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8.(真题·宁波北仑)某校801班要选拔一名跳绳成绩优异且发挥稳定的学生参加学校的跳绳比赛。下表是四名候选人十次1min跳绳测试成绩的平均数和方差,则应该选择参加比赛的候选人序号是 …………………………（
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
D
解析
【分析】要选拔跳绳成绩优异且发挥稳定的学生，需结合两个统计量的实际意义判断：平均数反映成绩的平均水平，平均数越大说明成绩越优异；方差反映成绩的波动程度，方差越小说明发挥越稳定。解题时需先比较四名候选人的平均数，筛选出平均数较大的，再在其中比较方差，选出方差较小的即可。
【解析】第一步，比较四名候选人的平均数：①的平均数为198，②为212，③为205，④为212，因此②和④的平均数最大，成绩更优异；第二步，比较②和④的方差：②的方差是3.2，④的方差是1.8，由于1.8＜3.2，所以④的成绩更稳定。综上，应选择候选人④，对应选项D。
【答案】D
【知识点】平均数的意义、方差的意义
【点评】本题考查统计量在实际选拔问题中的应用，核心是理解平均数和方差的实际意义，属于基础统计应用题，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】第一步，比较四名候选人的平均数：①的平均数为198，②为212，③为205，④为212，因此②和④的平均数最大，成绩更优异；第二步，比较②和④的方差：②的方差是3.2，④的方差是1.8，由于1.8＜3.2，所以④的成绩更稳定。综上，应选择候选人④，对应选项D。
【答案】D
【知识点】平均数的意义、方差的意义
【点评】本题考查统计量在实际选拔问题中的应用，核心是理解平均数和方差的实际意义，属于基础统计应用题，难度较低。
【难度系数】0.6
9.(真题·杭州钱塘)在某次期末考试中,甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表:
根据表中数据,下列分析正确的是 ……………………（
A.甲学校八年级总人数比乙学校多
B.甲学校八年级男生人数比乙学校多
C.甲学校八年级男生比例比乙学校高
D.甲学校女生人数多于男生
根据表中数据,下列分析正确的是 ……………………（
C
）A.甲学校八年级总人数比乙学校多
B.甲学校八年级男生人数比乙学校多
C.甲学校八年级男生比例比乙学校高
D.甲学校女生人数多于男生
答案
解析:甲学校分析:年级平均分92分,介于男生95分和女生85分之间,92距95差3分,距85差7分,说明男生人数多于女生,男生比例更高;乙学校分析:年级平均分91分,介于男生97分和女生87分之间,91距97差6分,距87差4分,说明女生人数多于男生,女生比例更高,A:年级平均分无法推断总人数,错误;B:男生人数需结合总人数,无法确定,错误;C:甲校男生比例高于乙校,正确;D:甲校男生人数多于女生,错误。故选:C。
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路是利用年级平均分是男女生成绩的加权平均数，通过“男生比平均分多的总分等于女生比平均分少的总分”的关系，求出两校男女生的人数比例，进而逐一判断选项。
【解析】
设甲学校男生人数为$x_1$，女生人数为$y_1$，根据加权平均数公式：
$92 = \frac{95x_1 + 85y_1}{x_1 + y_1}$
整理得：$92(x_1 + y_1) = 95x_1 + 85y_1$，化简得$7y_1 = 3x_1$，即$\frac{x_1}{y_1} = \frac{7}{3}$，甲学校男生比例为$\frac{7}{7+3}=70\%$，男生人数多于女生。
设乙学校男生人数为$x_2$，女生人数为$y_2$，同理：
$91 = \frac{97x_2 + 87y_2}{x_2 + y_2}$
整理得：$91(x_2 + y_2) = 97x_2 + 87y_2$，化简得$4y_2 = 6x_2$，即$\frac{x_2}{y_2} = \frac{2}{3}$，乙学校男生比例为$\frac{2}{2+3}=40\%$，女生人数多于男生。
逐一分析选项：
A选项：两校总人数未知，无法通过平均分推断总人数，错误；
B选项：仅知男女生比例，总人数未知，无法确定男生人数多少，错误；
C选项：甲校男生比例70%，乙校男生比例40%，甲校男生比例更高，正确；
D选项：甲校男生比例70%，男生人数多于女生，错误。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数、比例分析
【点评】
本题结合成绩统计考查加权平均数的应用，核心是利用“总分差相等”快速推导男女生人数比例，需理解加权平均数的本质是权重的体现，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路是利用年级平均分是男女生成绩的加权平均数，通过“男生比平均分多的总分等于女生比平均分少的总分”的关系，求出两校男女生的人数比例，进而逐一判断选项。
【解析】
设甲学校男生人数为$x_1$，女生人数为$y_1$，根据加权平均数公式：
$92 = \frac{95x_1 + 85y_1}{x_1 + y_1}$
整理得：$92(x_1 + y_1) = 95x_1 + 85y_1$，化简得$7y_1 = 3x_1$，即$\frac{x_1}{y_1} = \frac{7}{3}$，甲学校男生比例为$\frac{7}{7+3}=70\%$，男生人数多于女生。
设乙学校男生人数为$x_2$，女生人数为$y_2$，同理：
$91 = \frac{97x_2 + 87y_2}{x_2 + y_2}$
整理得：$91(x_2 + y_2) = 97x_2 + 87y_2$，化简得$4y_2 = 6x_2$，即$\frac{x_2}{y_2} = \frac{2}{3}$，乙学校男生比例为$\frac{2}{2+3}=40\%$，女生人数多于男生。
逐一分析选项：
A选项：两校总人数未知，无法通过平均分推断总人数，错误；
B选项：仅知男女生比例，总人数未知，无法确定男生人数多少，错误；
C选项：甲校男生比例70%，乙校男生比例40%，甲校男生比例更高，正确；
D选项：甲校男生比例70%，男生人数多于女生，错误。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数、比例分析
【点评】
本题结合成绩统计考查加权平均数的应用，核心是利用“总分差相等”快速推导男女生人数比例，需理解加权平均数的本质是权重的体现，难度适中。
【难度系数】
0.6
10.(真题·绍兴柯桥)老师在黑板上写出一个计算方差的算式：
$ S^2 = \frac{1}{n}[(11-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+2×(6-8)^2] $，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是 ………………（
A.$ n=5 $
B.平均数为8
C.添加一个数8后方差不变
D.这组数据的众数是6
$ S^2 = \frac{1}{n}[(11-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+2×(6-8)^2] $，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是 ………………（
C
）A.$ n=5 $
B.平均数为8
C.添加一个数8后方差不变
D.这组数据的众数是6
答案
解析:根据题意得:该组数据为11,9,8,6,6,共5个数,平均数为8,故A、B选项正确,不符合题意;添加一个数8后方差为$\frac{1}{6}[(11-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+2×(6-8)^2+(8-8)^2]=\frac{1}{6}[(11-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+2×(6-8)^2+0]=S^2$,即添加一个数8后方差改变,故C选项错误,符合题意;这组数据,6出现的次数最多,即这组数据的众数是6,故D选项正确,不符合题意;故选:C。
解析
【分析】首先回忆方差计算公式：$ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 $，其中$ n $为数据个数，$ \bar{x} $为平均数，$ x_i $为各数据。从给定算式中，$ (11-8)^2 $、$ (9-8)^2 $、$ (8-8)^2 $、$ 2×(6-8)^2 $可还原出数据为11、9、8、6、6，共5个，平均数$ \bar{x}=8 $。接下来逐一分析选项：判断$ n $的数值、平均数是否正确，添加8后方差是否变化，以及众数是否正确，找出错误结论。
【解析】根据方差公式还原原始数据为11、9、8、6、6，共5个数据：
1. 选项A：数据共5个，故$ n=5 $，结论正确；
2. 选项B：平均数$ \bar{x}=\frac{11+9+8+6+6}{5}=8 $，结论正确；
3. 选项C：原方差$ S^2=\frac{1}{5}[(11-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+2×(6-8)^2]=\frac{1}{5}(9+1+0+8)=3.6 $；添加一个数8后，新方差$ S'^2=\frac{1}{6}[18 + (8-8)^2]=3 $，方差改变，结论错误；
4. 选项D：数据中6出现2次，次数最多，众数为6，结论正确。
综上，不正确的结论是选项C。
【答案】C
【知识点】方差、平均数、众数
【点评】本题考查方差公式的理解与应用，以及平均数、众数的计算，核心是能从方差公式还原原始数据，再结合统计量的定义逐一判断，属于基础题型，需熟练掌握统计量的相关概念。
【难度系数】0.6
【解析】根据方差公式还原原始数据为11、9、8、6、6，共5个数据：
1. 选项A：数据共5个，故$ n=5 $，结论正确；
2. 选项B：平均数$ \bar{x}=\frac{11+9+8+6+6}{5}=8 $，结论正确；
3. 选项C：原方差$ S^2=\frac{1}{5}[(11-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+2×(6-8)^2]=\frac{1}{5}(9+1+0+8)=3.6 $；添加一个数8后，新方差$ S'^2=\frac{1}{6}[18 + (8-8)^2]=3 $，方差改变，结论错误；
4. 选项D：数据中6出现2次，次数最多，众数为6，结论正确。
综上，不正确的结论是选项C。
【答案】C
【知识点】方差、平均数、众数
【点评】本题考查方差公式的理解与应用，以及平均数、众数的计算，核心是能从方差公式还原原始数据，再结合统计量的定义逐一判断，属于基础题型，需熟练掌握统计量的相关概念。
【难度系数】0.6
11.(真题·舟山定海)在一次广播操比赛中，801班、802班、803班的各项得分如下表，若对于“服装统一”“动作整齐”“动作准确”三个项目按$2:3:5$进行加权计算，则得分最高的班级是
801班
。答案
801班
解析
【分析】要找出得分最高的班级，需根据加权平均数的计算规则，按照“服装统一”“动作整齐”“动作准确”的权重比2:3:5，分别计算三个班级的加权得分，再比较得分大小，确定最高的班级。
【解析】首先计算权重总和：2+3+5=10。
1. 计算801班的加权得分：
$(80×2 + 84×3 + 87×5)÷10 = (160 + 252 + 435)÷10 = 847÷10 = 84.7$分；
2. 计算802班的加权得分：
$(98×2 + 78×3 + 80×5)÷10 = (196 + 234 + 400)÷10 = 830÷10 = 83$分；
3. 计算803班的加权得分：
$(90×2 + 82×3 + 83×5)÷10 = (180 + 246 + 415)÷10 = 841÷10 = 84.1$分；
比较三个班级的得分：$84.7 ＞ 84.1 ＞ 83$，因此得分最高的班级是801班。
【答案】801班
【知识点】加权平均数计算
【点评】本题结合实际场景考查加权平均数的应用，核心是掌握加权平均数的计算方法，步骤清晰，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
【解析】首先计算权重总和：2+3+5=10。
1. 计算801班的加权得分：
$(80×2 + 84×3 + 87×5)÷10 = (160 + 252 + 435)÷10 = 847÷10 = 84.7$分；
2. 计算802班的加权得分：
$(98×2 + 78×3 + 80×5)÷10 = (196 + 234 + 400)÷10 = 830÷10 = 83$分；
3. 计算803班的加权得分：
$(90×2 + 82×3 + 83×5)÷10 = (180 + 246 + 415)÷10 = 841÷10 = 84.1$分；
比较三个班级的得分：$84.7 ＞ 84.1 ＞ 83$，因此得分最高的班级是801班。
【答案】801班
【知识点】加权平均数计算
【点评】本题结合实际场景考查加权平均数的应用，核心是掌握加权平均数的计算方法，步骤清晰，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
