【学以致用1】已知$x=y$，则下列各式不一定成立的是 （）

A.$x+a=y+a$
B.$a-x=a-y$
C.$ax=ay$
D.$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$

D
[解析] A.成立,依据等式的性质1,等式两边加a,结果仍相等;
B.成立,依据等式的性质1,2,等式两边先乘-1,然后再加a,结果仍相等;
C.成立,依据等式的性质2,等式两边乘a,结果仍相等;
D.不成立,等式两边除以同一个数时,需说明这个数不为0.

【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题思路是先回忆等式的两条基本性质，再结合每个选项的变形逐一判断，重点关注涉及除法运算的选项，要考虑除数不能为0的特殊要求，找出存在不成立可能的选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐个分析选项：
A. 根据等式的性质1，等式两边同时加上同一个数a，等式仍然成立，因此$x+a=y+a$一定成立；
B. 先根据等式的性质2，等式$x=y$两边同时乘-1，可得$-x=-y$，再根据等式的性质1，两边同时加a，可得$a-x=a-y$，一定成立；
C. 根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个数a，等式仍然成立，因此$ax=ay$一定成立；
D. 根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，若a=0，此时分母为0无意义，因此$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；0不能作除数
【点评】
本题是等式性质的典型基础题，易错点是判断除法变形时，容易忽略除数不能为0的限制条件，做题时遇到含字母的除法运算要注意考虑字母为0的特殊情况。
【难度系数】
0.7

【学以致用2】填写下列各等式变形的依据及用到的方法：
(1)若$3x+1=2$,则$3x=2-1$,依据等式的性质,用到的方法是;
(2)若$-2x=-6$,则$x=$,依据等式的性质,用到的方法是;
(3)若$\frac{1}{4}(x-1)=2$,则$x-1=$,依据等式的性质,用到的方法是.

(1)1 等式两边减1
(2)3 2 等式两边除以－2
(3)8 2 等式两边乘4

【分析】
解决这类问题首先要牢记等式的两个基本性质：性质1是等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时观察等式前后的变形操作，判断是加减操作还是乘除操作，对应匹配对应的等式性质，再写出用到的方法即可。
【解析】
(1) 观察等式从$3x+1=2$变为$3x=2-1$，是等式左右两边同时减去了1，符合等式性质1的内容，因此依据是等式的性质1，用到的方法是等式两边减1。
(2) 要把$-2x=-6$的$x$的系数化为1，等式两边同时除以$-2$，计算得$x=(-6)÷(-2)=3$，除以不为0的数的操作对应等式性质2，因此$x$的结果是3，依据是等式的性质2，用到的方法是等式两边除以$-2$。
(3) 要把$\frac{1}{4}(x-1)=2$中$(x-1)$的系数化为1，等式两边同时乘4，计算得$x-1=2×4=8$，乘同一个数的操作对应等式性质2，因此$x-1$的结果是8，依据是等式的性质2，用到的方法是等式两边乘4。
【答案】
(1)1；等式两边减1
(2)3；2；等式两边除以－2
(3)8；2；等式两边乘4
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心是区分等式两个性质的适用场景，加减变形用性质1，乘除非0数的变形用性质2，掌握好这一规律就能轻松解题，同时这部分知识也是后续学习解方程的重要基础。
【难度系数】
0.9

【学以致用3】利用等式的性质解方程：$3x+6=31-2x.$

解:等式两边加2x,得$3x+2x+6=31$.
等式两边减6,得$3x+2x=31-6$,即$5x=25$.
等式两边除以5,得$x=5$.

【分析】
解方程要用到等式的性质：等式两边同时加/减同一个数、同时乘/除以同一个不为0的数，等式仍然成立。观察方程发现左右两侧都有含x的项，我们可以先给等式两边同时加2x，消去右侧的含x项；再给等式两边同时减6，把常数项都移到右侧；合并同类项后，最后给等式两边同时除以x的系数，就能求出x的值。
【解析】
解: 等式两边加2x, 得$3x+2x+6=31$.
等式两边减6, 得$3x+2x=31-6$, 即$5x=25$.
等式两边除以5, 得$x=5$.
【答案】
$x=5$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题时要注意等式变形时两边必须同时进行相同运算，不要出现只操作单边的错误，掌握这类基础题是后续求解复杂方程的前提。
【难度系数】
0.8

【学以致用4】利用等式的性质解下列方程，并检验：
(1)$2-\frac{1}{4}x=3$；
(2)$-\frac{x}{2}+5=7$。

(1)方程两边减2,得$-\frac{1}{4}x=1$.
方程两边乘－4,得$x=-4$.
检验:将$x=-4$代入原方程,得左边$=2-\frac{1}{4}×(-4)=3$,
所以方程左、右两边的值相等,所以$x=-4$是方程$2-\frac{1}{4}x=3$的解.
(2)方程两边减5,得$-\frac{x}{2}=7-5$,即$-\frac{x}{2}=2$.
方程两边乘－2,得$x=-4$.
检验:把$x=-4$代入原方程,得左边$=2+5=7$,
所以方程左、右两边的值相等,所以$x=-4$是方程$-\frac{x}{2}+5=7$的解.

【分析】
这两道题是利用等式性质解一元一次方程的基础题，解题思路清晰可分为三步：第一步，运用等式的性质1（等式两边加或减同一个数，等式仍然成立），消去方程左侧的常数项，将方程转化为“含未知数的项=常数”的形式；第二步，运用等式的性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立），将未知数的系数化为1，得到x的取值；第三步，把求出的x代入原方程，分别计算左右两边的数值，若两边数值相等，说明所求的x是原方程的解。
【解析】
(1) 方程两边同时减2，得$-\frac{1}{4}x=1$。
方程两边同时乘$-4$，得$x=-4$。
检验：将$x=-4$代入原方程，得左边$=2-\frac{1}{4}×(-4)=3$，和右边相等，所以$x=-4$是方程$2-\frac{1}{4}x=3$的解。
(2) 方程两边同时减5，得$-\frac{x}{2}=7-5$，即$-\frac{x}{2}=2$。
方程两边同时乘$-2$，得$x=-4$。
检验：把$x=-4$代入原方程，得左边$=2+5=7$，和右边相等，所以$x=-4$是方程$-\frac{x}{2}+5=7$的解。
【答案】
(1) $x=-4$；(2) $x=-4$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，方程的检验
【点评】
本题重点考察等式性质的规范运用，是一元一次方程解法的基础训练，解题时要注意符号变形的准确性，养成解完方程主动检验的良好习惯，为后续学习更复杂的方程解法打好基础。
【难度系数】
0.8