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12.(真题·温州苍南)参加“党史知识”竞赛前,小明和小林在班级中进行赛前训练的10次成绩如图所示,根据图中的信息,他们成绩方差的大小关系为：$S_{小明}^{2}\_\_\_\_\_\_S_{小林}^{2}$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
＜
解析
【分析】
要判断两人成绩方差的大小，需先明确方差的意义：方差反映数据的波动程度，数据波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。观察折线图，对比小明和小林10次成绩的波动幅度，即可得出结论。
【解析】
1. 明确方差的意义：方差用于衡量一组数据的波动大小，波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。
2. 观察折线图：小明的10次成绩（黑色方块）整体分布集中，成绩波动幅度小；小林的10次成绩（黑色三角）分布分散，成绩波动幅度大。
3. 比较波动：小明成绩的波动小于小林成绩的波动，因此小明成绩的方差更小，即$S_{小明}^{2}＜S_{小林}^{2}$。
【答案】
＜
【知识点】
方差、折线统计图
【点评】
本题结合折线统计图考查方差的意义，核心是通过折线的离散程度判断数据波动，属于基础题型，需掌握方差与数据波动的关系。
【难度系数】
0.3
要判断两人成绩方差的大小，需先明确方差的意义：方差反映数据的波动程度，数据波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。观察折线图，对比小明和小林10次成绩的波动幅度，即可得出结论。
【解析】
1. 明确方差的意义：方差用于衡量一组数据的波动大小，波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。
2. 观察折线图：小明的10次成绩（黑色方块）整体分布集中，成绩波动幅度小；小林的10次成绩（黑色三角）分布分散，成绩波动幅度大。
3. 比较波动：小明成绩的波动小于小林成绩的波动，因此小明成绩的方差更小，即$S_{小明}^{2}＜S_{小林}^{2}$。
【答案】
＜
【知识点】
方差、折线统计图
【点评】
本题结合折线统计图考查方差的意义，核心是通过折线的离散程度判断数据波动，属于基础题型，需掌握方差与数据波动的关系。
【难度系数】
0.3
13.已知一组数据 1,2,3,4,5,则这组数据的离差平方和为
方差为
10
;方差为
2
。答案
10 2
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确离差平方和与方差的定义，再按步骤计算：第一步先求这组数据的平均数；第二步计算每个数据与平均数的差的平方之和，得到离差平方和；第三步用离差平方和除以数据的个数，得到方差。
【解析】
1. 计算数据的平均数：$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$；
2. 计算离差平方和：$\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$；
3. 计算方差：方差为离差平方和除以数据个数，即$\frac{10}{5} = 2$。
【答案】
10 2
【知识点】
离差平方和，方差计算，算术平均数
【点评】
本题是统计模块的基础题，考察离差平方和、方差的基本概念及计算，只要牢记公式并按步骤计算即可轻松解答，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需先明确离差平方和与方差的定义，再按步骤计算：第一步先求这组数据的平均数；第二步计算每个数据与平均数的差的平方之和，得到离差平方和；第三步用离差平方和除以数据的个数，得到方差。
【解析】
1. 计算数据的平均数：$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$；
2. 计算离差平方和：$\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$；
3. 计算方差：方差为离差平方和除以数据个数，即$\frac{10}{5} = 2$。
【答案】
10 2
【知识点】
离差平方和，方差计算，算术平均数
【点评】
本题是统计模块的基础题，考察离差平方和、方差的基本概念及计算，只要牢记公式并按步骤计算即可轻松解答，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
14.(真题·杭州滨江)一组数据4,4,x,5,5,7的平均数是5,则这组数据的众数是
5
。答案
5
解析
【分析】首先根据平均数的计算公式求出未知数$x$的值，再依据众数的定义确定这组数据的众数。具体思路：先利用“平均数=数据总和÷数据个数”算出6个数据的总和，再减去已知5个数据的和得到$x$，最后找出出现次数最多的数即为众数。
【解析】已知数据$4,4,x,5,5,7$的平均数是$5$，根据平均数公式可得：
$\frac{4+4+x+5+5+7}{6}=5$
计算数据总和：$5×6=30$，已知5个数据的和为$4+4+5+5+7=25$，则$x=30-25=5$。
此时这组数据为$4,4,5,5,5,7$，其中$5$出现的次数最多（共3次），因此众数是$5$。
【答案】5
【知识点】平均数、众数
【点评】本题考查统计中平均数与众数的基础应用，解题关键是先通过平均数求出未知数据，再准确识别众数，属于基础题型，侧重对核心概念的掌握。
【难度系数】0.7
【解析】已知数据$4,4,x,5,5,7$的平均数是$5$，根据平均数公式可得：
$\frac{4+4+x+5+5+7}{6}=5$
计算数据总和：$5×6=30$，已知5个数据的和为$4+4+5+5+7=25$，则$x=30-25=5$。
此时这组数据为$4,4,5,5,5,7$，其中$5$出现的次数最多（共3次），因此众数是$5$。
【答案】5
【知识点】平均数、众数
【点评】本题考查统计中平均数与众数的基础应用，解题关键是先通过平均数求出未知数据，再准确识别众数，属于基础题型，侧重对核心概念的掌握。
【难度系数】0.7
15.(真题·台州天台)某班男生穿鞋的尺码如下表所示：
由表格可知,这个班级的男生穿鞋尺码的中位数是
由表格可知,这个班级的男生穿鞋尺码的中位数是
25.25
cm。答案
25.25
解析
【分析】首先明确中位数的定义：将一组数据按从小到大排列后，若数据总个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数；若为奇数，中位数是中间位置的数。解题时需先计算总人数确定数据个数，再通过累计各尺码的人数找到中间两个位置对应的尺码，最后计算平均数即可。
【解析】
1. 计算总人数：将各尺码对应的人数相加，$7+8+6+7+1+1=30$（人），即数据共有30个，为偶数个，因此中位数是第15个和第16个数据的平均数。
2. 确定第15、16个数据对应的尺码：
尺码24.5的人数为7，对应第1~7个数据；
尺码25的人数为8，累计人数到$7+8=15$，对应第8~15个数据，因此第15个数据是25；
尺码25.5的人数为6，累计人数到$15+6=21$，对应第16~21个数据，因此第16个数据是25.5；
3. 计算中位数：$(25+25.5)÷2=25.25$。
【答案】25.25
【知识点】中位数、数据统计
【点评】本题考查中位数的计算，核心是掌握中位数的定义，通过累计人数确定对应位置的数据，属于基础统计题，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 计算总人数：将各尺码对应的人数相加，$7+8+6+7+1+1=30$（人），即数据共有30个，为偶数个，因此中位数是第15个和第16个数据的平均数。
2. 确定第15、16个数据对应的尺码：
尺码24.5的人数为7，对应第1~7个数据；
尺码25的人数为8，累计人数到$7+8=15$，对应第8~15个数据，因此第15个数据是25；
尺码25.5的人数为6，累计人数到$15+6=21$，对应第16~21个数据，因此第16个数据是25.5；
3. 计算中位数：$(25+25.5)÷2=25.25$。
【答案】25.25
【知识点】中位数、数据统计
【点评】本题考查中位数的计算，核心是掌握中位数的定义，通过累计人数确定对应位置的数据，属于基础统计题，难度较低。
【难度系数】0.6
16.(真题·绍兴嵊州)求一组数据方差的算式为：$S^2 = \frac{1}{n}[(6-\overline{x})^2 + (7-\overline{x})^2 + (8-\overline{x})^2 + (6-\overline{x})^2 + (8-\overline{x})^2]$，由算式提供的信息，则该组数据的方差$S^2=\underline{\hspace{5em}}$。
答案
解析:由题意知,这组数据为6,6,7,8,8,所以平均数为$\frac{6+6+7+8+8}{5}=7$,则这组数据的方差为$\frac{1}{5}×[2×(6-7)^2+(7-7)^2+2×(8-7)^2]=0.8$,故答案为:0.8。
解析
【分析】
要计算该组数据的方差，需分三步：第一步，从给定的方差算式中识别出这组数据包含的所有数值；第二步，计算这组数据的平均数；第三步，将平均数代入方差公式，计算出最终的方差值。
【解析】
解：由方差算式可知，这组数据为6、7、8、6、8，共5个数据。
先计算平均数：$\overline{x} = \frac{6 + 7 + 8 + 6 + 8}{5} = \frac{35}{5} = 7$。
再将平均数代入方差公式计算：
$S^2 = \frac{1}{5}[(6 - 7)^2 + (7 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2]$
$= \frac{1}{5}[(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2]$
$= \frac{1}{5}(1 + 0 + 1 + 1 + 1)$
$= \frac{1}{5}×4 = 0.8$
【答案】
0.8
【知识点】
方差计算、平均数计算
【点评】
本题考查方差公式的理解与基础计算，核心是能从方差算式中提取原始数据，结合平均数的计算方法代入公式求解，属于初中统计部分的基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算该组数据的方差，需分三步：第一步，从给定的方差算式中识别出这组数据包含的所有数值；第二步，计算这组数据的平均数；第三步，将平均数代入方差公式，计算出最终的方差值。
【解析】
解：由方差算式可知，这组数据为6、7、8、6、8，共5个数据。
先计算平均数：$\overline{x} = \frac{6 + 7 + 8 + 6 + 8}{5} = \frac{35}{5} = 7$。
再将平均数代入方差公式计算：
$S^2 = \frac{1}{5}[(6 - 7)^2 + (7 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2]$
$= \frac{1}{5}[(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2]$
$= \frac{1}{5}(1 + 0 + 1 + 1 + 1)$
$= \frac{1}{5}×4 = 0.8$
【答案】
0.8
【知识点】
方差计算、平均数计算
【点评】
本题考查方差公式的理解与基础计算，核心是能从方差算式中提取原始数据，结合平均数的计算方法代入公式求解，属于初中统计部分的基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共6题,每小题12分,共72分)
17.(真题·嘉兴)某校八年级学生参加传统文化知识竞赛,从中随机抽取20名学生的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数,满分为10分)绘制成如图所示统计图:
(1)求这20名学生竞赛成绩的中位数和众数。
(2)求这20名学生竞赛成绩的平均数。
17.(真题·嘉兴)某校八年级学生参加传统文化知识竞赛,从中随机抽取20名学生的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数,满分为10分)绘制成如图所示统计图:
(1)求这20名学生竞赛成绩的中位数和众数。
(2)求这20名学生竞赛成绩的平均数。
答案
(1)由统计图中7分对应的人数最多,因此这组数据的众数是7分,由于人数总和是20人为偶数,将数据从小到大排列后,第10个和第11个数据都是8分,因此这组数据的中位数是8分。
(2)$\overline{x}=\frac{2×6+7×7+3×8+4×9+4×10}{20}=8.05$(分),
答:这20名学生竞赛成绩的平均数为8.05分。
(2)$\overline{x}=\frac{2×6+7×7+3×8+4×9+4×10}{20}=8.05$(分),
答:这20名学生竞赛成绩的平均数为8.05分。
解析
【分析】
要解决这道题，需明确三个统计量的定义和计算方法：①众数是一组数据中出现次数最多的数，直接观察统计图中各成绩对应的人数即可确定；②中位数是将数据从小到大排列后，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数，需先计算累计人数找到第10、11个数据；③平均数是所有数据的总和除以数据总个数，需先计算总成绩再除以总人数。
【解析】
(1) 求众数和中位数：
众数：观察统计图，成绩为6分的有2人，7分的有7人，8分的有3人，9分的有4人，10分的有4人，7分对应的人数最多，因此众数是7分。
中位数：总共有20个数据，从小到大排列后，第10、11个数据是中间的两个数。计算累计人数：6分累计2人，7分累计2+7=9人，8分累计9+3=12人，可知第10、11个数据都在8分组，均为8分，因此中位数是$\frac{8+8}{2}=8$分。
(2) 求平均数：
总成绩为各成绩乘以对应人数的和：
$6×2 + 7×7 + 8×3 + 9×4 + 10×4 = 12 + 49 + 24 + 36 + 40 = 161$（分）
平均数为$\frac{161}{20}=8.05$（分）
【答案】
(1) 中位数是8分，众数是7分；
(2) 平均数是8.05分。
【知识点】
中位数、众数、平均数
【点评】
本题考查基础统计量的计算，属于统计部分的常规题型，解题关键是掌握中位数、众数、平均数的定义，计算中位数时需注意数据的累计排序，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确三个统计量的定义和计算方法：①众数是一组数据中出现次数最多的数，直接观察统计图中各成绩对应的人数即可确定；②中位数是将数据从小到大排列后，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数，需先计算累计人数找到第10、11个数据；③平均数是所有数据的总和除以数据总个数，需先计算总成绩再除以总人数。
【解析】
(1) 求众数和中位数：
众数：观察统计图，成绩为6分的有2人，7分的有7人，8分的有3人，9分的有4人，10分的有4人，7分对应的人数最多，因此众数是7分。
中位数：总共有20个数据，从小到大排列后，第10、11个数据是中间的两个数。计算累计人数：6分累计2人，7分累计2+7=9人，8分累计9+3=12人，可知第10、11个数据都在8分组，均为8分，因此中位数是$\frac{8+8}{2}=8$分。
(2) 求平均数：
总成绩为各成绩乘以对应人数的和：
$6×2 + 7×7 + 8×3 + 9×4 + 10×4 = 12 + 49 + 24 + 36 + 40 = 161$（分）
平均数为$\frac{161}{20}=8.05$（分）
【答案】
(1) 中位数是8分，众数是7分；
(2) 平均数是8.05分。
【知识点】
中位数、众数、平均数
【点评】
本题考查基础统计量的计算，属于统计部分的常规题型，解题关键是掌握中位数、众数、平均数的定义，计算中位数时需注意数据的累计排序，避免出错。
【难度系数】
0.7
