8. 观察下列由棱长为1的小立方体摆成的正方体，将其六面涂色.

(1) 图7中六面均无色的小立方体有个.
(2) 图$n(n ≥ 3)$中六面均无色的小立方体有个.
(3) 图$n(n ≥ 3)$中只有一面涂色的小立方体有个.

8. (1) 125 (2) $(n-2)^3$ (3) $6(n-2)^2$

【分析】
我们先从给出的图形入手，首先明确图k对应的大正方体棱长为k，总共有k³个棱长为1的小立方体。要找六面无色的小立方体，这类小立方体完全不接触大正方体的外表面，相当于把大正方体外层的所有小立方体全部剥离，前后、左右、上下各去掉1层后，剩余内部的正方体棱长就为大正方体棱长减2，由此就能推导数量规律。对于仅一面涂色的小立方体，它们分布在大正方体每个面的中心区域，不与棱接触，每个面的该类小立方体组成边长为(n-2)的正方形，结合正方体共6个面即可推导对应数量规律。
【解析】
1. 先明确图形对应大正方体棱长：图1大正方体棱长为1，图2棱长为2，图3棱长为3，以此类推，图n对应的大正方体棱长为n。
2. 推导六面均无色的小立方体数量：
这类小立方体完全处于大正方体内部，没有任何面外露，将大正方体外层各方向去掉1层后，剩余内部正方体的棱长为n-2，因此总数量为$(n-2)^3$。
(1) 当n=7时，代入计算得$(7-2)^3=5^3=125$；
(2) 当$n\ge3$时，六面无色的小立方体数量为$(n-2)^3$；
3. 推导仅一面涂色的小立方体数量：
仅一面涂色的小立方体分布在大正方体的6个外表面上，且不与大正方体的棱接触，每个面上该类小立方体排列成边长为$(n-2)$的正方形，单个面的数量为$(n-2)^2$，6个面的总数量为$6(n-2)^2$。
【答案】
(1) 125 (2) $(n-2)^3$ (3) $6(n-2)^2$
【知识点】
正方体结构特征，图形规律探究
【点评】
本题是立体图形类的规律探究题，核心是理解不同涂色情况的小立方体在大正方体中的分布位置，不需要逐个计数，通过剥离外层的思路就能快速推导内部无涂色和单面色的数量规律，题目给出$n\ge3$的前提，也避免了n＜2时$(n-2)$为负数的无意义情况。
【难度系数】
0.6

9. 如图,将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周,得到的几何体是圆柱.现有一个长为4 cm,宽为3 cm的长方形,分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周,得到两个不同的圆柱体,它们的体积分别是多大？

9. 解:绕它的长所在的直线旋转一周得到的圆柱的体积 $V_1=π × 3^2 × 4=36π(\mathrm{cm}^3)$;
绕它的宽所在的直线旋转一周得到的圆柱的体积 $V_2=π × 4^2 × 3=48π(\mathrm{cm}^3).$

【分析】
这道题考查面动成体的原理和圆柱体积计算，解题时首先要明确：长方形绕某一条边旋转时，作为旋转轴的这条边就是生成圆柱的高，与这条边垂直的邻边旋转后会形成圆柱底面的半径。我们分两种情况讨论：第一种绕长所在直线旋转，先确定此时圆柱的高是长方形的长4cm，底面半径是长方形的宽3cm；第二种绕宽所在直线旋转，此时圆柱的高是长方形的宽3cm，底面半径是长方形的长4cm，最后代入圆柱体积公式V=πr²h分别计算两个圆柱的体积即可。
【解析】
我们分两种情况分别计算对应圆柱的体积：
1. 绕长所在的直线旋转一周：
此时旋转轴为长方形的长，因此圆柱的高h₁=4cm，长方形的宽作为底面圆的半径r₁=3cm，代入圆柱体积公式可得：
V₁ = πr₁²h₁ = π×3²×4 = 36π (cm³)
2. 绕宽所在的直线旋转一周：
此时旋转轴为长方形的宽，因此圆柱的高h₂=3cm，长方形的长作为底面圆的半径r₂=4cm，代入圆柱体积公式可得：
V₂ = πr₂²h₂ = π×4²×3 = 48π (cm³)
【答案】
绕长所在直线旋转得到的圆柱体积为36π cm³，绕宽所在直线旋转得到的圆柱体积为48π cm³
【知识点】
面动成体，圆柱体积计算
【点评】
本题属于立体几何入门的基础题型，核心易错点是容易混淆旋转后圆柱的底面半径和高的对应数值，解题时先明确旋转轴对应的是圆柱的高，剩余邻边为底面半径，就可以避免计算错误，同时也能加深对“面动成体”几何原理的理解。
【难度系数】
0.8

10. 某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动.
【知识准备】
（1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是.


【制作纸盒】
（2）综合实践小组利用边长为 30 cm 的正方形纸板制作出两种长方体纸盒（图1 为无盖的长方体纸盒，图 2 为有盖的长方体纸盒）.

①根据图 1 制作一个无盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小的边长为 5 cm 的小正方形，再沿虚线折合起来. 则长方体纸盒的底面积为$\mathrm{cm^2}$；
②根据图 2 制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小的边长为 5 cm 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为$\mathrm{cm^3}$；
③制作成的无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的倍.
（3）若有盖长方体的长、宽、高分别为 6，4，3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？

10. 解:(1) ③
(2) ①400 提示:长方体纸盒的底面面积为$(30-2 × 5)^2=400(\mathrm{cm}^2).$
②1 000 提示:长方体纸盒的底面积为$\dfrac{(30-2 × 5)^2}{2}=200(\mathrm{cm}^2)$,所以该长方体纸盒的体积为$5 × 200=1\ 000(\mathrm{cm}^3).$
③2 提示:无盖纸盒的体积为$5 × 400=2\ 000(\mathrm{cm}^3)$,有盖纸盒的体积为$1\ 000\ \mathrm{cm}^3$,因为$2\ 000 ÷ 1\ 000=2$,所以制作成的无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的2倍.
(3) 如图,该长方体表面展开图的最大外围周长为$6 × 8+4 × 4+3 × 2=70.$

【分析】
我们可以分步骤梳理这道题的解题思路：
1. 第(1)问：回忆长方体表面展开图的基本特征，存在“田”字形结构的图形无法折叠成长方体，据此逐一判断四幅图即可选出不符合要求的选项。
2. 第(2)问①：无盖纸盒四角剪去边长5cm的小正方形后，折合得到的纸盒高就是5cm，底面是正方形，边长等于原正方形纸板边长减去2倍小正方形边长，直接代入正方形面积公式就能算出底面积。
3. 第(2)问②：有盖纸盒折合后高同样为5cm，底面的长是原边长减去2个小正方形边长得到20cm，底面的宽是20cm的一半即10cm，代入长方体体积公式长×宽×高即可计算结果。
4. 第(2)问③：先算出无盖纸盒的体积，再除以有盖纸盒的体积就能得到两者的倍数关系。
5. 第(3)问：要让展开图的外围周长最大，就要尽可能让长度更长的棱暴露在展开图的外轮廓上，统计不同长度的棱最多能有几条在外围，求和就能得到最大外围周长。
【解析】
(1) 根据长方体表面展开图的折叠规则，带有“田”字结构的图形无法围成长方体，因此不是长方体表面展开图的是③。
(2) ① 剪去四角小正方形后，底面正方形边长为$30-2×5=20\ \mathrm{cm}$，底面积为$20^2=400\ \mathrm{cm^2}$。
② 折合后长方体高为5cm，底面长为$30-2×5=20\ \mathrm{cm}$，底面宽为$\frac{30-2×5}{2}=10\ \mathrm{cm}$，体积为$20×10×5=1000\ \mathrm{cm^3}$。
③ 无盖纸盒体积为$400×5=2000\ \mathrm{cm^3}$，倍数为$2000÷1000=2$。
(3) 要得到最大外围周长，优先让长棱处于外边缘：长为6的棱最多8条在外围，长为4的棱最多4条在外围，长为3的棱最多2条在外围，因此最大外围周长为$6×8+4×4+3×2=70$。
【答案】
(1) ③
(2) ①400；②1000；③2
(3) 70
【知识点】
长方体展开图识别，长方体体积计算，几何体展开图周长
【点评】
本题结合手工制作的实践场景出题，由浅入深考察长方体相关的基础知识点，前两问侧重基础计算，难度较低，第三问需要学生具备一定的空间想象能力，思考如何排布棱让外围周长最大化，有不错的区分度，能锻炼学生的空间思维能力。
【难度系数】
0.6