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12. 四边形ABCD中，∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
答案
12. 解:连接AC,如图所示:
$\because∠ B=90°,AB=3,BC=4$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,
$\because CD=12,AD=13$,
$12^2+5^2=144+25=169=13^2$,
$\therefore CD^2+AC^2=AD^2$,
$\therefore△ ACD$ 为直角三角形,
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\dfrac{1}{2}AB· BC+\dfrac{1}{2}AC· CD=36$.
解析
【分析】
本题是求不规则四边形的面积，常规解法是通过添加辅助线将其分割为规则图形分别计算面积。观察已知条件，∠B是直角，因此考虑连接AC，将四边形分为△ABC和△ACD两个三角形。首先在Rt△ABC中运用勾股定理求出AC的长度，再结合△ACD的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个三角形的面积相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接AC，如图所示：
∵ ∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
又
∵ CD=12，AD=13，
∴ $AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，即$AC^2+CD^2=AD^2$
∴ △ACD为直角三角形，且∠ACD=90°
∴ 四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB·BC + \frac{1}{2}AC·CD$
$=\frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×5×12=6+30=36$
【答案】
连接AC,如图所示:
$\because∠ B=90°,AB=3,BC=4$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,
$\because CD=12,AD=13$,
$12^2+5^2=144+25=169=13^2$,
$\therefore CD^2+AC^2=AD^2$,
$\therefore△ ACD$ 为直角三角形,
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\dfrac{1}{2}AB· BC+\dfrac{1}{2}AC· CD=36$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题是几何中分割法求面积的典型题型，核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考查了勾股定理及逆定理的应用，也体现了转化思想在几何解题中的作用。
【难度系数】
0.7
本题是求不规则四边形的面积，常规解法是通过添加辅助线将其分割为规则图形分别计算面积。观察已知条件，∠B是直角，因此考虑连接AC，将四边形分为△ABC和△ACD两个三角形。首先在Rt△ABC中运用勾股定理求出AC的长度，再结合△ACD的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个三角形的面积相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接AC，如图所示：
∵ ∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
又
∵ CD=12，AD=13，
∴ $AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，即$AC^2+CD^2=AD^2$
∴ △ACD为直角三角形，且∠ACD=90°
∴ 四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB·BC + \frac{1}{2}AC·CD$
$=\frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×5×12=6+30=36$
【答案】
连接AC,如图所示:
$\because∠ B=90°,AB=3,BC=4$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,
$\because CD=12,AD=13$,
$12^2+5^2=144+25=169=13^2$,
$\therefore CD^2+AC^2=AD^2$,
$\therefore△ ACD$ 为直角三角形,
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\dfrac{1}{2}AB· BC+\dfrac{1}{2}AC· CD=36$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题是几何中分割法求面积的典型题型，核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考查了勾股定理及逆定理的应用，也体现了转化思想在几何解题中的作用。
【难度系数】
0.7
13. 在平面直角坐标系中，点$A(2,a)$，$B(b,3)$，$C(1,2)$，且$\sqrt{6-a} + |b-4| = 0$。
(1)点$A$的坐标为
(2)将线段$AB$平移至$EF$，点$A$和点$E$为对应点，点$B$和点$F$为对应点，当点$E$和点$F$分别落在两条坐标轴上时，求点$E$的坐标；
(3)求$△ CAB$的面积。
(1)点$A$的坐标为
$(2,6)$
，点$B$的坐标为$(4,3)$
；(2)将线段$AB$平移至$EF$，点$A$和点$E$为对应点，点$B$和点$F$为对应点，当点$E$和点$F$分别落在两条坐标轴上时，求点$E$的坐标；
(3)求$△ CAB$的面积。
答案
13. 解:(1)$(2,6),(4,3)$;
(2)如图1,此时 $E$ 的坐标为$E_1(0,3)$或$E_2(-2,0)$;
(3)如图2,
$\therefore S_{△ CAB}=3×4-\dfrac{1}{2}×3×1-\dfrac{1}{2}×2×3-\dfrac{1}{2}×1×4$
$=12-\dfrac{3}{2}-3-2=\dfrac{11}{2}$.
解析
【分析】
(1) 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此列方程求解a和b的值，即可得到A、B两点的坐标；
(2) 线段平移时，所有对应点的平移规律相同，即横坐标的变化量、纵坐标的变化量分别相等。设平移时横坐标变化量为h、纵坐标变化量为k，可表示出E、F的坐标，再结合E、F分别在两条坐标轴上的条件分两种情况列方程求解，即可得到E的坐标；
(3) 计算坐标系内三角形面积可使用割补法：将三角形放入刚好覆盖它的矩形中，用矩形面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，就能得到△CAB的面积。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{6-a} ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$，且$\sqrt{6-a} + |b-4| = 0$，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}6-a=0 \\ b-4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=6 \\ b=4\end{cases}$，因此点A坐标为$(2,6)$，点B坐标为$(4,3)$。
(2) 设线段AB平移过程中，横坐标的变化量为$h$，纵坐标的变化量为$k$，则对应点E的坐标为$(2+h, 6+k)$，F的坐标为$(4+h, 3+k)$。
由于E、F分别落在两条坐标轴上，分两种情况讨论：
① 当E在y轴（横坐标为0），F在x轴（纵坐标为0）时：
$\begin{cases}2+h=0 \\ 3+k=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}h=-2 \\ k=-3\end{cases}$，此时E的坐标为$(2-2,6-3)=(0,3)$；
② 当E在x轴（纵坐标为0），F在y轴（横坐标为0）时：
$\begin{cases}6+k=0 \\ 4+h=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}h=-4 \\ k=-6\end{cases}$，此时E的坐标为$(2-4,6-6)=(-2,0)$。
综上，点E的坐标为$(0,3)$或$(-2,0)$。
(3) 用割补法计算$△ CAB$的面积：
构造覆盖$△ CAB$的矩形，矩形的长为$4-1=3$，宽为$6-2=4$，矩形面积为$3×4=12$；
再减去周围三个直角三角形的面积：
$\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{1}{2}×2×3=3$，$\dfrac{1}{2}×1×4=2$；
因此$S_{△ CAB}=12-\dfrac{3}{2}-3-2=\dfrac{11}{2}$。
【答案】
(1)$(2,6),(4,3)$；
(2)$E$的坐标为$(0,3)$或$(-2,0)$；
(3)$S_{△ CAB}=\dfrac{11}{2}$。
【知识点】
非负数的性质，平移的性质，坐标法求面积
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题时要注意平移问题的分类讨论，熟练掌握割补法计算坐标平面内图形面积的技巧，能有效提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此列方程求解a和b的值，即可得到A、B两点的坐标；
(2) 线段平移时，所有对应点的平移规律相同，即横坐标的变化量、纵坐标的变化量分别相等。设平移时横坐标变化量为h、纵坐标变化量为k，可表示出E、F的坐标，再结合E、F分别在两条坐标轴上的条件分两种情况列方程求解，即可得到E的坐标；
(3) 计算坐标系内三角形面积可使用割补法：将三角形放入刚好覆盖它的矩形中，用矩形面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，就能得到△CAB的面积。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{6-a} ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$，且$\sqrt{6-a} + |b-4| = 0$，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}6-a=0 \\ b-4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=6 \\ b=4\end{cases}$，因此点A坐标为$(2,6)$，点B坐标为$(4,3)$。
(2) 设线段AB平移过程中，横坐标的变化量为$h$，纵坐标的变化量为$k$，则对应点E的坐标为$(2+h, 6+k)$，F的坐标为$(4+h, 3+k)$。
由于E、F分别落在两条坐标轴上，分两种情况讨论：
① 当E在y轴（横坐标为0），F在x轴（纵坐标为0）时：
$\begin{cases}2+h=0 \\ 3+k=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}h=-2 \\ k=-3\end{cases}$，此时E的坐标为$(2-2,6-3)=(0,3)$；
② 当E在x轴（纵坐标为0），F在y轴（横坐标为0）时：
$\begin{cases}6+k=0 \\ 4+h=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}h=-4 \\ k=-6\end{cases}$，此时E的坐标为$(2-4,6-6)=(-2,0)$。
综上，点E的坐标为$(0,3)$或$(-2,0)$。
(3) 用割补法计算$△ CAB$的面积：
构造覆盖$△ CAB$的矩形，矩形的长为$4-1=3$，宽为$6-2=4$，矩形面积为$3×4=12$；
再减去周围三个直角三角形的面积：
$\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{1}{2}×2×3=3$，$\dfrac{1}{2}×1×4=2$；
因此$S_{△ CAB}=12-\dfrac{3}{2}-3-2=\dfrac{11}{2}$。
【答案】
(1)$(2,6),(4,3)$；
(2)$E$的坐标为$(0,3)$或$(-2,0)$
；(3)$S_{△ CAB}=\dfrac{11}{2}$
。【知识点】
非负数的性质，平移的性质，坐标法求面积
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题时要注意平移问题的分类讨论，熟练掌握割补法计算坐标平面内图形面积的技巧，能有效提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
14. 中秋节即将来临,某商超计划引进“传统莲蓉”和“冰皮芒果”两种月饼礼盒,若购进2盒“传统莲蓉”礼盒和3盒“冰皮芒果”礼盒共需980元,购进3盒“传统莲蓉”礼盒和2盒“冰皮芒果”礼盒共需1 020元.
(1)求每盒“传统莲蓉”礼盒和“冰皮芒果”礼盒的进价各是多少元?
(2)该商超计划用不超过4 000元的资金购进两种礼盒共20盒,同时根据市场调研,“冰皮芒果”礼盒的进货数量应不超过“传统莲蓉”礼盒进货数量的2倍,若每盒“传统莲蓉”礼盒售价300元,每盒“冰皮芒果”礼盒售价270元(进价保持(1)中所求不变),且所有礼盒均能全部售出,请设计利润最大的进货方案,并求出最大利润.
(1)求每盒“传统莲蓉”礼盒和“冰皮芒果”礼盒的进价各是多少元?
(2)该商超计划用不超过4 000元的资金购进两种礼盒共20盒,同时根据市场调研,“冰皮芒果”礼盒的进货数量应不超过“传统莲蓉”礼盒进货数量的2倍,若每盒“传统莲蓉”礼盒售价300元,每盒“冰皮芒果”礼盒售价270元(进价保持(1)中所求不变),且所有礼盒均能全部售出,请设计利润最大的进货方案,并求出最大利润.
答案
14. 解:(1)设传统莲蓉月饼礼盒进价$x$元,冰皮芒果月饼礼盒$y$元,购进2盒“传统莲蓉”礼盒和3盒“冰皮芒果”礼盒共需980元,购进3盒“传统莲蓉”礼盒和2盒“冰皮芒果”礼盒共需1 020元.
则有: $\begin{cases} 2x+3y=980,①\\3x+2y=1\ 020,②\end{cases}$
$\therefore \begin{cases} x=220,\\y=180,\end{cases}$
答:“传统莲蓉”进价220元,“冰皮芒果”180元;
(2)设进传统莲蓉月饼礼盒$m$盒,利润为$W$元,
则利润为:$W=(300-220)m+(270-180)(20-m)=-10m+1\ 800$,
且 $\begin{cases} 20-m≤2m,\\220m+180(20-m)≤4\ 000,\end{cases}$
解得:$\dfrac{20}{3}≤ m≤10$,
$\because m$为整数,$-10＜0$,
$\therefore m=7$时,$W_{\max}=1\ 730$元,
此时 $20-m=20-7=13$,
答:进7盒“传统莲蓉”,13盒“冰皮芒果”时利润最大,最大利润为1 730元.
则有: $\begin{cases} 2x+3y=980,①\\3x+2y=1\ 020,②\end{cases}$
$\therefore \begin{cases} x=220,\\y=180,\end{cases}$
答:“传统莲蓉”进价220元,“冰皮芒果”180元;
(2)设进传统莲蓉月饼礼盒$m$盒,利润为$W$元,
则利润为:$W=(300-220)m+(270-180)(20-m)=-10m+1\ 800$,
且 $\begin{cases} 20-m≤2m,\\220m+180(20-m)≤4\ 000,\end{cases}$
解得:$\dfrac{20}{3}≤ m≤10$,
$\because m$为整数,$-10＜0$,
$\therefore m=7$时,$W_{\max}=1\ 730$元,
此时 $20-m=20-7=13$,
答:进7盒“传统莲蓉”,13盒“冰皮芒果”时利润最大,最大利润为1 730元.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问是二元一次方程组应用问题，分别设两种礼盒的进价为未知数，根据题干给出的两个进货总价的等量关系列方程组，求解即可得到两种礼盒的进价。
(2) 第二问是利润最值问题，先设购进“传统莲蓉”礼盒的数量为m盒，可得“冰皮芒果”礼盒数量为(20-m)盒，根据“总利润=单盒利润×销售数量”列出利润关于m的一次函数表达式；再根据“进货资金不超过4000元”“冰皮芒果进货量不超过传统莲蓉的2倍”两个限制条件列不等式组，求出m的取值范围；最后结合一次函数的增减性，在m的整数取值中找到使利润最大的m值，即可得到最优进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设每盒“传统莲蓉”礼盒进价为x元，每盒“冰皮芒果”礼盒进价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=980&①\\3x+2y=1020&②\end{cases}$
用加减消元法求解：①×3得$6x+9y=2940$ ③，②×2得$6x+4y=2040$ ④，③-④得$5y=900$，解得$y=180$，将$y=180$代入①得$2x+540=980$，解得$x=220$。
(2) 设购进“传统莲蓉”礼盒m盒，总利润为W元，则购进“冰皮芒果”礼盒$(20-m)$盒。
单盒利润：“传统莲蓉”为$300-220=80$元，“冰皮芒果”为$270-180=90$元，因此总利润$W=80m+90(20-m)=-10m+1800$。
根据限制条件列不等式组：
$\begin{cases}20-m≤2m\\220m+180(20-m)≤4000\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥\frac{20}{3}$，解第二个不等式得$m≤10$，因此m的取值范围为$\frac{20}{3}≤ m≤10$，m为正整数，可取7、8、9、10。
利润函数$W=-10m+1800$中，$k=-10＜0$，W随m的增大而减小，因此当m取最小值7时，W取得最大值，最大值为$W=-10×7+1800=1730$元，此时“冰皮芒果”礼盒进货量为$20-7=13$盒。
【答案】
(1) 每盒“传统莲蓉”礼盒进价220元，每盒“冰皮芒果”礼盒进价180元；
(2) 购进7盒“传统莲蓉”礼盒、13盒“冰皮芒果”礼盒时利润最大，最大利润为1730元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的最值应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程、不等式与一次函数的综合应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，同时注意自变量的实际取值要求（需为正整数），能有效提升学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问是二元一次方程组应用问题，分别设两种礼盒的进价为未知数，根据题干给出的两个进货总价的等量关系列方程组，求解即可得到两种礼盒的进价。
(2) 第二问是利润最值问题，先设购进“传统莲蓉”礼盒的数量为m盒，可得“冰皮芒果”礼盒数量为(20-m)盒，根据“总利润=单盒利润×销售数量”列出利润关于m的一次函数表达式；再根据“进货资金不超过4000元”“冰皮芒果进货量不超过传统莲蓉的2倍”两个限制条件列不等式组，求出m的取值范围；最后结合一次函数的增减性，在m的整数取值中找到使利润最大的m值，即可得到最优进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设每盒“传统莲蓉”礼盒进价为x元，每盒“冰皮芒果”礼盒进价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x+3y=980&①\\3x+2y=1020&②\end{cases}$
用加减消元法求解：①×3得$6x+9y=2940$ ③，②×2得$6x+4y=2040$ ④，③-④得$5y=900$，解得$y=180$，将$y=180$代入①得$2x+540=980$，解得$x=220$。
(2) 设购进“传统莲蓉”礼盒m盒，总利润为W元，则购进“冰皮芒果”礼盒$(20-m)$盒。
单盒利润：“传统莲蓉”为$300-220=80$元，“冰皮芒果”为$270-180=90$元，因此总利润$W=80m+90(20-m)=-10m+1800$。
根据限制条件列不等式组：
$\begin{cases}20-m≤2m\\220m+180(20-m)≤4000\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥\frac{20}{3}$，解第二个不等式得$m≤10$，因此m的取值范围为$\frac{20}{3}≤ m≤10$，m为正整数，可取7、8、9、10。
利润函数$W=-10m+1800$中，$k=-10＜0$，W随m的增大而减小，因此当m取最小值7时，W取得最大值，最大值为$W=-10×7+1800=1730$元，此时“冰皮芒果”礼盒进货量为$20-7=13$盒。
【答案】
(1) 每盒“传统莲蓉”礼盒进价220元，每盒“冰皮芒果”礼盒进价180元；
(2) 购进7盒“传统莲蓉”礼盒、13盒“冰皮芒果”礼盒时利润最大，最大利润为1730元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的最值应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程、不等式与一次函数的综合应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，同时注意自变量的实际取值要求（需为正整数），能有效提升学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
