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1. 下列结论正确的是 （
A.直线比射线长
B.经过两点有且只有一条直线
C.过三点一定能作三条直线
D.一条直线就是两条射线
B
）A.直线比射线长
B.经过两点有且只有一条直线
C.过三点一定能作三条直线
D.一条直线就是两条射线
答案
1. B
解析
【分析】
这道题属于几何基础概念辨析题，我们可以采用逐个选项排查的思路来解题：首先回忆直线、射线的延伸特性判断A选项，再对照直线的基本公理验证B选项，接着考虑三点共线的特殊情况判断C选项，最后结合射线的端点属性辨析直线和射线的区别判断D选项，排除所有错误选项后就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个对选项进行分析：
1. 分析选项A：直线可向两端无限延伸，射线可向一端无限延伸，二者都不具备可度量的长度，无法比较长短，因此A选项错误。
2. 分析选项B：“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，也就是常说的“两点确定一条直线”，该表述完全正确，因此B选项正确。
3. 分析选项C：若三个点处于同一条直线上，过这三点仅能作出1条直线，只有当三点互不共线时才能作出3条直线，“过三点一定能作三条直线”的表述不符合实际情况，因此C选项错误。
4. 分析选项D：射线必须有一个明确的端点，只有当直线上存在某一个公共端点，拆分出两条方向完全相反的射线时，这两条射线才能共同组成该直线，不能直接将一条直线等同于两条射线，二者的定义存在本质区别，因此D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
直线的性质，射线的定义，两点确定一条直线
【点评】
本题是几何入门的基础概念题，易错点集中在对无限延伸的线的长度认知、三点位置的特殊情况考虑不到位，解题时要准确牢记几何基础概念的细节，避免凭直觉做出错误判断。
【难度系数】
0.9
这道题属于几何基础概念辨析题，我们可以采用逐个选项排查的思路来解题：首先回忆直线、射线的延伸特性判断A选项，再对照直线的基本公理验证B选项，接着考虑三点共线的特殊情况判断C选项，最后结合射线的端点属性辨析直线和射线的区别判断D选项，排除所有错误选项后就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个对选项进行分析：
1. 分析选项A：直线可向两端无限延伸，射线可向一端无限延伸，二者都不具备可度量的长度，无法比较长短，因此A选项错误。
2. 分析选项B：“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，也就是常说的“两点确定一条直线”，该表述完全正确，因此B选项正确。
3. 分析选项C：若三个点处于同一条直线上，过这三点仅能作出1条直线，只有当三点互不共线时才能作出3条直线，“过三点一定能作三条直线”的表述不符合实际情况，因此C选项错误。
4. 分析选项D：射线必须有一个明确的端点，只有当直线上存在某一个公共端点，拆分出两条方向完全相反的射线时，这两条射线才能共同组成该直线，不能直接将一条直线等同于两条射线，二者的定义存在本质区别，因此D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
直线的性质，射线的定义，两点确定一条直线
【点评】
本题是几何入门的基础概念题，易错点集中在对无限延伸的线的长度认知、三点位置的特殊情况考虑不到位，解题时要准确牢记几何基础概念的细节，避免凭直觉做出错误判断。
【难度系数】
0.9
2. 如图,把一根绳子对折成线段AB,从点P处把绳子剪断后,得到$AP=\dfrac{2}{5}AB$. 若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm,则绳子的原长为（
A.50 cm
B.100 cm
C.150 cm
D.100 cm 或 150 cm
D
）A.50 cm
B.100 cm
C.150 cm
D.100 cm 或 150 cm
答案
2. D 提示:①当点 A 是绳子的对折点时,将绳子展开如图1所示. 因为 $AP=\dfrac{2}{5}AB$,剪断后的各段绳子中最长的一段为 60 cm, 所以 $2AP=60\ \mathrm{cm},AP=30\ \mathrm{cm}$, 所以 $AB=30÷\dfrac{2}{5}=75(\mathrm{cm})$,所以绳子的原长为 $75×2=150(\mathrm{cm})$;②当点 B 是绳子的对折点时,将绳子展开如图2所示. 因为 $AP=\dfrac{2}{5}AB$,剪断后的各段绳子中最长的一段为 60 cm, 所以 $2BP=60\ \mathrm{cm},BP=30\ \mathrm{cm}$, 所以 $AB=30÷(1-\dfrac{2}{5})=50(\mathrm{cm})$,所以绳子的原长为 $50×2=100(\mathrm{cm})$. 综上所述,绳子的原长为100 cm 或 150 cm.
解析
【分析】
这道题的核心是绳子对折后，得到的线段AB的两个端点中，有一个是对折的折点，另一个是绳子两个绳头的公共位置，因此需要分类讨论两种对折的可能性，避免漏解。首先我们可以先根据已知条件$AP=\dfrac{2}{5}AB$，推导出BP的长度占AB的比例，再分别假设A为对折点、B为对折点，将线段展开还原为原绳子，分析剪断后各段的长度，找到对应最长段为60cm的等量关系，分别计算出AB的长度，再乘以2得到绳子原长，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
解：已知$AP=\dfrac{2}{5}AB$，因此可得$BP=AB-AP=\dfrac{3}{5}AB$，分两种情况讨论：
① 当点A是绳子的对折点时，将绳子展开，剪断后得到的三段绳子长度分别为$2AP$、$BP$、$BP$。
由于最长段为60cm，此时$2AP ＞ BP$，因此$2AP=60\ \mathrm{cm}$，解得$AP=30\ \mathrm{cm}$。
代入$AP=\dfrac{2}{5}AB$，可得$AB=30÷\dfrac{2}{5}=75\ \mathrm{cm}$，因此绳子原长为$2× AB=75×2=150\ \mathrm{cm}$。
② 当点B是绳子的对折点时，将绳子展开，剪断后得到的三段绳子长度分别为$AP$、$AP$、$2BP$。
由于最长段为60cm，此时$2BP ＞ AP$，因此$2BP=60\ \mathrm{cm}$，解得$BP=30\ \mathrm{cm}$。
代入$BP=\dfrac{3}{5}AB$，可得$AB=30÷(1-\dfrac{2}{5})=50\ \mathrm{cm}$，因此绳子原长为$2× AB=50×2=100\ \mathrm{cm}$。
综上，绳子的原长为100 cm 或 150 cm。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差，分类讨论思想
【点评】
本题属于线段相关的易错题，最容易出现的错误是默认某一个端点为对折点，只计算出单一结果漏选正确选项，解题时要注意对折后线段的端点既可能是折点也可能是绳头的汇集点，分情况验证最长段的对应关系，才能得到全部正确结果。
【难度系数】
0.5
这道题的核心是绳子对折后，得到的线段AB的两个端点中，有一个是对折的折点，另一个是绳子两个绳头的公共位置，因此需要分类讨论两种对折的可能性，避免漏解。首先我们可以先根据已知条件$AP=\dfrac{2}{5}AB$，推导出BP的长度占AB的比例，再分别假设A为对折点、B为对折点，将线段展开还原为原绳子，分析剪断后各段的长度，找到对应最长段为60cm的等量关系，分别计算出AB的长度，再乘以2得到绳子原长，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
解：已知$AP=\dfrac{2}{5}AB$，因此可得$BP=AB-AP=\dfrac{3}{5}AB$，分两种情况讨论：
① 当点A是绳子的对折点时，将绳子展开，剪断后得到的三段绳子长度分别为$2AP$、$BP$、$BP$。
由于最长段为60cm，此时$2AP ＞ BP$，因此$2AP=60\ \mathrm{cm}$，解得$AP=30\ \mathrm{cm}$。
代入$AP=\dfrac{2}{5}AB$，可得$AB=30÷\dfrac{2}{5}=75\ \mathrm{cm}$，因此绳子原长为$2× AB=75×2=150\ \mathrm{cm}$。
② 当点B是绳子的对折点时，将绳子展开，剪断后得到的三段绳子长度分别为$AP$、$AP$、$2BP$。
由于最长段为60cm，此时$2BP ＞ AP$，因此$2BP=60\ \mathrm{cm}$，解得$BP=30\ \mathrm{cm}$。
代入$BP=\dfrac{3}{5}AB$，可得$AB=30÷(1-\dfrac{2}{5})=50\ \mathrm{cm}$，因此绳子原长为$2× AB=50×2=100\ \mathrm{cm}$。
综上，绳子的原长为100 cm 或 150 cm。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差，分类讨论思想
【点评】
本题属于线段相关的易错题，最容易出现的错误是默认某一个端点为对折点，只计算出单一结果漏选正确选项，解题时要注意对折后线段的端点既可能是折点也可能是绳头的汇集点，分情况验证最长段的对应关系，才能得到全部正确结果。
【难度系数】
0.5
3. 如图,嘉淇设计了一个电子游戏,电子屏幕上有一条直线$l$,在直线$l$上有等距分布的$A,B,C,D$四点,当出现光点$P$与$A,B$,$C,D$四点中的至少两个点距离相等时,光点$P$就会发出红光,则光点$P$沿直线$l$从点$A$出发移动到终点$D$的过程中,发出红光的次数最多为
5
.答案
3. 5 提示:由题意知,当点 P 经过任意一条线段的中点时,光点 P 就会发出红光,因为题图中共有 6 条线段,分别是 AB,AC,AD,BC,BD,CD,所以共有 6个线段的中点. 因为 $AB=BC=CD$,所以线段 AD 和 BC 的中点重合,所以发出红光的次数最多为 5.
解析
【分析】
首先我们先对题意做转化：光点P在直线l上，若它和A、B、C、D中至少两个点距离相等，说明P就是这两个点所连线段的中点，因为线段的垂直平分线和直线l的唯一交点就是线段自身的中点。接下来我们可以先枚举四个点能组成的所有线段，计算所有线段的中点，再排除重合的中点，统计不同中点的数量，就是P从A移动到D过程中经过的发光点总数。我们可以通过给点赋值坐标的方式直观判断中点是否重合，避免计数错误。
【解析】
1. 条件转化：直线l上的点P到两点距离相等，等价于P是这两点构成线段的中点，因此光点P每经过一个不同的线段中点，就会触发一次红光。
2. 枚举所有线段：A、B、C、D四个点共可组成6条线段，分别是AB、AC、AD、BC、BD、CD。
3. 赋值计算中点：设AB=BC=CD=a，建立数轴，令点A对应数值0，则B对应a，C对应2a，D对应3a，逐一计算各线段的中点：
AB中点：$\frac{0+a}{2}=\frac{a}{2}$
AC中点：$\frac{0+2a}{2}=a$
AD中点：$\frac{0+3a}{2}=1.5a$
BC中点：$\frac{a+2a}{2}=1.5a$
BD中点：$\frac{a+3a}{2}=2a$
CD中点：$\frac{2a+3a}{2}=2.5a$
4. 去重统计：AD的中点和BC的中点完全重合，剩余的中点均不重复，最终共有5个不同的中点，因此P从A移动到D的过程中最多触发5次红光。
【答案】5
【知识点】
线段中点定义，数轴上的距离计算
【点评】
本题的核心是将“到两点距离相等”的条件转化为线段中点问题，多数同学容易直接按6条线段误算成6次，忽略AD和BC的中点重合的特点，通过赋值坐标的方法可以非常直观地判断中点是否重合，有效避免计数错误。
【难度系数】
0.6
首先我们先对题意做转化：光点P在直线l上，若它和A、B、C、D中至少两个点距离相等，说明P就是这两个点所连线段的中点，因为线段的垂直平分线和直线l的唯一交点就是线段自身的中点。接下来我们可以先枚举四个点能组成的所有线段，计算所有线段的中点，再排除重合的中点，统计不同中点的数量，就是P从A移动到D过程中经过的发光点总数。我们可以通过给点赋值坐标的方式直观判断中点是否重合，避免计数错误。
【解析】
1. 条件转化：直线l上的点P到两点距离相等，等价于P是这两点构成线段的中点，因此光点P每经过一个不同的线段中点，就会触发一次红光。
2. 枚举所有线段：A、B、C、D四个点共可组成6条线段，分别是AB、AC、AD、BC、BD、CD。
3. 赋值计算中点：设AB=BC=CD=a，建立数轴，令点A对应数值0，则B对应a，C对应2a，D对应3a，逐一计算各线段的中点：
AB中点：$\frac{0+a}{2}=\frac{a}{2}$
AC中点：$\frac{0+2a}{2}=a$
AD中点：$\frac{0+3a}{2}=1.5a$
BC中点：$\frac{a+2a}{2}=1.5a$
BD中点：$\frac{a+3a}{2}=2a$
CD中点：$\frac{2a+3a}{2}=2.5a$
4. 去重统计：AD的中点和BC的中点完全重合，剩余的中点均不重复，最终共有5个不同的中点，因此P从A移动到D的过程中最多触发5次红光。
【答案】5
【知识点】
线段中点定义，数轴上的距离计算
【点评】
本题的核心是将“到两点距离相等”的条件转化为线段中点问题，多数同学容易直接按6条线段误算成6次，忽略AD和BC的中点重合的特点，通过赋值坐标的方法可以非常直观地判断中点是否重合，有效避免计数错误。
【难度系数】
0.6
4. 已知点 $C$ 在线段 $AB$ 上, $M_1,N_1$ 分别为线段 $AC,CB$ 的中点, $M_2,N_2$ 分别为线段$M_1C,N_1C$ 的中点, $M_3,N_3$ 分别为线段$M_2C,N_2C$ 的中点……$M_{2\ 025},N_{2\ 025}$ 分别为线段 $M_{2\ 024}C,N_{2\ 024}C$ 的中点. 若线段 $AB=a$,则线段 $M_{2\ 025}N_{2\ 025}$ 的长是
$\dfrac{1}{2^{2\ 025}}a$
.答案
4. $\dfrac{1}{2^{2\ 025}}a$ 提示:因为 $M_1,N_1$ 分别为线段 $AC$, $CB$ 的中点, 所以 $CM_1=\dfrac{1}{2}AC,CN_1=\dfrac{1}{2}BC$, 所以 $M_1N_1=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}a$. 同理 $M_2N_2=\dfrac{1}{2}M_1N_1=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}a=\dfrac{1}{2^2}a$,$M_3N_3=\dfrac{1}{2^3}a$,$\dots$,所以 $M_{2\ 025}N_{2\ 025}=\dfrac{1}{2^{2\ 025}}a$.
解析
【分析】
这是一道规律探究类的线段计算问题，不需要直接重复计算到第2025项，解题思路如下：1. 先从n=1的基础情况入手，利用线段中点的性质结合线段和差关系，算出M₁N₁的长度；2. 同理依次计算n=2、n=3时M₂N₂、M₃N₃的长度，观察结果特征归纳出通用的通项规律；3. 最后把n=2025代入得到的规律，直接得到最终结果，大幅简化运算过程。
【解析】
解：
① 计算n=1时的线段长度：
已知M₁、N₁分别是AC、CB的中点，根据线段中点定义可得：
$CM_1=\frac{1}{2}AC$，$CN_1=\frac{1}{2}CB$
因此$M_1N_1=CM_1+CN_1=\frac{1}{2}(AC+CB)$
因为点C在线段AB上，$AC+CB=AB=a$，代入得：
$M_1N_1=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2^1}a$
② 计算n=2时的线段长度：
已知M₂、N₂分别是M₁C、N₁C的中点，同理可得：
$CM_2=\frac{1}{2}CM_1$，$CN_2=\frac{1}{2}CN_1$
因此$M_2N_2=CM_2+CN_2=\frac{1}{2}(CM_1+CN_1)=\frac{1}{2}M_1N_1$
代入$M_1N_1=\frac{1}{2}a$，得$M_2N_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a=\frac{1}{2^2}a$
③ 推导通用规律：
按照同样的逻辑递推，可得$M_3N_3=\frac{1}{2}M_2N_2=\frac{1}{2^3}a$，以此类推，对任意正整数n，都满足$M_nN_n=\frac{1}{2^n}a$
将n=2025代入规律，最终得到$M_{2025}N_{2025}=\frac{1}{2^{2025}}a$
【答案】
$\dfrac{1}{2^{2\ 025}}a$
【知识点】
线段中点定义，线段和差运算，规律归纳
【点评】
本题侧重考察从特殊到一般的归纳推理能力，没有给出零散线段的具体长度，引导学生自主发现递推关系，规避了大量重复运算，解题时要注意匹配好下标和指数的对应关系，避免出现指数写错的低级失误。
【难度系数】
0.6
这是一道规律探究类的线段计算问题，不需要直接重复计算到第2025项，解题思路如下：1. 先从n=1的基础情况入手，利用线段中点的性质结合线段和差关系，算出M₁N₁的长度；2. 同理依次计算n=2、n=3时M₂N₂、M₃N₃的长度，观察结果特征归纳出通用的通项规律；3. 最后把n=2025代入得到的规律，直接得到最终结果，大幅简化运算过程。
【解析】
解：
① 计算n=1时的线段长度：
已知M₁、N₁分别是AC、CB的中点，根据线段中点定义可得：
$CM_1=\frac{1}{2}AC$，$CN_1=\frac{1}{2}CB$
因此$M_1N_1=CM_1+CN_1=\frac{1}{2}(AC+CB)$
因为点C在线段AB上，$AC+CB=AB=a$，代入得：
$M_1N_1=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2^1}a$
② 计算n=2时的线段长度：
已知M₂、N₂分别是M₁C、N₁C的中点，同理可得：
$CM_2=\frac{1}{2}CM_1$，$CN_2=\frac{1}{2}CN_1$
因此$M_2N_2=CM_2+CN_2=\frac{1}{2}(CM_1+CN_1)=\frac{1}{2}M_1N_1$
代入$M_1N_1=\frac{1}{2}a$，得$M_2N_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a=\frac{1}{2^2}a$
③ 推导通用规律：
按照同样的逻辑递推，可得$M_3N_3=\frac{1}{2}M_2N_2=\frac{1}{2^3}a$，以此类推，对任意正整数n，都满足$M_nN_n=\frac{1}{2^n}a$
将n=2025代入规律，最终得到$M_{2025}N_{2025}=\frac{1}{2^{2025}}a$
【答案】
$\dfrac{1}{2^{2\ 025}}a$
【知识点】
线段中点定义，线段和差运算，规律归纳
【点评】
本题侧重考察从特殊到一般的归纳推理能力，没有给出零散线段的具体长度，引导学生自主发现递推关系，规避了大量重复运算，解题时要注意匹配好下标和指数的对应关系，避免出现指数写错的低级失误。
【难度系数】
0.6
5. 已知线段 $AB=10$,$M$ 为 $AB$ 的中点,线段$AB$ 所在直线上有一点 $P$,$N$ 为 $AP$ 的中点. 若 $MN=1.5$,则 $AP=$
7或13
.答案
5. 7 或 13
解析
【分析】
首先从已知条件入手，第一步根据M是AB中点、AB=10，可直接算出AM的长度为5。题目说明点P在AB所在的直线上，没有限定在线段AB上，因此P的位置存在多种可能，需要分类讨论：我们设AP的长度为x，由N是AP中点可得AN=x/2，再根据不同位置下MN的线段和差关系列方程，最后排除不符合线段长度为正的无效情况，就能得到AP的所有可能值。
【解析】
解：
1. 计算AM的长度：
已知AB=10，M为AB的中点，根据线段中点定义可得：
$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
2. 设AP=x，N为AP中点，因此$AN=\frac{1}{2}AP=\frac{x}{2}$
3. 分情况讨论点P的位置：
情况一：点P在线段AB上
此时点N落在A、M之间，线段MN满足$MN=AM-AN$，代入已知MN=1.5：
$5-\frac{x}{2}=1.5$
解得：$\frac{x}{2}=3.5$，即$x=7$
情况二：点P在AB的延长线上（点B远离A的一侧）
此时点N落在M的右侧，线段MN满足$MN=AN-AM$，代入数值：
$\frac{x}{2}-5=1.5$
解得：$\frac{x}{2}=6.5$，即$x=13$
情况三：点P在BA的延长线上（点A远离B的一侧）
此时线段MN满足$MN=AM+AN$，代入得$5+\frac{x}{2}=1.5$，解得x=-7，线段长度不能为负，该情况舍去。
综上，AP的长度为7或13。
【答案】
7 或 13
【知识点】
线段中点定义；线段和差；分类讨论思想
【点评】
本题的核心易错点是容易忽略“点P在AB所在直线上”的位置不确定性，仅考虑P在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意直线是向两端无限延伸的，分类讨论后还要验证结果的合理性，排除不符合实际的无效解。
【难度系数】
0.5
首先从已知条件入手，第一步根据M是AB中点、AB=10，可直接算出AM的长度为5。题目说明点P在AB所在的直线上，没有限定在线段AB上，因此P的位置存在多种可能，需要分类讨论：我们设AP的长度为x，由N是AP中点可得AN=x/2，再根据不同位置下MN的线段和差关系列方程，最后排除不符合线段长度为正的无效情况，就能得到AP的所有可能值。
【解析】
解：
1. 计算AM的长度：
已知AB=10，M为AB的中点，根据线段中点定义可得：
$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
2. 设AP=x，N为AP中点，因此$AN=\frac{1}{2}AP=\frac{x}{2}$
3. 分情况讨论点P的位置：
情况一：点P在线段AB上
此时点N落在A、M之间，线段MN满足$MN=AM-AN$，代入已知MN=1.5：
$5-\frac{x}{2}=1.5$
解得：$\frac{x}{2}=3.5$，即$x=7$
情况二：点P在AB的延长线上（点B远离A的一侧）
此时点N落在M的右侧，线段MN满足$MN=AN-AM$，代入数值：
$\frac{x}{2}-5=1.5$
解得：$\frac{x}{2}=6.5$，即$x=13$
情况三：点P在BA的延长线上（点A远离B的一侧）
此时线段MN满足$MN=AM+AN$，代入得$5+\frac{x}{2}=1.5$，解得x=-7，线段长度不能为负，该情况舍去。
综上，AP的长度为7或13。
【答案】
7 或 13
【知识点】
线段中点定义；线段和差；分类讨论思想
【点评】
本题的核心易错点是容易忽略“点P在AB所在直线上”的位置不确定性，仅考虑P在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意直线是向两端无限延伸的，分类讨论后还要验证结果的合理性，排除不符合实际的无效解。
【难度系数】
0.5
6. 已知线段 $AB=4$, 在线段 $AB$ 的延长线上取一点 $C$, 使 $AC=\dfrac{5}{3}BC$, 在线段 $AB$ 的反向延长线上取一点 $D$, 使 $BD=\dfrac{4}{7}DC$. 若$E$ 为 $DC$ 的中点, 则 $BE$ 的长是
1
.答案
6. 1 提示:因为 $AC=\dfrac{5}{3}BC$, 所以 $AB+BC=\dfrac{5}{3}BC$, 即 $4+BC=\dfrac{5}{3}BC$, 解得 $BC=6$. 因为 $BD=\dfrac{4}{7}DC$, 所以 $DC-BC=\dfrac{4}{7}DC$, 解得 $DC=14$. 又因为 $E$ 是 $DC$ 的中点, 所以 $EC=7$, 所以 $BE=EC-BC=7-6=1$.
解析
【分析】
这道题是线段长度的常规计算，解题思路可以分三步推进：首先先明确各点的位置关系，C在AB延长线上，因此AC可以拆分为AB+BC，代入已知的AC和BC的数量关系，列方程就能直接求出BC的长度；接着利用D在AB反向延长线的位置特征，把BD用DC和BC的差表示，代入BD和DC的数量关系，就能解出DC的总长度；最后结合E是DC中点的条件，得到EC的长度，用EC减去BC就能算出BE的长，全程通过线段和差代换列简单一元一次方程即可求解，不需要复杂计算。
【解析】
解：
1. 求线段BC的长度
因为点C在线段AB的延长线上，根据线段和差关系可得：$AC = AB + BC$
已知$AC=\dfrac{5}{3}BC$，且$AB=4$，代入得：
$4 + BC = \dfrac{5}{3}BC$
移项整理得：$\dfrac{2}{3}BC=4$，解得$BC=6$。
2. 求线段DC的长度
因为点D在线段AB的反向延长线上，根据线段和差关系可得：$DC = BD + BC$，即$BD = DC - BC$
已知$BD=\dfrac{4}{7}DC$，将$BC=6$代入得：
$DC - 6 = \dfrac{4}{7}DC$
移项整理得：$\dfrac{3}{7}DC=6$，解得$DC=14$。
3. 求线段BE的长度
因为E为DC的中点，根据线段中点的定义可得：
$EC = \dfrac{1}{2}DC = \dfrac{1}{2}×14 =7$
结合点的位置顺序可知B在E和C之间，因此$BE = EC - BC$，代入数值：
$BE=7-6=1$
【答案】
1
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义
【点评】
本题属于七年级几何入门的线段计算题型，核心考点是利用线段的位置关系代换线段的和差，通过简单的一元一次方程逐步求解各未知线段长度，解题时要注意区分延长线和反向延长线对应的点的顺序，避免线段关系代换错误，整体计算量小，只要理清各段的数量关系就可以顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
这道题是线段长度的常规计算，解题思路可以分三步推进：首先先明确各点的位置关系，C在AB延长线上，因此AC可以拆分为AB+BC，代入已知的AC和BC的数量关系，列方程就能直接求出BC的长度；接着利用D在AB反向延长线的位置特征，把BD用DC和BC的差表示，代入BD和DC的数量关系，就能解出DC的总长度；最后结合E是DC中点的条件，得到EC的长度，用EC减去BC就能算出BE的长，全程通过线段和差代换列简单一元一次方程即可求解，不需要复杂计算。
【解析】
解：
1. 求线段BC的长度
因为点C在线段AB的延长线上，根据线段和差关系可得：$AC = AB + BC$
已知$AC=\dfrac{5}{3}BC$，且$AB=4$，代入得：
$4 + BC = \dfrac{5}{3}BC$
移项整理得：$\dfrac{2}{3}BC=4$，解得$BC=6$。
2. 求线段DC的长度
因为点D在线段AB的反向延长线上，根据线段和差关系可得：$DC = BD + BC$，即$BD = DC - BC$
已知$BD=\dfrac{4}{7}DC$，将$BC=6$代入得：
$DC - 6 = \dfrac{4}{7}DC$
移项整理得：$\dfrac{3}{7}DC=6$，解得$DC=14$。
3. 求线段BE的长度
因为E为DC的中点，根据线段中点的定义可得：
$EC = \dfrac{1}{2}DC = \dfrac{1}{2}×14 =7$
结合点的位置顺序可知B在E和C之间，因此$BE = EC - BC$，代入数值：
$BE=7-6=1$
【答案】
1
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义
【点评】
本题属于七年级几何入门的线段计算题型，核心考点是利用线段的位置关系代换线段的和差，通过简单的一元一次方程逐步求解各未知线段长度，解题时要注意区分延长线和反向延长线对应的点的顺序，避免线段关系代换错误，整体计算量小，只要理清各段的数量关系就可以顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
7. (无锡市锡山区期末)如图,C 为线段 AB的中点,D,E 分别为线段 AC,BC 上的一点,且 $AD+BE=m,AE+BD=\dfrac{7}{3}m$. 若分别用含 $m$ 的代数式来表示 $DE$ 与 $CB$ 的长,则 $DE=$
$\dfrac{2}{3}m$
,$CB=$$\dfrac{5}{6}m$
.答案
7. $\dfrac{2}{3}m$ $\dfrac{5}{6}m$ 提示:因为 $AE+BD=\dfrac{7}{3}m$,所以 $AD+BE+2DE=\dfrac{7}{3}m$. 又因为 $AD+BE=m$, 所以 $2DE=\dfrac{7}{3}m-m=\dfrac{4}{3}m$, 所以 $DE=\dfrac{2}{3}m$. 所以 $AB=AD+BE+DE=m+\dfrac{2}{3}m=\dfrac{5}{3}m$. 因为 $C$ 为线段 $AB$ 的中点, 所以 $CB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{6}m$.
解析
【分析】
我们可以先通过线段的和差关系，把已知的AE+BD拆分成包含AD、BE和DE的形式，利用整体代入的思路，把已知的AD+BE=m代入，就能直接求出DE的长度；接下来计算整条线段AB的总长度，再结合C是AB中点的性质，就能求出CB的长度，全程不需要额外设未知数，通过整体代换就能快速推导。
【解析】
1. 推导DE的长度：
将线段AE、BD拆分可得：
$AE = AD + DE$，$BD = DE + BE$
两式相加得：
$AE + BD = AD + DE + DE + BE = (AD + BE) + 2DE$
已知$AD+BE=m$，$AE+BD=\frac{7}{3}m$，代入上式：
$\frac{7}{3}m = m + 2DE$
移项计算：
$2DE = \frac{7}{3}m - m = \frac{4}{3}m$
解得：$DE=\frac{2}{3}m$
2. 推导CB的长度：
整条线段AB的长度为：
$AB = AD + DE + BE = (AD + BE) + DE = m + \frac{2}{3}m = \frac{5}{3}m$
因为C是线段AB的中点，根据中点定义：
$CB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × \frac{5}{3}m = \frac{5}{6}m$
【答案】
$\dfrac{2}{3}m$；$\dfrac{5}{6}m$
【知识点】
线段和差运算；线段中点定义
【点评】
本题属于线段计算的典型题型，核心考察整体代换的解题思路，不需要单独设各小段的长度，通过对已知线段的拆分重组，直接关联已知条件和待求量，能有效锻炼学生对线段关系的灵活分析能力。
【难度系数】
0.6
我们可以先通过线段的和差关系，把已知的AE+BD拆分成包含AD、BE和DE的形式，利用整体代入的思路，把已知的AD+BE=m代入，就能直接求出DE的长度；接下来计算整条线段AB的总长度，再结合C是AB中点的性质，就能求出CB的长度，全程不需要额外设未知数，通过整体代换就能快速推导。
【解析】
1. 推导DE的长度：
将线段AE、BD拆分可得：
$AE = AD + DE$，$BD = DE + BE$
两式相加得：
$AE + BD = AD + DE + DE + BE = (AD + BE) + 2DE$
已知$AD+BE=m$，$AE+BD=\frac{7}{3}m$，代入上式：
$\frac{7}{3}m = m + 2DE$
移项计算：
$2DE = \frac{7}{3}m - m = \frac{4}{3}m$
解得：$DE=\frac{2}{3}m$
2. 推导CB的长度：
整条线段AB的长度为：
$AB = AD + DE + BE = (AD + BE) + DE = m + \frac{2}{3}m = \frac{5}{3}m$
因为C是线段AB的中点，根据中点定义：
$CB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × \frac{5}{3}m = \frac{5}{6}m$
【答案】
$\dfrac{2}{3}m$；$\dfrac{5}{6}m$
【知识点】
线段和差运算；线段中点定义
【点评】
本题属于线段计算的典型题型，核心考察整体代换的解题思路，不需要单独设各小段的长度，通过对已知线段的拆分重组，直接关联已知条件和待求量，能有效锻炼学生对线段关系的灵活分析能力。
【难度系数】
0.6
8. 若线段上的一个点把这条线段分成$1:2$两部分，则称这个点是这条线段的三等分点. 如图，$AB = 12$，$C$，$D$两点分别从点$A$，$B$同时出发，以相同的速度沿射线$AB$运动. 在点$C$，$D$出发的同时，点$E$也从点$B$出发，以某一速度沿相同方向运动，在运动过程中，当$C$为$AE$的三等分点时，$E$恰好为$BD$的中点，此时$BE$的长为
$\dfrac{12}{5}$或6
.答案
8. $\dfrac{12}{5}$或6 提示:因为 $C,D$ 两点分别从点 $A,B$ 同时出发,以相同的速度沿射线 $AB$ 运动, 所以 $AC=BD$. ①当点 $C$ 靠近点 $A$ 且为 $AE$ 的三等分点时,如图1 所示,则 $AC=\dfrac{1}{3}AE=BD$, 因为 $E$ 为 $BD$ 的中点, 所以 $BE=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}AE=\dfrac{1}{6}AE$, 因为 $AB=12=AE-BE=AE-\dfrac{1}{6}AE=\dfrac{5}{6}AE$, 所以 $AE=\dfrac{72}{5}$, 所以 $BE=\dfrac{1}{6}AE=\dfrac{1}{6}×\dfrac{72}{5}=\dfrac{12}{5}$;②当点 $C$ 靠近点 $E$ 且为 $AE$ 的三等分点时,如图2 所示,则 $AC=\dfrac{2}{3}AE=BD$, 因为 $E$ 为 $BD$ 的中点, 所以 $BE=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}AE=\dfrac{1}{3}AE$, 因为 $AB=12=AE-BE=AE-\dfrac{1}{3}AE=\dfrac{2}{3}AE$, 所以 $AE=18$, 所以 $BE=\dfrac{1}{3}×18=6$. 综上所述, $BE$ 的长为$\dfrac{12}{5}$或6.
解析
【分析】
首先我们先从题目给出的条件找突破口：第一步，C、D两点同时出发、运动速度相同，相同时间内运动的路程相等，因此可以直接得到AC=BD这个核心等量关系。接下来，题目说明C是AE的三等分点，三等分点有两种不同的位置：一种是AC占AE的1/3，另一种是AC占AE的2/3，我们需要分这两类情况讨论，避免漏解。再结合E是BD中点的条件，就能把BE和BD、AC关联起来，最后利用沿射线AB同向运动时AE=AB+BE也就是AB=AE-BE=12的线段和差关系，代入对应情况的表达式就能计算出BE的长度。
【解析】
解：已知C、D从A、B同时出发，运动速度相同，运动时间一致，因此运动路程相等，即$AC=BD$，设$AC=BD=x$。
分两种情况讨论：
① 当点C是AE上靠近A的三等分点时：
此时$AC=\frac{1}{3}AE$，即$AE=3AC=3x$。
又因为E是BD的中点，因此$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}x$。
由于所有点沿射线AB同向运动，可得线段和差关系：$AE = AB + BE$，代入已知$AB=12$：
$3x = 12 + \frac{1}{2}x$
整理得$\frac{5}{2}x=12$，解得$x=\frac{24}{5}$，因此$BE=\frac{1}{2}x=\frac{12}{5}$。
② 当点C是AE上靠近E的三等分点时：
此时$AC=\frac{2}{3}AE$，即$AE=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}x$。
同样E是BD中点，$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}x$，代入线段和差关系$AE=AB+BE$：
$\frac{3}{2}x = 12 + \frac{1}{2}x$
解得$x=12$，因此$BE=\frac{1}{2}x=6$。
综上，BE的长为$\frac{12}{5}$或6。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$或6
【知识点】
线段三等分点，线段中点，动点线段计算
【点评】
本题属于线段动点类的分类讨论题型，最容易出现的错误是忽略三等分点的两种位置情况，只算出一个结果导致漏解。解题的核心是先通过“同速同时间运动路程相等”快速得到AC=BD的等量关系，再结合中点、三等分点的定义建立线段之间的数量关系，利用线段和差列等式求解，要注意同向运动时点的位置对应的线段和差逻辑不要出错。
【难度系数】
0.4
首先我们先从题目给出的条件找突破口：第一步，C、D两点同时出发、运动速度相同，相同时间内运动的路程相等，因此可以直接得到AC=BD这个核心等量关系。接下来，题目说明C是AE的三等分点，三等分点有两种不同的位置：一种是AC占AE的1/3，另一种是AC占AE的2/3，我们需要分这两类情况讨论，避免漏解。再结合E是BD中点的条件，就能把BE和BD、AC关联起来，最后利用沿射线AB同向运动时AE=AB+BE也就是AB=AE-BE=12的线段和差关系，代入对应情况的表达式就能计算出BE的长度。
【解析】
解：已知C、D从A、B同时出发，运动速度相同，运动时间一致，因此运动路程相等，即$AC=BD$，设$AC=BD=x$。
分两种情况讨论：
① 当点C是AE上靠近A的三等分点时：
此时$AC=\frac{1}{3}AE$，即$AE=3AC=3x$。
又因为E是BD的中点，因此$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}x$。
由于所有点沿射线AB同向运动，可得线段和差关系：$AE = AB + BE$，代入已知$AB=12$：
$3x = 12 + \frac{1}{2}x$
整理得$\frac{5}{2}x=12$，解得$x=\frac{24}{5}$，因此$BE=\frac{1}{2}x=\frac{12}{5}$。
② 当点C是AE上靠近E的三等分点时：
此时$AC=\frac{2}{3}AE$，即$AE=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}x$。
同样E是BD中点，$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}x$，代入线段和差关系$AE=AB+BE$：
$\frac{3}{2}x = 12 + \frac{1}{2}x$
解得$x=12$，因此$BE=\frac{1}{2}x=6$。
综上，BE的长为$\frac{12}{5}$或6。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$或6
【知识点】
线段三等分点，线段中点，动点线段计算
【点评】
本题属于线段动点类的分类讨论题型，最容易出现的错误是忽略三等分点的两种位置情况，只算出一个结果导致漏解。解题的核心是先通过“同速同时间运动路程相等”快速得到AC=BD的等量关系，再结合中点、三等分点的定义建立线段之间的数量关系，利用线段和差列等式求解，要注意同向运动时点的位置对应的线段和差逻辑不要出错。
【难度系数】
0.4
9. 已知 $AB=10\ \mathrm{cm}$, 点 $C$ 在直线 $AB$ 上,
$BC=4\ \mathrm{cm}$,$D$ 是线段 $AC$ 的中点,求线段
$BD$ 的长.
下面是马小虎同学的解题过程:
解:根据题意可画出图形,如图所示.
$AC=AB+BC=10+4=14(\mathrm{cm})$. 因为 $D$
是线段 $AC$ 的中点, 所以 $DC=\dfrac{1}{2}AC=$
$7\ \mathrm{cm}$. 所以 $BD=DC-BC=3\ \mathrm{cm}$.
若你是老师,会判马小虎满分吗?若会,
请说明理由;若不会,请将马小虎的错误
指出,并给出你认为正确的解法.
$BC=4\ \mathrm{cm}$,$D$ 是线段 $AC$ 的中点,求线段
$BD$ 的长.
下面是马小虎同学的解题过程:
解:根据题意可画出图形,如图所示.
$AC=AB+BC=10+4=14(\mathrm{cm})$. 因为 $D$
是线段 $AC$ 的中点, 所以 $DC=\dfrac{1}{2}AC=$
$7\ \mathrm{cm}$. 所以 $BD=DC-BC=3\ \mathrm{cm}$.
若你是老师,会判马小虎满分吗?若会,
请说明理由;若不会,请将马小虎的错误
指出,并给出你认为正确的解法.
答案
9. 解:不会判马小虎同学满分,因为需要分两种情况讨论.
①第一种情况同马小虎同学的解题过程一样,可求得 $BD=3\ \mathrm{cm}$.
②第二种情况,根据题意画出图形(如图).
$AC=AB-BC=10-4=6(\mathrm{cm})$. 因为 $D$ 是线段 $AC$ 的中点, 所以 $DC=\dfrac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$, 所以 $BD=DC+BC=3+4=7(\mathrm{cm})$.
综上所述,线段 $BD$ 的长为 3 cm 或 7 cm.
解析
【分析】
首先审题发现题目给出点C在直线AB上，而非限定在线段AB上，说明点C的位置存在两种可能性：一种是点C在AB的延长线上，另一种是点C在线段AB之间。马小虎仅考虑了第一种位置，漏掉了第二种情况，因此解题时需要分两类分别计算：先根据点的位置关系用线段和差求出AC的长度，再利用D是AC中点的性质得到AC一半的长度，最后再次通过线段和差关系计算出BD的长度，汇总两种情况的结果即可得到完整答案。
【解析】
不会判马小虎满分，马小虎的错误是：题目中点C在直线AB上，点C的位置有两种可能，他仅考虑了点C在线段AB延长线上的情况，漏掉了点C在线段AB上的情况，没有进行分类讨论，导致结果不完整。
正确解法如下：
① 当点C在线段AB的延长线上时，如题图所示：
$AC = AB + BC = 10 + 4 = 14(\mathrm{cm})$
因为D是线段AC的中点，所以$DC = \frac{1}{2}AC = 7\ \mathrm{cm}$
因此$BD = DC - BC = 7 - 4 = 3(\mathrm{cm})$
② 当点C在线段AB上时，对应图形为：
$AC = AB - BC = 10 - 4 = 6(\mathrm{cm})$
因为D是线段AC的中点，所以$DC = \frac{1}{2}AC = 3\ \mathrm{cm}$
因此$BD = DC + BC = 3 + 4 = 7(\mathrm{cm})$
综上，线段BD的长为3 cm或7 cm。
【答案】
不会判马小虎同学满分,因为需要分两种情况讨论。①第一种情况同马小虎同学的解题过程一样,可求得 $BD=3\ \mathrm{cm}$。②第二种情况,根据题意画出图形(如图)。 $AC=AB-BC=10-4=6(\mathrm{cm})$。因为 $D$ 是线段 $AC$ 的中点,所以 $DC=\dfrac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$, 所以 $BD=DC+BC=3+4=7(\mathrm{cm})$。综上所述,线段 $BD$ 的长为 3 cm 或 7 cm。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型易错题，核心陷阱是混淆“点在直线上”和“点在线段上”的限定条件，不少同学会默认点在延长线上忽略点在线段之间的情况，通过这道题要养成遇到直线上点的位置问题主动分类的习惯，熟练运用线段的和差关系完成计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先审题发现题目给出点C在直线AB上，而非限定在线段AB上，说明点C的位置存在两种可能性：一种是点C在AB的延长线上，另一种是点C在线段AB之间。马小虎仅考虑了第一种位置，漏掉了第二种情况，因此解题时需要分两类分别计算：先根据点的位置关系用线段和差求出AC的长度，再利用D是AC中点的性质得到AC一半的长度，最后再次通过线段和差关系计算出BD的长度，汇总两种情况的结果即可得到完整答案。
【解析】
不会判马小虎满分，马小虎的错误是：题目中点C在直线AB上，点C的位置有两种可能，他仅考虑了点C在线段AB延长线上的情况，漏掉了点C在线段AB上的情况，没有进行分类讨论，导致结果不完整。
正确解法如下：
① 当点C在线段AB的延长线上时，如题图所示：
$AC = AB + BC = 10 + 4 = 14(\mathrm{cm})$
因为D是线段AC的中点，所以$DC = \frac{1}{2}AC = 7\ \mathrm{cm}$
因此$BD = DC - BC = 7 - 4 = 3(\mathrm{cm})$
② 当点C在线段AB上时，对应图形为：
$AC = AB - BC = 10 - 4 = 6(\mathrm{cm})$
因为D是线段AC的中点，所以$DC = \frac{1}{2}AC = 3\ \mathrm{cm}$
因此$BD = DC + BC = 3 + 4 = 7(\mathrm{cm})$
综上，线段BD的长为3 cm或7 cm。
【答案】
不会判马小虎同学满分,因为需要分两种情况讨论。①第一种情况同马小虎同学的解题过程一样,可求得 $BD=3\ \mathrm{cm}$。②第二种情况,根据题意画出图形(如图)。
$AC=AB-BC=10-4=6(\mathrm{cm})$。因为 $D$ 是线段 $AC$ 的中点,所以 $DC=\dfrac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$, 所以 $BD=DC+BC=3+4=7(\mathrm{cm})$。综上所述,线段 $BD$ 的长为 3 cm 或 7 cm。【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型易错题，核心陷阱是混淆“点在直线上”和“点在线段上”的限定条件，不少同学会默认点在延长线上忽略点在线段之间的情况，通过这道题要养成遇到直线上点的位置问题主动分类的习惯，熟练运用线段的和差关系完成计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
