登录
【典例】已知$3x^2 -4x -5=7$，求下列各式的值：
(1)$x^2 - \frac{4}{3}x$； (2)$8x -6x^2$。
[答案]解:(1)$3x^2 -4x -5=7$，等式两边加5，得$3x^2 -4x=12$，
等式两边除以3，得$x^2 - \frac{4}{3}x=4$。
(2)由(1)，得$3x^2 -4x=12$，等式两边乘$-2$，得$8x -6x^2=-24$。
(1)$x^2 - \frac{4}{3}x$； (2)$8x -6x^2$。
[答案]解:(1)$3x^2 -4x -5=7$，等式两边加5，得$3x^2 -4x=12$，
等式两边除以3，得$x^2 - \frac{4}{3}x=4$。
(2)由(1)，得$3x^2 -4x=12$，等式两边乘$-2$，得$8x -6x^2=-24$。
答案
解:(1)$3x^2 -4x -5=7$，等式两边加5，得$3x^2 -4x=12$，
等式两边除以3，得$x^2 - \frac{4}{3}x=4$。
(2)由(1)，得$3x^2 -4x=12$，等式两边乘$-2$，得$8x -6x^2=-24$。
等式两边除以3，得$x^2 - \frac{4}{3}x=4$。
(2)由(1)，得$3x^2 -4x=12$，等式两边乘$-2$，得$8x -6x^2=-24$。
解析
【分析】
解题时无需直接求出x的具体值，可先利用等式的性质对已知等式变形，得到$3x^2-4x$的整体值。第(1)问中所求式$x^2-\frac{4}{3}x$，刚好是$3x^2-4x$各项除以3得到的，将$3x^2-4x$的整体值除以3即可得结果；第(2)问中所求式$8x-6x^2$，是$3x^2-4x$各项乘-2得到的，将$3x^2-4x$的整体值乘-2即可得结果，用整体代换思路能简化计算。
【解析】
(1) 已知$3x^2 -4x -5=7$，根据等式的性质，等式两边同时加5，得：
$3x^2 -4x=12$
再根据等式的性质，等式两边同时除以3，得：
$x^2 - \frac{4}{3}x=4$
(2) 由(1)可得$3x^2 -4x=12$，根据等式的性质，等式两边同时乘$-2$，得：
$8x -6x^2=-24$
【答案】
(1)$\boxed{4}$；(2)$\boxed{-24}$
【知识点】
等式的性质，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体代换思想，不需要求解未知数的具体值，只需通过等式的性质将已知式转化为和所求式相关的整体形式，就能快速算出结果，能锻炼对代数式结构的观察能力和等式性质的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时无需直接求出x的具体值，可先利用等式的性质对已知等式变形，得到$3x^2-4x$的整体值。第(1)问中所求式$x^2-\frac{4}{3}x$，刚好是$3x^2-4x$各项除以3得到的，将$3x^2-4x$的整体值除以3即可得结果；第(2)问中所求式$8x-6x^2$，是$3x^2-4x$各项乘-2得到的，将$3x^2-4x$的整体值乘-2即可得结果，用整体代换思路能简化计算。
【解析】
(1) 已知$3x^2 -4x -5=7$，根据等式的性质，等式两边同时加5，得：
$3x^2 -4x=12$
再根据等式的性质，等式两边同时除以3，得：
$x^2 - \frac{4}{3}x=4$
(2) 由(1)可得$3x^2 -4x=12$，根据等式的性质，等式两边同时乘$-2$，得：
$8x -6x^2=-24$
【答案】
(1)$\boxed{4}$；(2)$\boxed{-24}$
【知识点】
等式的性质，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体代换思想，不需要求解未知数的具体值，只需通过等式的性质将已知式转化为和所求式相关的整体形式，就能快速算出结果，能锻炼对代数式结构的观察能力和等式性质的运用能力。
【难度系数】
0.8
【变式1】已知代数式$3y^2 - 2y + 6$的值为8，求代数式$\frac{3}{2}y^2 - y + 1$的值。
答案
解:由题意,得$3y^2 -2y +6=8$,等式两边减6,得$3y^2 -2y=2$,等式两边除以2,得$\frac{3}{2}y^2 - y=1$,
所以代数式$\frac{3}{2}y^2 - y +1=1+1=2$.
所以代数式$\frac{3}{2}y^2 - y +1=1+1=2$.
解析
【分析】
解题时先观察已知代数式和待求代数式的结构特征，发现待求式的前两项$\frac{3}{2}y^2 - y$是已知式前两项$3y^2-2y$的$\frac{1}{2}$，不需要求出y的具体值，可先根据已知条件列出等式，再利用等式的性质逐步变形得到$\frac{3}{2}y^2 - y$的值，最后整体代入待求式计算即可。
【解析】
根据题意可得：$3y^2 -2y +6=8$
等式两边同时减去6，得：$3y^2 -2y=2$
等式两边同时除以2，得：$\frac{3}{2}y^2 - y=1$
将$\frac{3}{2}y^2 - y=1$代入$\frac{3}{2}y^2 - y +1$，得：
$1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；等式的性质；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的经典基础题型，核心考查整体代入的数学思维，无需计算未知字母的具体取值，通过观察两个代数式的结构关联，结合等式的性质变形即可快速求解，有助于锻炼学生的观察能力和简化运算的意识。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知代数式和待求代数式的结构特征，发现待求式的前两项$\frac{3}{2}y^2 - y$是已知式前两项$3y^2-2y$的$\frac{1}{2}$，不需要求出y的具体值，可先根据已知条件列出等式，再利用等式的性质逐步变形得到$\frac{3}{2}y^2 - y$的值，最后整体代入待求式计算即可。
【解析】
根据题意可得：$3y^2 -2y +6=8$
等式两边同时减去6，得：$3y^2 -2y=2$
等式两边同时除以2，得：$\frac{3}{2}y^2 - y=1$
将$\frac{3}{2}y^2 - y=1$代入$\frac{3}{2}y^2 - y +1$，得：
$1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；等式的性质；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的经典基础题型，核心考查整体代入的数学思维，无需计算未知字母的具体取值，通过观察两个代数式的结构关联，结合等式的性质变形即可快速求解，有助于锻炼学生的观察能力和简化运算的意识。
【难度系数】
0.8
【变式2】已知$5a+8b=3b-10$，利用等式的性质，求$a+b$的值.
答案
解:等式两边减3b,得$5a+8b-3b=3b-3b-10$,即$5a+5b=-10$,等式两边除以5,得$a+b=-2$.
解析
【分析】
我们的目标是求$a+b$的值，不需要分别求出$a$、$b$的具体数值，可通过等式的性质对已知等式变形，凑出含有$a+b$的整体形式再计算。首先观察等式两边都有含$b$的项，可先利用等式的性质1，两边同时减去$3b$，消去等式右侧的含$b$项，得到左侧$5a+5b$的形式，发现其是5倍的$(a+b)$，再利用等式的性质2两边同时除以5，即可直接得到$a+b$的值。
【解析】
解：根据等式的性质1，等式两边同时减$3b$，得：
$5a+8b-3b=3b-3b-10$
合并同类项，得$5a+5b=-10$，即$5(a+b)=-10$
根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$a+b=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
等式的性质；合并同类项；整体代入求值
【点评】
本题考查等式性质的灵活应用，解题关键是观察式子特点，通过变形凑出目标代数式的整体形式，无需单独求解单个未知数，体现了整体代换的数学思想，是等式性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
我们的目标是求$a+b$的值，不需要分别求出$a$、$b$的具体数值，可通过等式的性质对已知等式变形，凑出含有$a+b$的整体形式再计算。首先观察等式两边都有含$b$的项，可先利用等式的性质1，两边同时减去$3b$，消去等式右侧的含$b$项，得到左侧$5a+5b$的形式，发现其是5倍的$(a+b)$，再利用等式的性质2两边同时除以5，即可直接得到$a+b$的值。
【解析】
解：根据等式的性质1，等式两边同时减$3b$，得：
$5a+8b-3b=3b-3b-10$
合并同类项，得$5a+5b=-10$，即$5(a+b)=-10$
根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$a+b=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
等式的性质；合并同类项；整体代入求值
【点评】
本题考查等式性质的灵活应用，解题关键是观察式子特点，通过变形凑出目标代数式的整体形式，无需单独求解单个未知数，体现了整体代换的数学思想，是等式性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
1.利用等式的性质1，将等式$3x=10+2x$进行变形，正确的是（
A.$2x=10$
B.$x=10$
C.$-10=x$
D.$3x=2x$
B
）A.$2x=10$
B.$x=10$
C.$-10=x$
D.$3x=2x$
答案
1.B
解析
【分析】
首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立。观察给出的等式$3x=10+2x$，等式右侧有含x的项$2x$，我们的目标是把含x的项统一移到等式的一侧，所以可以在等式两边同时减去$2x$，消去右侧的$2x$，就能得到变形后的结果，再对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立。
对等式$3x=10+2x$的两边同时减去$2x$：
左边：$3x - 2x = x$
右边：$10 + 2x - 2x = 10$
因此变形后得到$x=10$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质1；一元一次方程变形
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，是后续解方程的核心基础，解题关键是熟练掌握等式性质1的规则，注意等式两边加减的是同一个整式，避免出现漏项、符号错误的问题。
【难度系数】
0.9
首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立。观察给出的等式$3x=10+2x$，等式右侧有含x的项$2x$，我们的目标是把含x的项统一移到等式的一侧，所以可以在等式两边同时减去$2x$，消去右侧的$2x$，就能得到变形后的结果，再对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立。
对等式$3x=10+2x$的两边同时减去$2x$：
左边：$3x - 2x = x$
右边：$10 + 2x - 2x = 10$
因此变形后得到$x=10$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质1；一元一次方程变形
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，是后续解方程的核心基础，解题关键是熟练掌握等式性质1的规则，注意等式两边加减的是同一个整式，避免出现漏项、符号错误的问题。
【难度系数】
0.9
2.下列是等式$\frac{2x-1}{3}-1=x$的变形，其中，是根据等式的性质2变形的是（
A.$\frac{2x-1}{3}=x+1$
B.$\frac{2x-1}{3}-x=1$
C.$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}-1=x$
D.$2x-1-3=3x$
D
）A.$\frac{2x-1}{3}=x+1$
B.$\frac{2x-1}{3}-x=1$
C.$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}-1=x$
D.$2x-1-3=3x$
答案
2.D [解析]根据等式的性质2进行变形,等式两边乘3,得$2x-1-3=3x$.
解析
【分析】
解题时首先要明确等式的性质2的内容：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，注意和等式性质1（两边加、减同一个数或式子，等式仍成立）区分开。接下来逐一分析每个选项的变形依据，找到符合等式性质2的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项的变形依据：
1. 选项A：将原等式两边同时加1得到$\frac{2x-1}{3}=x+1$，利用的是等式的性质1，不符合要求。
2. 选项B：将原等式两边同时加1、再同时减x得到$\frac{2x-1}{3}-x=1$，利用的是等式的性质1，不符合要求。
3. 选项C：将左边的$\frac{2x-1}{3}$利用乘法分配律拆分为$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$，不属于用等式的性质变形，不符合要求。
4. 选项D：将原等式两边同时乘3，左边计算得$\frac{2x-1}{3}×3 -1×3=2x-1-3$，右边计算得$x×3=3x$，最终得到$2x-1-3=3x$，利用的是等式的性质2，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 等式的性质2
2. 一元一次方程变形
【点评】
本题重点考查等式两个性质的区分，解题关键是明确性质1对应加减变形、性质2对应乘除变形，做题时要准确判断每一步变形的依据，避免混淆两个性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确等式的性质2的内容：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，注意和等式性质1（两边加、减同一个数或式子，等式仍成立）区分开。接下来逐一分析每个选项的变形依据，找到符合等式性质2的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项的变形依据：
1. 选项A：将原等式两边同时加1得到$\frac{2x-1}{3}=x+1$，利用的是等式的性质1，不符合要求。
2. 选项B：将原等式两边同时加1、再同时减x得到$\frac{2x-1}{3}-x=1$，利用的是等式的性质1，不符合要求。
3. 选项C：将左边的$\frac{2x-1}{3}$利用乘法分配律拆分为$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$，不属于用等式的性质变形，不符合要求。
4. 选项D：将原等式两边同时乘3，左边计算得$\frac{2x-1}{3}×3 -1×3=2x-1-3$，右边计算得$x×3=3x$，最终得到$2x-1-3=3x$，利用的是等式的性质2，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 等式的性质2
2. 一元一次方程变形
【点评】
本题重点考查等式两个性质的区分，解题关键是明确性质1对应加减变形、性质2对应乘除变形，做题时要准确判断每一步变形的依据，避免混淆两个性质。
【难度系数】
0.8
3.(1)已知等式$x-3=5$，等式两边
(2)已知等式$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}$，等式两边
加3
，得$x=$8
，依据是等式的性质1
；(2)已知等式$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}$，等式两边
乘3
，得$x=$$-\frac{3}{2}$
，依据是等式的性质2
。答案
3.(1)加3 8 等式的性质1 (2)乘3 $-\frac{3}{2}$ 等式的性质2
解析
【分析】
这道题考查等式性质的基础应用，解题核心是通过对等号两边做相同的逆运算，将未知数x单独放在等式一侧：
(1) 第一问中等式左边是x减3，要消去-3，需要给两边同时加3，操作时要保证两边做完全相同的运算，依据是等式的性质1；
(2) 第二问中等式左边是x乘$\frac{1}{3}$，要消去系数$\frac{1}{3}$，需要给两边同时乘3，操作时要注意右边的符号不要出错，依据是等式的性质2。
【解析】
(1) 对于等式$x-3=5$，等式两边同时加3：
左边：$x-3+3=x$，右边：$5+3=8$，因此得$x=8$，依据是等式的性质1（等式两边加或减同一个数，等式仍然成立）。
(2) 对于等式$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}$，等式两边同时乘3：
左边：$\frac{1}{3}x × 3 = x$，右边：$-\frac{1}{2} × 3 = -\frac{3}{2}$，因此得$x=-\frac{3}{2}$，依据是等式的性质2（等式两边乘同一个不为0的数，等式仍然成立）。
【答案】
(1)加3；8；等式的性质1
(2)乘3；$-\frac{3}{2}$；等式的性质2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；解简单一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查对等式两个性质的理解与运用，是后续求解一元一次方程的核心基础，需要熟练掌握逆运算的操作规则，注意运算过程中符号和数值计算的准确性。
【难度系数】
0.9
这道题考查等式性质的基础应用，解题核心是通过对等号两边做相同的逆运算，将未知数x单独放在等式一侧：
(1) 第一问中等式左边是x减3，要消去-3，需要给两边同时加3，操作时要保证两边做完全相同的运算，依据是等式的性质1；
(2) 第二问中等式左边是x乘$\frac{1}{3}$，要消去系数$\frac{1}{3}$，需要给两边同时乘3，操作时要注意右边的符号不要出错，依据是等式的性质2。
【解析】
(1) 对于等式$x-3=5$，等式两边同时加3：
左边：$x-3+3=x$，右边：$5+3=8$，因此得$x=8$，依据是等式的性质1（等式两边加或减同一个数，等式仍然成立）。
(2) 对于等式$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}$，等式两边同时乘3：
左边：$\frac{1}{3}x × 3 = x$，右边：$-\frac{1}{2} × 3 = -\frac{3}{2}$，因此得$x=-\frac{3}{2}$，依据是等式的性质2（等式两边乘同一个不为0的数，等式仍然成立）。
【答案】
(1)加3；8；等式的性质1
(2)乘3；$-\frac{3}{2}$；等式的性质2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；解简单一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查对等式两个性质的理解与运用，是后续求解一元一次方程的核心基础，需要熟练掌握逆运算的操作规则，注意运算过程中符号和数值计算的准确性。
【难度系数】
0.9
4.如图,2个天平都保持平衡,则与2个球质量相等的正方体的个数为
5
。答案
4.5 [解析]由题图中右边天平可得,1个正方体的质量=1个圆柱体的质量,由题图中左边天平可得,2个球的质量=5个圆柱体的质量,所以2个球的质量=5个正方体的质量.
解析
【分析】
解题时首先明确天平平衡代表左右两端物品总质量相等，我们可以先通过结构更简单的右侧天平推导正方体和圆柱体的质量关系，再以圆柱体为中间量，结合左侧天平的等量关系，替换后就能得到2个球对应的正方体个数。
【解析】
1. 观察右侧平衡的天平：左右两边分别是2个正方体和2个圆柱体，说明2个正方体的总质量=2个圆柱体的总质量，两边同时除以2可得：1个正方体的质量=1个圆柱体的质量。
2. 观察左侧平衡的天平：左右两边分别是2个球和5个圆柱体，说明2个球的总质量=5个圆柱体的总质量。
3. 结合第一步得到的“1个正方体质量=1个圆柱体质量”，把5个圆柱体替换成5个正方体，可得2个球的总质量=5个正方体的总质量。
【答案】
5
【知识点】
天平平衡原理，等量代换，等式的性质
【点评】
本题是简单的等量换算问题，核心是找到作为中间桥梁的圆柱体的质量关系，再通过代换推导目标量的对应关系，做题时注意不要数错各物品的数量即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确天平平衡代表左右两端物品总质量相等，我们可以先通过结构更简单的右侧天平推导正方体和圆柱体的质量关系，再以圆柱体为中间量，结合左侧天平的等量关系，替换后就能得到2个球对应的正方体个数。
【解析】
1. 观察右侧平衡的天平：左右两边分别是2个正方体和2个圆柱体，说明2个正方体的总质量=2个圆柱体的总质量，两边同时除以2可得：1个正方体的质量=1个圆柱体的质量。
2. 观察左侧平衡的天平：左右两边分别是2个球和5个圆柱体，说明2个球的总质量=5个圆柱体的总质量。
3. 结合第一步得到的“1个正方体质量=1个圆柱体质量”，把5个圆柱体替换成5个正方体，可得2个球的总质量=5个正方体的总质量。
【答案】
5
【知识点】
天平平衡原理，等量代换，等式的性质
【点评】
本题是简单的等量换算问题，核心是找到作为中间桥梁的圆柱体的质量关系，再通过代换推导目标量的对应关系，做题时注意不要数错各物品的数量即可。
【难度系数】
0.8
