移后的坐标，最后将平移后的两点坐标代入设好的含未知系数的抛物线解析式，列方程组求解即可得到平移后的解析式。
【解析】
解：在抛物线$y=-x^2+2x+3$上任取两点$A(0,3)$、$B(1,4)$。
根据平移规则：向左平移1个单位，横坐标减1；向下平移2个单位，纵坐标减2。
点A先向左平移1个单位得到$A'(-1,3)$，再向下平移2个单位得到$A''(-1,1)$；
点B先向左平移1个单位得到$B'(0,4)$，再向下平移2个单位得到$B''(0,2)$。
因为平移后抛物线形状不变，所以二次项系数仍为$-1$，设平移后的抛物线解析式为$y=-x^2+bx+c$。
将$A''(-1,1)$、$B''(0,2)$代入解析式，可得：
$\begin{cases}-1-b+c=1\\c=2\end{cases}$
把$c=2$代入第一个方程，解得$b=0$。
所以平移后的抛物线的解析式为$y=-x^2+2$。
【答案】
$y=-x^2+2$
【知识点】
二次函数图象平移；待定系数法求解析式；点坐标平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，既可以通过点平移结合待定系数法求解，也可以用“左加右减、上加下减”的平移规律直接对函数式变形求解，解题时注意平移不改变二次项系数的性质是关键。
【难度系数】
0.8
19. 如图所示,有长为24 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a为10 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x m,面积为S m².
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45 m²的花圃,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45 m²更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45 m²的花圃,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45 m²更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
答案
19. (1)$S=-3x^2+24x$
(2)$5\ \mathrm{m}$
(3)能,围法:花圃的长为 10 m,宽为$\dfrac{14}{3}\ \mathrm{m}$,这时有最大面积为$\dfrac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$.
(2)$5\ \mathrm{m}$
(3)能,围法:花圃的长为 10 m,宽为$\dfrac{14}{3}\ \mathrm{m}$,这时有最大面积为$\dfrac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 首先明确长方形花圃的边长表示：宽AB为x m，垂直于墙的篱笆共有3段（两侧AB、CD和中间的分隔篱笆），总长度为3x m，因此平行于墙的边长BC为总篱笆长24m减去3x。根据长方形面积=长×宽即可写出S与x的关系式，同时要结合墙的最大长度10m确定x的取值范围，保证BC长度不超过墙长且为正。
(2) 求面积为45m²时AB的长，只需将S=45代入第一问的函数关系式，解一元二次方程，再结合x的取值范围舍去不符合实际的解即可。
(3) 判断能否围成更大面积，需结合二次函数的增减性：该二次函数开口向下，对称轴为x=4，而x的最小取值为14/3（约4.67），大于对称轴x=4，因此在x的有效取值范围内函数随x增大而减小，x取最小值时S取得最大值，计算该最大值并与45比较即可。
【解析】
(1) 设花圃的宽AB为x m，则垂直于墙的篱笆总长度为3x m，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
由长方形面积公式得：
$S = x(24-3x) = -3x^2 + 24x$
结合墙的最大长度限制：$0＜24-3x≤10$，解得$\frac{14}{3}≤ x＜8$
故S与x的函数关系式为$S=-3x^2+24x(\frac{14}{3}≤ x＜8)$。
(2) 当$S=45$时，代入函数关系式得：
$-3x^2 + 24x = 45$
整理为$x^2 - 8x +15=0$
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
检验：当$x=3$时，$BC=24-3×3=15＞10$，超过墙的最大长度，舍去；
当$x=5$时，$BC=24-3×5=9≤10$，符合要求。
故AB的长为5m。
(3) 能围成面积更大的花圃。
二次函数$S=-3x^2+24x$中，二次项系数$-3＜0$，函数图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
由于x的取值范围为$\frac{14}{3}≤ x＜8$，该区间在对称轴右侧，因此S随x的增大而减小。
当x取最小值$\frac{14}{3}$时，S取得最大值：
此时$BC=24-3×\frac{14}{3}=10\ \mathrm{m}$，$S_{\mathrm{max}}=10×\frac{14}{3}=\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$
$\frac{140}{3}\approx46.67＞45$，符合要求。
围法：平行于墙的边长为10m，垂直于墙的宽为$\frac{14}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$S=-3x^2+24x$
(2)$5\ \mathrm{m}$
(3)能，围法：花圃的长为 10 m，宽为$\dfrac{14}{3}\ \mathrm{m}$，最大面积为$\dfrac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的应用、一元二次方程的解法、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题的关键是结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，避免求解时出现不符合实际的增根，求最值时不能直接套用顶点坐标，要结合自变量的有效范围综合判断函数的增减性得到正确结果。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确长方形花圃的边长表示：宽AB为x m，垂直于墙的篱笆共有3段（两侧AB、CD和中间的分隔篱笆），总长度为3x m，因此平行于墙的边长BC为总篱笆长24m减去3x。根据长方形面积=长×宽即可写出S与x的关系式，同时要结合墙的最大长度10m确定x的取值范围，保证BC长度不超过墙长且为正。
(2) 求面积为45m²时AB的长，只需将S=45代入第一问的函数关系式，解一元二次方程，再结合x的取值范围舍去不符合实际的解即可。
(3) 判断能否围成更大面积，需结合二次函数的增减性：该二次函数开口向下，对称轴为x=4，而x的最小取值为14/3（约4.67），大于对称轴x=4，因此在x的有效取值范围内函数随x增大而减小，x取最小值时S取得最大值，计算该最大值并与45比较即可。
【解析】
(1) 设花圃的宽AB为x m，则垂直于墙的篱笆总长度为3x m，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
由长方形面积公式得：
$S = x(24-3x) = -3x^2 + 24x$
结合墙的最大长度限制：$0＜24-3x≤10$，解得$\frac{14}{3}≤ x＜8$
故S与x的函数关系式为$S=-3x^2+24x(\frac{14}{3}≤ x＜8)$。
(2) 当$S=45$时，代入函数关系式得：
$-3x^2 + 24x = 45$
整理为$x^2 - 8x +15=0$
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
检验：当$x=3$时，$BC=24-3×3=15＞10$，超过墙的最大长度，舍去；
当$x=5$时，$BC=24-3×5=9≤10$，符合要求。
故AB的长为5m。
(3) 能围成面积更大的花圃。
二次函数$S=-3x^2+24x$中，二次项系数$-3＜0$，函数图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
由于x的取值范围为$\frac{14}{3}≤ x＜8$，该区间在对称轴右侧，因此S随x的增大而减小。
当x取最小值$\frac{14}{3}$时，S取得最大值：
此时$BC=24-3×\frac{14}{3}=10\ \mathrm{m}$，$S_{\mathrm{max}}=10×\frac{14}{3}=\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$
$\frac{140}{3}\approx46.67＞45$，符合要求。
围法：平行于墙的边长为10m，垂直于墙的宽为$\frac{14}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$S=-3x^2+24x$
(2)$5\ \mathrm{m}$
(3)能，围法：花圃的长为 10 m，宽为$\dfrac{14}{3}\ \mathrm{m}$，最大面积为$\dfrac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的应用、一元二次方程的解法、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题的关键是结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，避免求解时出现不符合实际的增根，求最值时不能直接套用顶点坐标，要结合自变量的有效范围综合判断函数的增减性得到正确结果。
【难度系数】
0.6
