登录
17. 在弹性范围内,某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下图。
(1)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成(
(2)如果挂2kg物体,弹簧伸长的长度是(
(1)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成(
正
)比例。(填“正”或“反”)(2)如果挂2kg物体,弹簧伸长的长度是(
0.8
)cm;当弹簧伸长的长度是1.8cm时,所挂物体的质量是(4.5
)kg。答案
17.(1)正 (2)0.8 4.5
解析
【分析】
首先观察图像特征，判断两个量的比例关系：若两个量的图像是过原点的直线，则它们成正比例；再根据图像中横、纵坐标的对应关系，结合正比例的比值恒定的特点，计算未知的伸长长度或物体质量。
【解析】
(1) 由图像可知，弹簧伸长的长度随所挂物体质量的变化图像是一条过原点的直线，说明弹簧伸长的长度与所挂物体质量的比值为定值，因此二者成正比例。
(2) 从图像中读取数据：当物体质量为2kg时，对应的弹簧伸长长度是0.8cm；由于弹簧伸长长度与物体质量成正比例，且比值为0.4cm/kg（如1kg物体对应伸长0.4cm），当弹簧伸长长度为1.8cm时，所挂物体质量为 $ \frac{1.8\ \mathrm{cm}}{0.4\ \mathrm{cm/kg}} = 4.5\ \mathrm{kg} $。
【答案】
(1)正 (2)0.8；4.5
【知识点】
正比例、图像读取
【点评】
本题考查正比例关系的判断及图像的应用，核心是掌握正比例图像的特征，能从图像中提取对应数据并利用比例关系计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
首先观察图像特征，判断两个量的比例关系：若两个量的图像是过原点的直线，则它们成正比例；再根据图像中横、纵坐标的对应关系，结合正比例的比值恒定的特点，计算未知的伸长长度或物体质量。
【解析】
(1) 由图像可知，弹簧伸长的长度随所挂物体质量的变化图像是一条过原点的直线，说明弹簧伸长的长度与所挂物体质量的比值为定值，因此二者成正比例。
(2) 从图像中读取数据：当物体质量为2kg时，对应的弹簧伸长长度是0.8cm；由于弹簧伸长长度与物体质量成正比例，且比值为0.4cm/kg（如1kg物体对应伸长0.4cm），当弹簧伸长长度为1.8cm时，所挂物体质量为 $ \frac{1.8\ \mathrm{cm}}{0.4\ \mathrm{cm/kg}} = 4.5\ \mathrm{kg} $。
【答案】
(1)正 (2)0.8；4.5
【知识点】
正比例、图像读取
【点评】
本题考查正比例关系的判断及图像的应用，核心是掌握正比例图像的特征，能从图像中提取对应数据并利用比例关系计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
18. 如图，①号体积与②号体积的比是(
$1:3$
)；①号体积与③号体积的比是($3:1$
)。答案
18. $1:3$ $3:1$ 解析:①与②的比$\frac{π×(9÷2)^2×12×\frac{1}{3}}{π×(9÷2)^2×12}=1:3$,①与③的比$\frac{π×(9÷2)^2×12×\frac{1}{3}}{π×(3÷2)^2×12}=3:1$。
解析
【分析】
要解决该问题，需先掌握圆锥和圆柱的体积公式，再确定三个图形的底面半径和高，最后计算体积并求比。圆锥体积公式为$V_{锥}=\frac{1}{3}πr^2h$，圆柱体积公式为$V_{柱}=πr^2h$。观察图形可知：①是圆锥，高为12，底面直径9；②是圆柱，高为12，底面直径9；③是圆柱，高为12，底面直径3。分别计算①与②、①与③的体积，再化简体积比即可。
【解析】
1. 计算①号（圆锥）体积：
$V_1=\frac{1}{3}π×(\frac{9}{2})^2×12$
2. 计算②号（圆柱）体积：
$V_2=π×(\frac{9}{2})^2×12$
则①号与②号体积比：
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}π×(\frac{9}{2})^2×12}{π×(\frac{9}{2})^2×12}=\frac{1}{3}$，即$1:3$。
3. 计算③号（圆柱）体积：
$V_3=π×(\frac{3}{2})^2×12$
则①号与③号体积比：
$\frac{V_1}{V_3}=\frac{\frac{1}{3}π×(\frac{9}{2})^2×12}{π×(\frac{3}{2})^2×12}=\frac{\frac{1}{3}×\frac{81}{4}}{\frac{9}{4}}=3$，即$3:1$。
【答案】
$1:3$；$3:1$
【知识点】
圆锥体积、圆柱体积、比的化简
【点评】
本题考查圆柱与圆锥体积公式的应用，解题关键是找准各图形的底面半径和高，利用体积公式计算后化简比，属于基础题型，需牢记体积公式避免出错。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先掌握圆锥和圆柱的体积公式，再确定三个图形的底面半径和高，最后计算体积并求比。圆锥体积公式为$V_{锥}=\frac{1}{3}πr^2h$，圆柱体积公式为$V_{柱}=πr^2h$。观察图形可知：①是圆锥，高为12，底面直径9；②是圆柱，高为12，底面直径9；③是圆柱，高为12，底面直径3。分别计算①与②、①与③的体积，再化简体积比即可。
【解析】
1. 计算①号（圆锥）体积：
$V_1=\frac{1}{3}π×(\frac{9}{2})^2×12$
2. 计算②号（圆柱）体积：
$V_2=π×(\frac{9}{2})^2×12$
则①号与②号体积比：
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}π×(\frac{9}{2})^2×12}{π×(\frac{9}{2})^2×12}=\frac{1}{3}$，即$1:3$。
3. 计算③号（圆柱）体积：
$V_3=π×(\frac{3}{2})^2×12$
则①号与③号体积比：
$\frac{V_1}{V_3}=\frac{\frac{1}{3}π×(\frac{9}{2})^2×12}{π×(\frac{3}{2})^2×12}=\frac{\frac{1}{3}×\frac{81}{4}}{\frac{9}{4}}=3$，即$3:1$。
【答案】
$1:3$；$3:1$
【知识点】
圆锥体积、圆柱体积、比的化简
【点评】
本题考查圆柱与圆锥体积公式的应用，解题关键是找准各图形的底面半径和高，利用体积公式计算后化简比，属于基础题型，需牢记体积公式避免出错。
【难度系数】
0.5
19.如图,把一些规格相同的纸杯叠起来,3个纸杯叠起来高14cm,8个纸杯叠起来高24cm。照这样叠放,20个纸杯整齐叠起来高(
48
)cm;(13
)个纸杯整齐叠起来高34cm。答案
19.48；13
解析
【分析】
本题是线性关系的实际应用问题，需先通过已知的3个、8个纸杯的叠放高度，求出单个纸杯的基础高度和每增加1个纸杯的增量高度，再根据规律计算20个纸杯的高度和高度为34cm时的纸杯数量。
【解析】
设单个纸杯的基础高度为$ h $ cm，每多叠1个纸杯增加的高度为$ a $ cm。
根据题意，3个纸杯叠放时：$ h + (3-1)a = 14 $，即$ h + 2a = 14 $；
8个纸杯叠放时：$ h + (8-1)a = 24 $，即$ h + 7a = 24 $；
用第二个方程减去第一个方程：$ (h+7a)-(h+2a)=24-14 $，得$5a=10$，解得$a=2$；
将$a=2$代入$h+2a=14$，得$h=14-2×2=10$；
因此，$n$个纸杯叠放的高度公式为：$ H = 10 + 2(n-1) = 2n + 8 $；
当$n=20$时，$H=2×20 +8=48$（cm）；
当$H=34$时，代入公式得$2n +8=34$，解得$n=13$；
【答案】
48；13
【知识点】
一次函数应用；一元一次方程应用
【点评】
本题通过实际叠放纸杯的场景，考查线性关系的建模与方程求解，关键是找到高度与纸杯数量的规律，难度适中，需学生具备分析问题、建立数学模型的能力。
【难度系数】
0.3
本题是线性关系的实际应用问题，需先通过已知的3个、8个纸杯的叠放高度，求出单个纸杯的基础高度和每增加1个纸杯的增量高度，再根据规律计算20个纸杯的高度和高度为34cm时的纸杯数量。
【解析】
设单个纸杯的基础高度为$ h $ cm，每多叠1个纸杯增加的高度为$ a $ cm。
根据题意，3个纸杯叠放时：$ h + (3-1)a = 14 $，即$ h + 2a = 14 $；
8个纸杯叠放时：$ h + (8-1)a = 24 $，即$ h + 7a = 24 $；
用第二个方程减去第一个方程：$ (h+7a)-(h+2a)=24-14 $，得$5a=10$，解得$a=2$；
将$a=2$代入$h+2a=14$，得$h=14-2×2=10$；
因此，$n$个纸杯叠放的高度公式为：$ H = 10 + 2(n-1) = 2n + 8 $；
当$n=20$时，$H=2×20 +8=48$（cm）；
当$H=34$时，代入公式得$2n +8=34$，解得$n=13$；
【答案】
48；13
【知识点】
一次函数应用；一元一次方程应用
【点评】
本题通过实际叠放纸杯的场景，考查线性关系的建模与方程求解，关键是找到高度与纸杯数量的规律，难度适中，需学生具备分析问题、建立数学模型的能力。
【难度系数】
0.3
20.某农场使用编号为①②③的三个智能灌溉管道往植物生长池注水。已知所开的管道号与水池灌满时间如表,若3个管道齐开,(
$\frac{9}{2}$
)小时可把水池灌满。答案
20. $\frac{9}{2}$ 解析:②号管道每小时注水$(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{9})÷2=\frac{1}{9}$，$1÷(\frac{1}{9}+\frac{1}{9})=\frac{9}{2}$(小时)。
解析
【分析】
这是一道工程问题，我们将水池的总容量看作单位“1”，利用“工作效率=工作总量÷工作时间”，先求出两两管道组合的注水效率，再通过组合效率的关系计算三个管道同时开的总效率，最后用总工作量“1”除以总效率，就能得到灌满水池的时间。
【解析】
设水池总容量为单位“1”，根据表格信息：
1. 计算两两管道的注水效率：
①②一起的效率：$1÷6=\frac{1}{6}$；
②③一起的效率：$1÷6=\frac{1}{6}$；
①③一起的效率：$1÷9=\frac{1}{9}$；
2. 求三个管道的总效率：
将三个两两组合的效率相加，得到$2×(①+②+③)$的效率：
$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{3}{18}+\frac{3}{18}+\frac{2}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$；
因此三个管道的总效率为：$\frac{4}{9}÷2=\frac{2}{9}$；
3. 计算三个管道齐开的时间：
时间=总工作量÷总效率，即$1÷\frac{2}{9}=\frac{9}{2}$（小时）。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
工程问题、工作效率与时间的关系
【点评】
本题是典型的工程问题，核心是将总工作量设为单位“1”，通过两两合作的效率推导整体效率，解题关键在于理清效率间的数量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.5
这是一道工程问题，我们将水池的总容量看作单位“1”，利用“工作效率=工作总量÷工作时间”，先求出两两管道组合的注水效率，再通过组合效率的关系计算三个管道同时开的总效率，最后用总工作量“1”除以总效率，就能得到灌满水池的时间。
【解析】
设水池总容量为单位“1”，根据表格信息：
1. 计算两两管道的注水效率：
①②一起的效率：$1÷6=\frac{1}{6}$；
②③一起的效率：$1÷6=\frac{1}{6}$；
①③一起的效率：$1÷9=\frac{1}{9}$；
2. 求三个管道的总效率：
将三个两两组合的效率相加，得到$2×(①+②+③)$的效率：
$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{3}{18}+\frac{3}{18}+\frac{2}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$；
因此三个管道的总效率为：$\frac{4}{9}÷2=\frac{2}{9}$；
3. 计算三个管道齐开的时间：
时间=总工作量÷总效率，即$1÷\frac{2}{9}=\frac{9}{2}$（小时）。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
工程问题、工作效率与时间的关系
【点评】
本题是典型的工程问题，核心是将总工作量设为单位“1”，通过两两合作的效率推导整体效率，解题关键在于理清效率间的数量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.5
三、计算题。（30 分）
21.直接写出得数。（5 分）
$298+312=$ $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=$ $80\%×4=$ $0.2^2=$
$\frac{3}{7}-\frac{3}{7}÷3=$ $60÷0.2=$ $\frac{3}{2}÷\frac{3}{5}=$ $\frac{5}{9}×6.3=$
$\frac{3}{8}-0.25=$ $2.5×1.5÷\frac{1}{4}=$
21.直接写出得数。（5 分）
$298+312=$ $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=$ $80\%×4=$ $0.2^2=$
$\frac{3}{7}-\frac{3}{7}÷3=$ $60÷0.2=$ $\frac{3}{2}÷\frac{3}{5}=$ $\frac{5}{9}×6.3=$
$\frac{3}{8}-0.25=$ $2.5×1.5÷\frac{1}{4}=$
答案
21. 610 $\frac{11}{12}$ 3.2 0.04 $\frac{2}{7}$ 300 $\frac{5}{2}$ 3.5 $\frac{1}{8}$ 15
解析
【分析】本题为基础口算计算题，需掌握整数加法、分数四则运算、小数运算、百分数计算及平方运算的基本法则，每道题按对应计算方法或运算顺序计算即可，注意分数加减需通分、分数除法转化为乘法、混合运算先算乘除后算加减等要点。
【解析】1. $298+312$：直接计算得$610$；2. $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$：通分后$\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$；3. $80\%×4$：$80\%=0.8$，$0.8×4=3.2$；4. $0.2^2=0.2×0.2=0.04$；5. $\frac{3}{7}-\frac{3}{7}÷3$：先算除法$\frac{3}{7}÷3=\frac{1}{7}$，再算减法$\frac{3}{7}-\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$；6. $60÷0.2=300$；7. $\frac{3}{2}÷\frac{3}{5}=\frac{3}{2}×\frac{5}{3}=\frac{5}{2}$；8. $\frac{5}{9}×6.3$：$6.3÷9=0.7$，$0.7×5=3.5$；9. $\frac{3}{8}-0.25$：$0.25=\frac{2}{8}$，$\frac{3}{8}-\frac{2}{8}=\frac{1}{8}$；10. $2.5×1.5÷\frac{1}{4}$：除以$\frac{1}{4}$等于乘4，即$2.5×4×1.5=10×1.5=15$。
【答案】610，$\frac{11}{12}$，3.2，0.04，$\frac{2}{7}$，300，$\frac{5}{2}$，3.5，$\frac{1}{8}$，15
【知识点】分数四则运算，小数运算，百分数计算
【点评】本题考查基础计算能力，涵盖整数、分数、小数、百分数的基本运算，需熟练掌握计算法则，注意运算顺序和简便方法的运用，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】1. $298+312$：直接计算得$610$；2. $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$：通分后$\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$；3. $80\%×4$：$80\%=0.8$，$0.8×4=3.2$；4. $0.2^2=0.2×0.2=0.04$；5. $\frac{3}{7}-\frac{3}{7}÷3$：先算除法$\frac{3}{7}÷3=\frac{1}{7}$，再算减法$\frac{3}{7}-\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$；6. $60÷0.2=300$；7. $\frac{3}{2}÷\frac{3}{5}=\frac{3}{2}×\frac{5}{3}=\frac{5}{2}$；8. $\frac{5}{9}×6.3$：$6.3÷9=0.7$，$0.7×5=3.5$；9. $\frac{3}{8}-0.25$：$0.25=\frac{2}{8}$，$\frac{3}{8}-\frac{2}{8}=\frac{1}{8}$；10. $2.5×1.5÷\frac{1}{4}$：除以$\frac{1}{4}$等于乘4，即$2.5×4×1.5=10×1.5=15$。
【答案】610，$\frac{11}{12}$，3.2，0.04，$\frac{2}{7}$，300，$\frac{5}{2}$，3.5，$\frac{1}{8}$，15
【知识点】分数四则运算，小数运算，百分数计算
【点评】本题考查基础计算能力，涵盖整数、分数、小数、百分数的基本运算，需熟练掌握计算法则，注意运算顺序和简便方法的运用，难度较低。
【难度系数】0.9
22. 递等式计算,能简算的要简算。(12 分)
$360+4500÷15$
$\frac{1}{8}×4.7-\frac{1}{8}+6.3×0.125$
$18.4-\frac{13}{18}+1.6-\frac{5}{18}$
$\frac{5}{12}÷[(\frac{1}{3}-\frac{1}{7})×\frac{7}{8}]$
$360+4500÷15$
$\frac{1}{8}×4.7-\frac{1}{8}+6.3×0.125$
$18.4-\frac{13}{18}+1.6-\frac{5}{18}$
$\frac{5}{12}÷[(\frac{1}{3}-\frac{1}{7})×\frac{7}{8}]$
答案
22. 660 $\frac{5}{4}$ 19 $\frac{5}{2}$
解析
【分析】
这四道题是四则混合运算及简便运算题，解题思路如下：
1. 第一题遵循整数四则混合运算顺序，先算除法再算加法，直接计算即可；
2. 第二题观察到0.125等于1/8，可利用乘法分配律提取公因数简化计算；
3. 第三题利用加法交换律、结合律及减法的性质，将小数和分数分别分组计算，简化运算；
4. 第四题遵循分数四则混合运算顺序，先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法，计算时注意分数约分。
【解析】
1. $360 + 4500÷15$
$=360 + 300$
$=660$
2. $\frac{1}{8}×4.7 - \frac{1}{8} + 6.3×0.125$
$=\frac{1}{8}×4.7 - \frac{1}{8}×1 + 6.3×\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{8}×(4.7 -1 +6.3)$
$=\frac{1}{8}×10$
$=\frac{5}{4}$
3. $18.4 - \frac{13}{18} +1.6 - \frac{5}{18}$
$=(18.4 +1.6) - (\frac{13}{18} + \frac{5}{18})$
$=20 -1$
$=19$
4. $\frac{5}{12}÷[(\frac{1}{3}-\frac{1}{7})×\frac{7}{8}]$
$=\frac{5}{12}÷[(\frac{7}{21}-\frac{3}{21})×\frac{7}{8}]$
$=\frac{5}{12}÷[\frac{4}{21}×\frac{7}{8}]$
$=\frac{5}{12}÷\frac{1}{6}$
$=\frac{5}{12}×6$
$=\frac{5}{2}$
【答案】
660；$\frac{5}{4}$；19；$\frac{5}{2}$
【知识点】
四则混合运算；简便运算；分数运算
【点评】
本题考查四则混合运算的顺序及运算定律的灵活应用，需学生掌握乘法分配律、加法结合律等简便方法，是小学数的运算的重点题型，能有效锻炼计算能力。
【难度系数】
0.5
这四道题是四则混合运算及简便运算题，解题思路如下：
1. 第一题遵循整数四则混合运算顺序，先算除法再算加法，直接计算即可；
2. 第二题观察到0.125等于1/8，可利用乘法分配律提取公因数简化计算；
3. 第三题利用加法交换律、结合律及减法的性质，将小数和分数分别分组计算，简化运算；
4. 第四题遵循分数四则混合运算顺序，先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法，计算时注意分数约分。
【解析】
1. $360 + 4500÷15$
$=360 + 300$
$=660$
2. $\frac{1}{8}×4.7 - \frac{1}{8} + 6.3×0.125$
$=\frac{1}{8}×4.7 - \frac{1}{8}×1 + 6.3×\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{8}×(4.7 -1 +6.3)$
$=\frac{1}{8}×10$
$=\frac{5}{4}$
3. $18.4 - \frac{13}{18} +1.6 - \frac{5}{18}$
$=(18.4 +1.6) - (\frac{13}{18} + \frac{5}{18})$
$=20 -1$
$=19$
4. $\frac{5}{12}÷[(\frac{1}{3}-\frac{1}{7})×\frac{7}{8}]$
$=\frac{5}{12}÷[(\frac{7}{21}-\frac{3}{21})×\frac{7}{8}]$
$=\frac{5}{12}÷[\frac{4}{21}×\frac{7}{8}]$
$=\frac{5}{12}÷\frac{1}{6}$
$=\frac{5}{12}×6$
$=\frac{5}{2}$
【答案】
660；$\frac{5}{4}$；19；$\frac{5}{2}$
【知识点】
四则混合运算；简便运算；分数运算
【点评】
本题考查四则混合运算的顺序及运算定律的灵活应用，需学生掌握乘法分配律、加法结合律等简便方法，是小学数的运算的重点题型，能有效锻炼计算能力。
【难度系数】
0.5
