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【例5】 某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y(μ g)随时间x(h)的变化情况如图所示.
(1)当成人按规定剂量服药后h，血液中含药量最高，达每毫升μ g，接着逐渐减少；
(2)当成人按规定剂量服药后5 h，血液中含药量为每毫升μ g；
(3)当x≤2时，求y与x之间的函数关系式；
(4)当x≥2时，求y与x之间的函数关系式；
(5)如果每毫升血液中含药3 μg或3 μg以上时，治疗疾病有效，求这个有效时间范围.
【分析】 本题以医药研究所开发、研究新药为背景，以一次函数为模型，考查学生综合处理图象信息和应用知识点的能力.
【解】 (1)2 6；
(2)3；
(3)设y=kx，将x=2,y=6代入，得6=2k,k=3,∴当x≤2时，y与x之间的函数关系式为y=3x；(4)设y=kx+b，将(2,6),(5,3)分别代入，得$\begin{cases}2k+b=6, \\5k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=8. \end{cases}$∴当x≥2时，y与x之间的函数关系式为y=-x+8；(5)在y=3x中，当y=3时，x=1.在y=-x+8中，当y=3时，x=5.∴有效的时间范围是1≤x≤5.
(1)当成人按规定剂量服药后h，血液中含药量最高，达每毫升μ g，接着逐渐减少；
(2)当成人按规定剂量服药后5 h，血液中含药量为每毫升μ g；
(3)当x≤2时，求y与x之间的函数关系式；
(4)当x≥2时，求y与x之间的函数关系式；
(5)如果每毫升血液中含药3 μg或3 μg以上时，治疗疾病有效，求这个有效时间范围.
【分析】 本题以医药研究所开发、研究新药为背景，以一次函数为模型，考查学生综合处理图象信息和应用知识点的能力.
【解】 (1)2 6；
(2)3；
(3)设y=kx，将x=2,y=6代入，得6=2k,k=3,∴当x≤2时，y与x之间的函数关系式为y=3x；(4)设y=kx+b，将(2,6),(5,3)分别代入，得$\begin{cases}2k+b=6, \\5k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=8. \end{cases}$∴当x≥2时，y与x之间的函数关系式为y=-x+8；(5)在y=3x中，当y=3时，x=1.在y=-x+8中，当y=3时，x=5.∴有效的时间范围是1≤x≤5.
答案
解：
(1) 2；6
(2) 3
(3) 设y=kx，将x=2，y=6代入，得6=2k，
解得k=3，
∴当x≤2时，y与x之间的函数关系式为y=3x。
(4) 设y=kx+b，将(2,6)，(5,3)分别代入，得
$\begin{cases}2k + b = 6 \\5k + b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=8\end{cases}$
∴当x≥2时，y与x之间的函数关系式为y=-x+8。
(5) 在y=3x中，当y=3时，解得x=1；
在y=-x+8中，当y=3时，解得x=5。
∴这个有效时间范围是1≤x≤5。
(1) 2；6
(2) 3
(3) 设y=kx，将x=2，y=6代入，得6=2k，
解得k=3，
∴当x≤2时，y与x之间的函数关系式为y=3x。
(4) 设y=kx+b，将(2,6)，(5,3)分别代入，得
$\begin{cases}2k + b = 6 \\5k + b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=8\end{cases}$
∴当x≥2时，y与x之间的函数关系式为y=-x+8。
(5) 在y=3x中，当y=3时，解得x=1；
在y=-x+8中，当y=3时，解得x=5。
∴这个有效时间范围是1≤x≤5。
解析
【分析】
本题是一次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：1. 前两问直接观察函数图像，找到最高点的横纵坐标，以及x=5对应的y值即可；2. 当x≤2时，函数图像是过原点的直线，属于正比例函数，用待定系数法，设解析式为y=kx，代入已知点坐标求出k即可得到解析式；3. 当x≥2时，函数是普通一次函数，设解析式为y=kx+b，代入图像上两个已知点的坐标，解二元一次方程组求出k和b即可；4. 求有效时间范围，就是分别在两段函数中令y=3，求出对应的x值，两个x值之间的范围就是有效时间。
【解析】
(1) 观察图像可知，函数图像最高点的横坐标为2，纵坐标为6，因此服药后2h血液中含药量最高，达每毫升6μg；
(2) 观察图像，x=5时对应的y值为3，因此服药后5h血液中含药量为每毫升3μg；
(3) 当x≤2时，设y与x的函数关系式为$y=kx(k≠0)$，将$x=2，y=6$代入得：$6=2k$，解得$k=3$，因此x≤2时y与x的函数关系式为$y=3x$；
(4) 当x≥2时，设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(2,6)$、$(5,3)$代入得：
$\begin{cases}2k + b = 6 \\5k + b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=8\end{cases}$，因此x≥2时y与x的函数关系式为$y=-x+8$；
(5) 要求每毫升血液中含药3μg或3μg以上的有效时间，分别代入两段解析式计算：
在$y=3x$中，令$y=3$，得$3=3x$，解得$x=1$；
在$y=-x+8$中，令$y=3$，得$3=-x+8$，解得$x=5$；
结合图像可知有效时间范围是$1≤x≤5$。
【答案】
(1) 2；6
(2) 3
(3) $y=3x(x≤2)$
(4) $y=-x+8(x≥2)$
(5) $1≤x≤5$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，函数图像信息提取
【点评】
本题结合医药药效检测的实际场景，考查一次函数相关知识，需要学生具备从图像中提取关键信息的能力，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能够将实际问题转化为函数问题求解，侧重基础知识的综合应用。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：1. 前两问直接观察函数图像，找到最高点的横纵坐标，以及x=5对应的y值即可；2. 当x≤2时，函数图像是过原点的直线，属于正比例函数，用待定系数法，设解析式为y=kx，代入已知点坐标求出k即可得到解析式；3. 当x≥2时，函数是普通一次函数，设解析式为y=kx+b，代入图像上两个已知点的坐标，解二元一次方程组求出k和b即可；4. 求有效时间范围，就是分别在两段函数中令y=3，求出对应的x值，两个x值之间的范围就是有效时间。
【解析】
(1) 观察图像可知，函数图像最高点的横坐标为2，纵坐标为6，因此服药后2h血液中含药量最高，达每毫升6μg；
(2) 观察图像，x=5时对应的y值为3，因此服药后5h血液中含药量为每毫升3μg；
(3) 当x≤2时，设y与x的函数关系式为$y=kx(k≠0)$，将$x=2，y=6$代入得：$6=2k$，解得$k=3$，因此x≤2时y与x的函数关系式为$y=3x$；
(4) 当x≥2时，设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(2,6)$、$(5,3)$代入得：
$\begin{cases}2k + b = 6 \\5k + b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=8\end{cases}$，因此x≥2时y与x的函数关系式为$y=-x+8$；
(5) 要求每毫升血液中含药3μg或3μg以上的有效时间，分别代入两段解析式计算：
在$y=3x$中，令$y=3$，得$3=3x$，解得$x=1$；
在$y=-x+8$中，令$y=3$，得$3=-x+8$，解得$x=5$；
结合图像可知有效时间范围是$1≤x≤5$。
【答案】
(1) 2；6
(2) 3
(3) $y=3x(x≤2)$
(4) $y=-x+8(x≥2)$
(5) $1≤x≤5$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，函数图像信息提取
【点评】
本题结合医药药效检测的实际场景，考查一次函数相关知识，需要学生具备从图像中提取关键信息的能力，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能够将实际问题转化为函数问题求解，侧重基础知识的综合应用。
【难度系数】
0.7
三、专项训练
1. 如图是一组密码的一部分.为了保密,许多情况下可采用不同的密码,请你运用所学知识找到破译的“钥匙”.目前,已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”.若“今”所处的位置为$(x,y)$,你找到的密码钥匙是(
1. 如图是一组密码的一部分.为了保密,许多情况下可采用不同的密码,请你运用所学知识找到破译的“钥匙”.目前,已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”.若“今”所处的位置为$(x,y)$,你找到的密码钥匙是(
$(x+1,y+2)$
),破译“正做数学”的真实意思是“祝你成功
”.答案
1. 密码钥匙为$(x+1,y+2)$，破译“正做数学”的真实意思是祝你成功
解析
【分析】
解题时首先要结合已知的“今天考试”对应“努力发挥”的关系，探究坐标变换规律：第一步明确坐标规则，x为文字所在列数（从左向右数，最左侧为第1列），y为文字所在行数（纵轴向上为正方向，所以从下向上数，最下方一行为第1行）；第二步分别找到原文和对应译文的坐标，对比坐标变化得到密码钥匙；最后用钥匙计算“正做数学”四个字对应译文的坐标，找到对应文字组合即可。
【解析】
1. 推导密码钥匙：
确定坐标规则后，查找对应文字坐标：
“今”坐标为$(3,2)$，对应译文“努”坐标为$(4,4)$，可得$4=3+1$，$4=2+2$；
验证其余字：“天”坐标$(5,1)$对应“力”坐标$(6,3)$，“考”坐标$(1,5)$对应“发”坐标$(2,7)$，“试”坐标$(6,6)$对应“挥”坐标$(7,8)$，均符合译文坐标=原文字坐标$(x+1,y+2)$的规律，即密码钥匙为$(x+1,y+2)$。
2. 破译“正做数学”：
“正”坐标$(4,2)$，对应译文坐标为$(4+1,2+2)=(5,4)$，对应文字为“祝”；
“做”坐标$(5,6)$，对应译文坐标为$(5+1,6+2)=(6,8)$，对应文字为“你”；
“数”坐标$(7,2)$，对应译文坐标为$(7+1,2+2)=(8,4)$，对应文字为“成”；
“学”坐标$(2,4)$，对应译文坐标为$(2+1,4+2)=(3,6)$，对应文字为“功”；
四字组合得到破译结果。
【答案】
$(x+1,y+2)$；祝你成功
【知识点】
点的坐标应用，规律探究
【点评】
本题结合趣味密码场景考查坐标变换规律，需要学生细心查找文字对应位置，掌握坐标变化的推导方法，解题核心是先通过已知对应关系确定变换规则，再迁移规则解决新的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要结合已知的“今天考试”对应“努力发挥”的关系，探究坐标变换规律：第一步明确坐标规则，x为文字所在列数（从左向右数，最左侧为第1列），y为文字所在行数（纵轴向上为正方向，所以从下向上数，最下方一行为第1行）；第二步分别找到原文和对应译文的坐标，对比坐标变化得到密码钥匙；最后用钥匙计算“正做数学”四个字对应译文的坐标，找到对应文字组合即可。
【解析】
1. 推导密码钥匙：
确定坐标规则后，查找对应文字坐标：
“今”坐标为$(3,2)$，对应译文“努”坐标为$(4,4)$，可得$4=3+1$，$4=2+2$；
验证其余字：“天”坐标$(5,1)$对应“力”坐标$(6,3)$，“考”坐标$(1,5)$对应“发”坐标$(2,7)$，“试”坐标$(6,6)$对应“挥”坐标$(7,8)$，均符合译文坐标=原文字坐标$(x+1,y+2)$的规律，即密码钥匙为$(x+1,y+2)$。
2. 破译“正做数学”：
“正”坐标$(4,2)$，对应译文坐标为$(4+1,2+2)=(5,4)$，对应文字为“祝”；
“做”坐标$(5,6)$，对应译文坐标为$(5+1,6+2)=(6,8)$，对应文字为“你”；
“数”坐标$(7,2)$，对应译文坐标为$(7+1,2+2)=(8,4)$，对应文字为“成”；
“学”坐标$(2,4)$，对应译文坐标为$(2+1,4+2)=(3,6)$，对应文字为“功”；
四字组合得到破译结果。
【答案】
$(x+1,y+2)$；祝你成功
【知识点】
点的坐标应用，规律探究
【点评】
本题结合趣味密码场景考查坐标变换规律，需要学生细心查找文字对应位置，掌握坐标变化的推导方法，解题核心是先通过已知对应关系确定变换规则，再迁移规则解决新的问题。
【难度系数】
0.7
2. 甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表(单位:环):
则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是
（
A.甲
B.乙
C.丙
D.3人成绩稳定情况相同
则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是
（
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.3人成绩稳定情况相同
答案
2.A
解析
【分析】
要判断三名运动员谁的成绩最稳定，需比较三人成绩的方差。方差是反映数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。解题时先分别计算三人成绩的平均数，再根据加权方差公式计算三人的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
首先计算三人成绩的平均数：
甲的平均数$\bar{x}_甲=\frac{7×4 + 8×6 + 9×6 + 10×4}{20}=\frac{170}{20}=8.5$
乙的平均数$\bar{x}_乙=\frac{7×6 + 8×4 + 9×4 + 10×6}{20}=\frac{170}{20}=8.5$
丙的平均数$\bar{x}_丙=\frac{7×5 + 8×5 + 9×5 + 10×5}{20}=\frac{170}{20}=8.5$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k f_i(x_i-\bar{x})^2$计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{20}[4×(7-8.5)^2 + 6×(8-8.5)^2 + 6×(9-8.5)^2 + 4×(10-8.5)^2]=\frac{1}{20}×21=1.05$
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{20}[6×(7-8.5)^2 + 4×(8-8.5)^2 + 4×(9-8.5)^2 + 6×(10-8.5)^2]=\frac{1}{20}×29=1.45$
丙的方差$s^2_丙=\frac{1}{20}[5×(7-8.5)^2 + 5×(8-8.5)^2 + 5×(9-8.5)^2 + 5×(10-8.5)^2]=\frac{1}{20}×25=1.25$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_丙 ＜ s^2_乙$，所以甲的成绩波动最小，最稳定。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义，方差的计算，平均数的计算
【点评】
本题考查统计中方差的实际应用，解题关键是明确方差越小，数据的稳定性越好，计算过程中要注意加权平均数和加权方差的正确运算，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.7
要判断三名运动员谁的成绩最稳定，需比较三人成绩的方差。方差是反映数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。解题时先分别计算三人成绩的平均数，再根据加权方差公式计算三人的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
首先计算三人成绩的平均数：
甲的平均数$\bar{x}_甲=\frac{7×4 + 8×6 + 9×6 + 10×4}{20}=\frac{170}{20}=8.5$
乙的平均数$\bar{x}_乙=\frac{7×6 + 8×4 + 9×4 + 10×6}{20}=\frac{170}{20}=8.5$
丙的平均数$\bar{x}_丙=\frac{7×5 + 8×5 + 9×5 + 10×5}{20}=\frac{170}{20}=8.5$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k f_i(x_i-\bar{x})^2$计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{20}[4×(7-8.5)^2 + 6×(8-8.5)^2 + 6×(9-8.5)^2 + 4×(10-8.5)^2]=\frac{1}{20}×21=1.05$
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{20}[6×(7-8.5)^2 + 4×(8-8.5)^2 + 4×(9-8.5)^2 + 6×(10-8.5)^2]=\frac{1}{20}×29=1.45$
丙的方差$s^2_丙=\frac{1}{20}[5×(7-8.5)^2 + 5×(8-8.5)^2 + 5×(9-8.5)^2 + 5×(10-8.5)^2]=\frac{1}{20}×25=1.25$
因为$s^2_甲 ＜ s^2_丙 ＜ s^2_乙$，所以甲的成绩波动最小，最稳定。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义，方差的计算，平均数的计算
【点评】
本题考查统计中方差的实际应用，解题关键是明确方差越小，数据的稳定性越好，计算过程中要注意加权平均数和加权方差的正确运算，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.7
