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3. 最近，我国研制出一种抗生素新药，成年人按规定剂量服用后，平均每毫升血液中的含药量$y$（微克）与服药时间$x$（小时）之间满足关系式$y=-\frac{1}{2}x^2 +4x$，问：服药几小时时，可以使每毫升血液中含药量为6微克？
答案
3. 2小时或6小时
解析
【分析】
题目要求每毫升血液中含药量为6微克时的服药时间，也就是求函数值y=6时对应的自变量x的值。解题时先将y=6代入给出的二次函数关系式，得到关于x的一元二次方程，再解一元二次方程，最后验证解是否符合服药时间为非负数的实际要求即可。
【解析】
解：根据题意，当含药量$y=6$微克时，代入$y=-\frac{1}{2}x^2 +4x$，可得：
$-\frac{1}{2}x^2 +4x=6$
方程两边同时乘2，得：$-x^2 +8x=12$
移项整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 -8x +12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
则$x-2=0$或$x-6=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$。
因为服药时间$x$为非负数，2和6均符合实际意义，所以两个解都有效。
【答案】
2小时或6小时
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合实际生活场景考查函数与方程的转化思想，解题关键是将实际问题中的数量关系对应到函数的变量关系，求解后要注意验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
题目要求每毫升血液中含药量为6微克时的服药时间，也就是求函数值y=6时对应的自变量x的值。解题时先将y=6代入给出的二次函数关系式，得到关于x的一元二次方程，再解一元二次方程，最后验证解是否符合服药时间为非负数的实际要求即可。
【解析】
解：根据题意，当含药量$y=6$微克时，代入$y=-\frac{1}{2}x^2 +4x$，可得：
$-\frac{1}{2}x^2 +4x=6$
方程两边同时乘2，得：$-x^2 +8x=12$
移项整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 -8x +12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
则$x-2=0$或$x-6=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$。
因为服药时间$x$为非负数，2和6均符合实际意义，所以两个解都有效。
【答案】
2小时或6小时
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合实际生活场景考查函数与方程的转化思想，解题关键是将实际问题中的数量关系对应到函数的变量关系，求解后要注意验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
4. 某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送，计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完.
(1)求：大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
(2)因路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶.为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑$\frac{1}{2}m$次，小货车每天比原计划多跑$m$次，一天刚好运送了帐篷14400顶，求$m$的值.
(1)求：大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
(2)因路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶.为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑$\frac{1}{2}m$次，小货车每天比原计划多跑$m$次，一天刚好运送了帐篷14400顶，求$m$的值.
答案
4. 解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷$x$顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷$(x+200)$顶,根据题意,得
$2[8x+2(x+200)]=16800$,解得 $x=800$,
$x+200=800+200=1000$.
答:大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶;
(2)根据题意,得 $2(1000-200m)(1+\frac{1}{2}m)+8(800-300)(1+m)=14400$,
化简为 $m^2-23m+42=0$,解得 $m_1=2,m_2=21$.
$\because 1000-200m$ 不能为负数,且$\frac{1}{2}m$ 为整数,$\therefore m_2=21$ 不符合实际,舍去.
故 $m$ 的值为 2.
$2[8x+2(x+200)]=16800$,解得 $x=800$,
$x+200=800+200=1000$.
答:大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶;
(2)根据题意,得 $2(1000-200m)(1+\frac{1}{2}m)+8(800-300)(1+m)=14400$,
化简为 $m^2-23m+42=0$,解得 $m_1=2,m_2=21$.
$\because 1000-200m$ 不能为负数,且$\frac{1}{2}m$ 为整数,$\therefore m_2=21$ 不符合实际,舍去.
故 $m$ 的值为 2.
解析
【分析】
第(1)问属于一元一次方程应用问题，先设小货车原计划每辆每次运量为未知数，用含未知数的式子表示大货车的单次运量，再根据“2辆大货车、8辆小货车每天各运1次，2天共运16800顶帐篷”的等量关系列方程求解即可。第(2)问属于一元二次方程应用问题，先分别表示出实际运输时大、小货车的单次运量、每日运输次数，再根据“1天共运14400顶帐篷”列方程，最后结合“运输量不能为负、运输次数为整数”的实际要求对根进行取舍，得到符合题意的m值。
【解析】
(1) 设小货车原计划每辆每次运送帐篷$x$顶，则大货车原计划每辆每次运送帐篷$(x+200)$顶，根据题意列方程：
$2[8x + 2(x+200)] = 16800$
展开化简得：$20x + 800 = 16800$
解得：$x = 800$
则大货车原计划单次运量为：$x+200 = 800+200 = 1000$（顶）
(2) 根据题意，实际运输时每辆大货车单次运量为$(1000-200m)$顶，每日运输$(1+\frac{1}{2}m)$次；每辆小货车单次运量为$800-300=500$顶，每日运输$(1+m)$次，列方程：
$2(1000-200m)(1+\frac{1}{2}m) + 8×500×(1+m) = 14400$
化简整理得：$m^2 - 23m + 42 = 0$
因式分解得：$(m-2)(m-21)=0$
解得：$m_1=2$，$m_2=21$
检验：当$m=21$时，大货车单次运量$1000-200×21=-3200＜0$，且$\frac{1}{2}m=10.5$不是整数，不符合实际，舍去；当$m=2$时，所有数值均符合运输要求。
【答案】
(1) 大货车原计划每辆每次运送帐篷1000顶，小货车原计划每辆每次运送帐篷800顶；
(2) $m$的值为2。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 一元二次方程应用
3. 实际问题验根
【点评】
本题是典型的方程建模类应用题，解题关键是准确梳理数量关系找到等量关系列方程，第二问需要结合实际运输的合理性对根进行取舍，考察学生的方程应用能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问属于一元一次方程应用问题，先设小货车原计划每辆每次运量为未知数，用含未知数的式子表示大货车的单次运量，再根据“2辆大货车、8辆小货车每天各运1次，2天共运16800顶帐篷”的等量关系列方程求解即可。第(2)问属于一元二次方程应用问题，先分别表示出实际运输时大、小货车的单次运量、每日运输次数，再根据“1天共运14400顶帐篷”列方程，最后结合“运输量不能为负、运输次数为整数”的实际要求对根进行取舍，得到符合题意的m值。
【解析】
(1) 设小货车原计划每辆每次运送帐篷$x$顶，则大货车原计划每辆每次运送帐篷$(x+200)$顶，根据题意列方程：
$2[8x + 2(x+200)] = 16800$
展开化简得：$20x + 800 = 16800$
解得：$x = 800$
则大货车原计划单次运量为：$x+200 = 800+200 = 1000$（顶）
(2) 根据题意，实际运输时每辆大货车单次运量为$(1000-200m)$顶，每日运输$(1+\frac{1}{2}m)$次；每辆小货车单次运量为$800-300=500$顶，每日运输$(1+m)$次，列方程：
$2(1000-200m)(1+\frac{1}{2}m) + 8×500×(1+m) = 14400$
化简整理得：$m^2 - 23m + 42 = 0$
因式分解得：$(m-2)(m-21)=0$
解得：$m_1=2$，$m_2=21$
检验：当$m=21$时，大货车单次运量$1000-200×21=-3200＜0$，且$\frac{1}{2}m=10.5$不是整数，不符合实际，舍去；当$m=2$时，所有数值均符合运输要求。
【答案】
(1) 大货车原计划每辆每次运送帐篷1000顶，小货车原计划每辆每次运送帐篷800顶；
(2) $m$的值为2。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 一元二次方程应用
3. 实际问题验根
【点评】
本题是典型的方程建模类应用题，解题关键是准确梳理数量关系找到等量关系列方程，第二问需要结合实际运输的合理性对根进行取舍，考察学生的方程应用能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
