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10. 如图,线段$AB=28\ \mathrm{cm}$,点$D$和点$C$在线段$AB$上,且$AC:BC=5:2$,$DC:AB=1:4$. 点$P$从点$A$出发以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AD$向点$C$运动,点$P$到达点$C$所在位置后立即按照原路原速返回,到达点$D$所在位置后停止运动,点$Q$从点$B$出发以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿着射线$BC$的方向运动,点$Q$到达点$D$所在的位置后停止运动. 点$P$和点$Q$同时出发,点$Q$运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1) 求线段$AD$的长.
(2) 当$C$恰好为$PQ$的中点时,求$t$的值.
(3) 当$PQ=7\ \mathrm{cm}$时,求$t$的值.
(1) 求线段$AD$的长.
(2) 当$C$恰好为$PQ$的中点时,求$t$的值.
(3) 当$PQ=7\ \mathrm{cm}$时,求$t$的值.
答案
10. 解:(1) 因为 $AB=28\ \mathrm{cm}$,$AC:BC=5:2$,所以 $AC=28×\dfrac{5}{7}=20(\mathrm{cm})$,$BC=28-20=8(\mathrm{cm})$. 因为 $DC:AB=1:4$,所以 $DC=28×\dfrac{1}{4}=7(\mathrm{cm})$. 所以 $AD=AC-DC=20-7=13(\mathrm{cm})$.
(2) 点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $C$ 用时 $20÷4=5(\mathrm{s})$,点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $C$,再返回到点 $D$ 用时 $27÷4=\dfrac{27}{4}(\mathrm{s})$,点 $Q$ 从点 $B$ 运动到点 $D$ 用时 $15÷1=15(\mathrm{s})$. 所以分三种情况讨论.
①当 $0≤ t≤5$ 时,$PC=20-4t$,$CQ=8-t$,所以 $20-4t=8-t$,解得 $t=4$;
②当 $5＜t≤\dfrac{27}{4}$ 时,$PC=4t-20$,$CQ=8-t$,所以 $4t-20=8-t$,解得 $t=\dfrac{28}{5}$;
③当 $\dfrac{27}{4}＜t≤15$ 时,$PC=DC=7$,要想 $C$ 为 $PQ$ 中点,则点 $Q$ 在点 $C$ 右侧,所以 $CQ=8-t＜8-\dfrac{27}{4}=\dfrac{5}{4}＜7$,所以此种情况不存在.
综上所述,当 $C$ 恰好为 $PQ$ 的中点时,$t$ 的值是 $4$ 或 $\dfrac{28}{5}$.
(3) ①当 $0≤ t≤5$ 时,$PQ=PC+CQ=20-4t+8-t=28-5t$,所以 $28-5t=7$,解得 $t=\dfrac{21}{5}$;②当 $5＜t≤\dfrac{27}{4}$ 时,$PQ=4t-20+8-t=3t-12$,所以 $3t-12=7$,解得 $t=\dfrac{19}{3}$;③当 $\dfrac{27}{4}＜t≤15$ 时,因为 $PC=DC=7\ \mathrm{cm}$,所以当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时,$PQ=7\ \mathrm{cm}$,此时 $t=8$.
综上所述,当 $PQ=7\ \mathrm{cm}$ 时,$t$ 的值是 $\dfrac{21}{5}$或$\dfrac{19}{3}$或 $8$.
(2) 点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $C$ 用时 $20÷4=5(\mathrm{s})$,点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $C$,再返回到点 $D$ 用时 $27÷4=\dfrac{27}{4}(\mathrm{s})$,点 $Q$ 从点 $B$ 运动到点 $D$ 用时 $15÷1=15(\mathrm{s})$. 所以分三种情况讨论.
①当 $0≤ t≤5$ 时,$PC=20-4t$,$CQ=8-t$,所以 $20-4t=8-t$,解得 $t=4$;
②当 $5＜t≤\dfrac{27}{4}$ 时,$PC=4t-20$,$CQ=8-t$,所以 $4t-20=8-t$,解得 $t=\dfrac{28}{5}$;
③当 $\dfrac{27}{4}＜t≤15$ 时,$PC=DC=7$,要想 $C$ 为 $PQ$ 中点,则点 $Q$ 在点 $C$ 右侧,所以 $CQ=8-t＜8-\dfrac{27}{4}=\dfrac{5}{4}＜7$,所以此种情况不存在.
综上所述,当 $C$ 恰好为 $PQ$ 的中点时,$t$ 的值是 $4$ 或 $\dfrac{28}{5}$.
(3) ①当 $0≤ t≤5$ 时,$PQ=PC+CQ=20-4t+8-t=28-5t$,所以 $28-5t=7$,解得 $t=\dfrac{21}{5}$;②当 $5＜t≤\dfrac{27}{4}$ 时,$PQ=4t-20+8-t=3t-12$,所以 $3t-12=7$,解得 $t=\dfrac{19}{3}$;③当 $\dfrac{27}{4}＜t≤15$ 时,因为 $PC=DC=7\ \mathrm{cm}$,所以当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时,$PQ=7\ \mathrm{cm}$,此时 $t=8$.
综上所述,当 $PQ=7\ \mathrm{cm}$ 时,$t$ 的值是 $\dfrac{21}{5}$或$\dfrac{19}{3}$或 $8$.
解析
【分析】
这是一道线段背景下的动点运动问题，我们可以按逻辑分步思考：
1. 第一问求AD长度，属于基础线段计算：先根据AB总长和AC:BC的比例算出AC、BC的长度，再结合DC与AB的比例得到DC的长度，用AC减去DC即可求出AD。
2. 第二问找C为PQ中点的t值：首先先确定两个动点运动全程的关键时间节点，以此把时间t划分成不同区间，不同区间内P、Q的运动状态不同，PC、CQ的长度表达式也不同，利用“C是PQ中点则PC=CQ”的性质列方程，解完后验证解是否在对应区间内，排除不可能的情况。
3. 第三问求PQ=7时的t值：沿用之前划分的时间区间，每个区间内写出PQ的长度表达式，令其等于7解方程，验证解符合区间要求即可得到所有有效结果。
【解析】
(1) 已知$AB=28\ \mathrm{cm}$，$AC:BC=5:2$，总份数为$5+2=7$，因此：
$AC = 28× \dfrac{5}{7}=20\ \mathrm{cm}$，$BC=28-20=8\ \mathrm{cm}$
又因为$DC:AB=1:4$，所以$DC=28× \dfrac{1}{4}=7\ \mathrm{cm}$
因此$AD=AC-DC=20-7=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 先计算各关键时间节点：
点P从A运动到C的时间：$20÷4=5\ \mathrm{s}$
点P从A出发，到C再原路返回至D的总路程为$AC+DC=27\ \mathrm{cm}$，总时间为$27÷4=\dfrac{27}{4}\ \mathrm{s}$
点Q从B运动到D的总路程为$BD=BC+DC=15\ \mathrm{cm}$，总时间为$15÷1=15\ \mathrm{s}$
分三种情况讨论：
① 当$0≤ t≤5$时，P从A向C运动，$PC=20-4t$，Q从B向A运动，$CQ=8-t$
若C为PQ中点，则$PC=CQ$，即$20-4t=8-t$，解得$t=4$，符合区间范围，有效。
② 当$5＜ t≤\dfrac{27}{4}$时，P从C向D运动，$PC=4t-20$，$CQ=8-t$
若C为PQ中点，则$4t-20=8-t$，解得$t=\dfrac{28}{5}$，符合区间范围，有效。
③ 当$\dfrac{27}{4}＜ t≤15$时，P已经停止在D点，此时$PC=7\ \mathrm{cm}$，而$CQ=8-t＜8-\dfrac{27}{4}=\dfrac{5}{4}＜7$，不可能满足$PC=CQ$，该情况无符合条件的解。
综上，C为PQ中点时t的值为4或$\dfrac{28}{5}$。
(3) 按时间区间分情况讨论：
① 当$0≤ t≤5$时，$PQ=PC+CQ=20-4t+8-t=28-5t$
令$28-5t=7$，解得$t=\dfrac{21}{5}$，符合区间范围，有效。
② 当$5＜ t≤\dfrac{27}{4}$时，$PQ=PC+CQ=4t-20+8-t=3t-12$
令$3t-12=7$，解得$t=\dfrac{19}{3}$，符合区间范围，有效。
③ 当$\dfrac{27}{4}＜ t≤15$时，P停止在D点，当Q运动到C点时，$PQ=DC=7\ \mathrm{cm}$，此时$t=8÷1=8$，符合区间范围，有效。
综上，$PQ=7\ \mathrm{cm}$时t的值为$\dfrac{21}{5}$、$\dfrac{19}{3}$或8。
【答案】
(1) $AD=13\ \mathrm{cm}$；(2) $t$的值为$4$或$\dfrac{28}{5}$；(3) $t$的值为$\dfrac{21}{5}$或$\dfrac{19}{3}$或$8$
【知识点】
线段比例计算，动点分段讨论，线段中点性质
【点评】
本题是典型的线段动点问题，核心思路是根据两个动点的运动状态划分时间区间，不同区间内线段长度的表达式不同，需要逐一分类列方程求解，同时要注意验证解的取值是否符合实际运动情况，很容易出现漏解的问题，能够锻炼学生分类讨论的严谨思维。
【难度系数】
0.4
这是一道线段背景下的动点运动问题，我们可以按逻辑分步思考：
1. 第一问求AD长度，属于基础线段计算：先根据AB总长和AC:BC的比例算出AC、BC的长度，再结合DC与AB的比例得到DC的长度，用AC减去DC即可求出AD。
2. 第二问找C为PQ中点的t值：首先先确定两个动点运动全程的关键时间节点，以此把时间t划分成不同区间，不同区间内P、Q的运动状态不同，PC、CQ的长度表达式也不同，利用“C是PQ中点则PC=CQ”的性质列方程，解完后验证解是否在对应区间内，排除不可能的情况。
3. 第三问求PQ=7时的t值：沿用之前划分的时间区间，每个区间内写出PQ的长度表达式，令其等于7解方程，验证解符合区间要求即可得到所有有效结果。
【解析】
(1) 已知$AB=28\ \mathrm{cm}$，$AC:BC=5:2$，总份数为$5+2=7$，因此：
$AC = 28× \dfrac{5}{7}=20\ \mathrm{cm}$，$BC=28-20=8\ \mathrm{cm}$
又因为$DC:AB=1:4$，所以$DC=28× \dfrac{1}{4}=7\ \mathrm{cm}$
因此$AD=AC-DC=20-7=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 先计算各关键时间节点：
点P从A运动到C的时间：$20÷4=5\ \mathrm{s}$
点P从A出发，到C再原路返回至D的总路程为$AC+DC=27\ \mathrm{cm}$，总时间为$27÷4=\dfrac{27}{4}\ \mathrm{s}$
点Q从B运动到D的总路程为$BD=BC+DC=15\ \mathrm{cm}$，总时间为$15÷1=15\ \mathrm{s}$
分三种情况讨论：
① 当$0≤ t≤5$时，P从A向C运动，$PC=20-4t$，Q从B向A运动，$CQ=8-t$
若C为PQ中点，则$PC=CQ$，即$20-4t=8-t$，解得$t=4$，符合区间范围，有效。
② 当$5＜ t≤\dfrac{27}{4}$时，P从C向D运动，$PC=4t-20$，$CQ=8-t$
若C为PQ中点，则$4t-20=8-t$，解得$t=\dfrac{28}{5}$，符合区间范围，有效。
③ 当$\dfrac{27}{4}＜ t≤15$时，P已经停止在D点，此时$PC=7\ \mathrm{cm}$，而$CQ=8-t＜8-\dfrac{27}{4}=\dfrac{5}{4}＜7$，不可能满足$PC=CQ$，该情况无符合条件的解。
综上，C为PQ中点时t的值为4或$\dfrac{28}{5}$。
(3) 按时间区间分情况讨论：
① 当$0≤ t≤5$时，$PQ=PC+CQ=20-4t+8-t=28-5t$
令$28-5t=7$，解得$t=\dfrac{21}{5}$，符合区间范围，有效。
② 当$5＜ t≤\dfrac{27}{4}$时，$PQ=PC+CQ=4t-20+8-t=3t-12$
令$3t-12=7$，解得$t=\dfrac{19}{3}$，符合区间范围，有效。
③ 当$\dfrac{27}{4}＜ t≤15$时，P停止在D点，当Q运动到C点时，$PQ=DC=7\ \mathrm{cm}$，此时$t=8÷1=8$，符合区间范围，有效。
综上，$PQ=7\ \mathrm{cm}$时t的值为$\dfrac{21}{5}$、$\dfrac{19}{3}$或8。
【答案】
(1) $AD=13\ \mathrm{cm}$；(2) $t$的值为$4$或$\dfrac{28}{5}$；(3) $t$的值为$\dfrac{21}{5}$或$\dfrac{19}{3}$或$8$
【知识点】
线段比例计算，动点分段讨论，线段中点性质
【点评】
本题是典型的线段动点问题，核心思路是根据两个动点的运动状态划分时间区间，不同区间内线段长度的表达式不同，需要逐一分类列方程求解，同时要注意验证解的取值是否符合实际运动情况，很容易出现漏解的问题，能够锻炼学生分类讨论的严谨思维。
【难度系数】
0.4
11. 已知$C$为线段$AB$上一点，$D$为$AC$的中点，$E$为$BC$的中点，$F$为$DE$的中点，则
$\frac{EF}{AB}=\underline{\qquad}.\mathrm{若}AB=16CF\mathrm{,则}\frac{AC}{BC}=\underline{\qquad}.$
$\frac{EF}{AB}=\underline{\qquad}.\mathrm{若}AB=16CF\mathrm{,则}\frac{AC}{BC}=\underline{\qquad}.$
答案
11. $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{3}{5}$ 提示:因为 $D$ 为 $AC$ 的中点, $E$ 为 $BC$ 的中点, 所以 $AD=DC=\dfrac{1}{2}AC$,$CE=\dfrac{1}{2}BC$, 所以 $DE=DC+CE=\dfrac{1}{2}(AC+BC)=\dfrac{1}{2}AB$. 因为 $F$ 为 $DE$ 的中点, 所以 $DF=EF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{4}AB$, 所以 $\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{1}{4}$.
①如图1,当 $AC＞BC$ 时,易知 $AD=DC=\dfrac{1}{2}AC＞\dfrac{1}{4}AB$, 所以 $AF=AD+DF=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{4}AB＜AC$, 所以点 $F$ 在点 $C$ 的左侧, 因为 $AB=16CF$, 所以 $DF=\dfrac{1}{4}AB=4CF$, 所以 $CF=DC-DF=\dfrac{1}{2}AC-4CF$, 所以 $AC=10CF$, 所以 $BC=AB-AC=16CF-10CF=6CF$, 所以 $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{10CF}{6CF}=\dfrac{5}{3}$.
②如图2,当 $AC＜BC$ 时,同理可得点 $F$ 在点 $C$ 的右侧, 所以 $CF=DF-DC=4CF-\dfrac{1}{2}AC$, 所以 $AC=6CF$, 所以 $BC=AB-AC=16CF-6CF=10CF$, 所以 $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6CF}{10CF}=\dfrac{3}{5}$.
综上所述,$\dfrac{AC}{CB}$的值为$\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{3}{5}$.
解析
【分析】
这道题是线段相关的比例计算，解题思路分两步走：
1. 第一空求$\frac{EF}{AB}$，先利用D、E分别是AC、BC中点的条件，把DE转化为DC+CE，代入中点的线段关系，就能得到DE是AB的一半，再结合F是DE中点，即可推出EF和AB的比例关系。
2. 第二空已知$AB=16CF$求$\frac{AC}{BC}$，首先先把之前得到的$EF=\frac{1}{4}AB$代入，得到$EF=4CF$，接下来要注意C是AB上的点，AC和BC的大小关系不确定，会导致点F在点C的左侧或者右侧，因此需要分$AC＞BC$和$AC＜BC$两种情况，利用线段的和差关系把AC、BC都用CF表示，最后约掉CF得到比值，避免漏解。
【解析】
解：
(1) 求$\frac{EF}{AB}$：
∵ D为AC的中点，E为BC的中点
∴ $AD=DC=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$
∴ $DE=DC+CE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
又
∵ C在线段AB上，$AC+BC=AB$
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$
∵ F为DE的中点
∴ $EF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB$
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{1}{4}$
(2) 若$AB=16CF$，求$\frac{AC}{BC}$：
由$AB=16CF$，结合$EF=\frac{1}{4}AB$，可得$EF=\frac{1}{4}×16CF=4CF$，$DE=2EF=8CF$，分两种情况讨论：
① 当$AC＞BC$时：
此时$DC=\frac{1}{2}AC＞\frac{1}{4}AB$，点F位于点C的左侧，在线段DC上
∴ $CF=DC-DF$，其中$DF=EF=4CF$
代入$DC=\frac{1}{2}AC$得：$CF=\frac{1}{2}AC - 4CF$
整理得：$AC=10CF$
又
∵ $BC=AB-AC=16CF-10CF=6CF$
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{10CF}{6CF}=\frac{5}{3}$
② 当$AC＜BC$时：
此时$DC=\frac{1}{2}AC＜\frac{1}{4}AB$，点F位于点C的右侧，在线段CE上
∴ $CF=DF-DC$，其中$DF=4CF$
代入$DC=\frac{1}{2}AC$得：$CF=4CF-\frac{1}{2}AC$
整理得：$AC=6CF$
又
∵ $BC=AB-AC=16CF-6CF=10CF$
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{6CF}{10CF}=\frac{3}{5}$
综上，$\frac{AC}{BC}=\frac{5}{3}$或$\frac{3}{5}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$；$\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
线段中点性质；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于线段相关的基础拓展题型，第一空难度较低，直接利用中点的性质即可快速推导出线段比例；第二空的易错点是忽略点F相对于点C的位置存在两种可能，容易漏写其中一个比值，解题时要注意结合AC和BC的大小关系分类讨论，通过画图辅助确定点的位置关系，避免出错。
【难度系数】
0.6
这道题是线段相关的比例计算，解题思路分两步走：
1. 第一空求$\frac{EF}{AB}$，先利用D、E分别是AC、BC中点的条件，把DE转化为DC+CE，代入中点的线段关系，就能得到DE是AB的一半，再结合F是DE中点，即可推出EF和AB的比例关系。
2. 第二空已知$AB=16CF$求$\frac{AC}{BC}$，首先先把之前得到的$EF=\frac{1}{4}AB$代入，得到$EF=4CF$，接下来要注意C是AB上的点，AC和BC的大小关系不确定，会导致点F在点C的左侧或者右侧，因此需要分$AC＞BC$和$AC＜BC$两种情况，利用线段的和差关系把AC、BC都用CF表示，最后约掉CF得到比值，避免漏解。
【解析】
解：
(1) 求$\frac{EF}{AB}$：
∵ D为AC的中点，E为BC的中点
∴ $AD=DC=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$
∴ $DE=DC+CE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
又
∵ C在线段AB上，$AC+BC=AB$
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$
∵ F为DE的中点
∴ $EF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB$
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{1}{4}$
(2) 若$AB=16CF$，求$\frac{AC}{BC}$：
由$AB=16CF$，结合$EF=\frac{1}{4}AB$，可得$EF=\frac{1}{4}×16CF=4CF$，$DE=2EF=8CF$，分两种情况讨论：
① 当$AC＞BC$时：
此时$DC=\frac{1}{2}AC＞\frac{1}{4}AB$，点F位于点C的左侧，在线段DC上
∴ $CF=DC-DF$，其中$DF=EF=4CF$
代入$DC=\frac{1}{2}AC$得：$CF=\frac{1}{2}AC - 4CF$
整理得：$AC=10CF$
又
∵ $BC=AB-AC=16CF-10CF=6CF$
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{10CF}{6CF}=\frac{5}{3}$
② 当$AC＜BC$时：
此时$DC=\frac{1}{2}AC＜\frac{1}{4}AB$，点F位于点C的右侧，在线段CE上
∴ $CF=DF-DC$，其中$DF=4CF$
代入$DC=\frac{1}{2}AC$得：$CF=4CF-\frac{1}{2}AC$
整理得：$AC=6CF$
又
∵ $BC=AB-AC=16CF-6CF=10CF$
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{6CF}{10CF}=\frac{3}{5}$
综上，$\frac{AC}{BC}=\frac{5}{3}$或$\frac{3}{5}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$；$\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
线段中点性质；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于线段相关的基础拓展题型，第一空难度较低，直接利用中点的性质即可快速推导出线段比例；第二空的易错点是忽略点F相对于点C的位置存在两种可能，容易漏写其中一个比值，解题时要注意结合AC和BC的大小关系分类讨论，通过画图辅助确定点的位置关系，避免出错。
【难度系数】
0.6
12. 已知点 $C$ 在线段 $AB$ 上，$AC=2BC$，点 $D$，$E$ 在直线 $AB$ 上，点 $D$ 在点 $E$ 的左侧.
(1) 若 $AB=15$，$DE=6$，线段 $DE$ 在线段 $AB$ 上移动.
① 如图，当 $E$ 为 $BC$ 的中点时，求 $AD$ 的长；
② 若点 $F$(异于点 $A,B,C$) 在线段 $AB$ 上，且 $AF=3AD$，$CF=3$，求 $AD$ 的长.
(2) 若 $AB=2DE$，线段 $DE$ 在直线 $AB$ 上移动，且满足关系式 $\dfrac{AD+EC}{BE}=\dfrac{3}{2}$，求 $\dfrac{CD}{BD}$ 的值.
(1) 若 $AB=15$，$DE=6$，线段 $DE$ 在线段 $AB$ 上移动.
① 如图，当 $E$ 为 $BC$ 的中点时，求 $AD$ 的长；
② 若点 $F$(异于点 $A,B,C$) 在线段 $AB$ 上，且 $AF=3AD$，$CF=3$，求 $AD$ 的长.
(2) 若 $AB=2DE$，线段 $DE$ 在直线 $AB$ 上移动，且满足关系式 $\dfrac{AD+EC}{BE}=\dfrac{3}{2}$，求 $\dfrac{CD}{BD}$ 的值.
答案
12. 解:(1) ① 因为 $AC=2BC$,$AB=15$,所以 $BC=5$,$AC=10$. 又因为 $E$ 是 $BC$ 的中点, 所以 $CE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5}{2}$. 因为 $DE=6$, 所以 $CD=DE-CE=6-\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{2}$, 所以 $AD=AC-CD=10-\dfrac{7}{2}=\dfrac{13}{2}$.
②如图1,当点 $F$ 在点 $C$ 的右侧时,因为 $CF=3$,$AC=10$,所以 $AF=AC+CF=13$. 因为 $AF=3AD$,所以 $AD=\dfrac{1}{3}AF=\dfrac{13}{3}$.
如图2,当点 $F$ 在点 $C$ 的左侧时,因为 $AC=10$,$CF=3$,所以 $AF=AC-CF=7$. 因为 $AF=3AD$,所以 $AD=\dfrac{1}{3}AF=\dfrac{7}{3}$.
综上所述,$AD$ 的长为$\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{7}{3}$.
(2) 如图3,当点 $D$ 在线段 $AC$ 上,点 $E$ 在线段 $BC$ 上时,设 $BC=x$,则 $AC=2BC=2x$,所以 $AB=3x$,所以 $DE=\dfrac{3}{2}x$. 设 $CE=y$,所以 $AE=2x+y$,$BE=x-y$,所以 $AD=AE-DE=2x+y-\dfrac{3}{2}x=\dfrac{1}{2}x+y$. 因为 $\dfrac{AD+EC}{BE}=\dfrac{3}{2}$,所以 $\dfrac{\dfrac{1}{2}x+y+y}{x-y}=\dfrac{3}{2}$,即 $y=\dfrac{2}{7}x$,所以 $CD=DE-CE=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{2}{7}x=\dfrac{17}{14}x$,$BD=AB-AD=3x-(\dfrac{1}{2}x+y)=3x-(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{2}{7}x)=\dfrac{31}{14}x$,所以 $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{\dfrac{17}{14}x}{\dfrac{31}{14}x}=\dfrac{17}{31}$.
如图4,当点 $D,E$ 均在点 $A$ 的左侧时,设 $BC=x$,则 $AC=2x$,$DE=\dfrac{3}{2}x$. 设 $CE=y$,所以 $BE=EC+BC=x+y$,$DC=CE+DE=y+\dfrac{3}{2}x$,所以 $AD=DC-AC=y+\dfrac{3}{2}x-2x=y-\dfrac{1}{2}x$. 因为 $\dfrac{AD+EC}{BE}=\dfrac{3}{2}$,所以 $\dfrac{y-\dfrac{1}{2}x+y}{x+y}=\dfrac{3}{2}$,所以 $y=4x$,所以 $CD=y+\dfrac{3}{2}x=4x+\dfrac{3}{2}x=\dfrac{11}{2}x$,$BD=DC+BC=y+\dfrac{3}{2}x+x=\dfrac{13}{2}x$,所以 $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{\dfrac{11}{2}x}{\dfrac{13}{2}x}=\dfrac{11}{13}$.
如图5,当点 $D$ 在线段 $BC$ 上,点 $E$ 在点 $B$ 右侧时,设 $BC=x$,则 $AC=2x$,$DE=\dfrac{3}{2}x$. 设 $CE=y$,所以 $BE=CE-BC=y-x$,$DC=CE-DE=y-\dfrac{3}{2}x$,所以 $AD=DC+AC=y-\dfrac{3}{2}x+2x=y+\dfrac{1}{2}x$. 因为 $\dfrac{AD+EC}{BE}=\dfrac{3}{2}$,所以 $\dfrac{y+\dfrac{1}{2}x+y}{y-x}=\dfrac{3}{2}$,所以 $y=-4x$(舍去).
同理,当点 $D,E$ 均在线段 $AC$ 上时;当点 $D,E$ 均在点 $B$ 的右侧时;当点 $D$ 在点 $A$ 左侧,点 $E$ 在点 $A$ 右侧时,均不符合题意. 综上所述,$\dfrac{CD}{BD}$的值为$\dfrac{17}{31}$或$\dfrac{11}{13}$.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 对于(1)①，首先根据已知AC=2BC和AB=15，结合AC+BC=AB先求出AC、BC的具体长度，再利用E是BC中点的条件得到CE的长度，结合DE=6算出CD的长度，最后用AC减去CD即可得到AD的长。
2. 对于(1)②，已知CF=3，点F在线段AB上且异于A、B、C，因此需要分两种情况讨论：F在点C的右侧、F在点C的左侧，分别计算出对应的AF长度，再根据AF=3AD的条件，即可求出两种情况下AD的长度。
3. 对于(2)，由于D、E在直线AB上移动，点的位置存在多种可能性，我们先设BC=x，将AC、AB、DE都用含x的代数式表示，再设CE=y，把AD、EC、BE都用x和y表示后代入给定的比例等式，求解得到y和x的关系，排除线段长度为负的不符合题意的情况，最后分别计算不同符合条件位置下CD和BD的比值即可。
【解析】
解：
(1) ① 已知AC=2BC，AB=15，且AC+BC=AB，因此3BC=15，解得BC=5，AC=10。
因为E是BC的中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
已知DE=6，因此$CD=DE-CE=6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$，
所以$AD=AC-CD=10-\frac{7}{2}=\frac{13}{2}$。
② 分两种情况讨论：
情况1：点F在点C的右侧
已知CF=3，AC=10，因此$AF=AC+CF=10+3=13$，
又因为AF=3AD，所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{13}{3}$。
情况2：点F在点C的左侧
已知AC=10，CF=3，因此$AF=AC-CF=10-3=7$，
又因为AF=3AD，所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{7}{3}$。
综上，AD的长为$\frac{13}{3}$或$\frac{7}{3}$。
(2) 设BC=x，则AC=2BC=2x，因此AB=AC+BC=3x，已知AB=2DE，因此$DE=\frac{3}{2}x$，设CE=y，分位置讨论：
情况1：点D在线段AC上，点E在线段BC上
此时$AE=AC+CE=2x+y$，$BE=BC-CE=x-y$，
$AD=AE-DE=2x+y-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x+y$，
代入$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$得：$\frac{\frac{1}{2}x+y+y}{x-y}=\frac{3}{2}$，化简解得$y=\frac{2}{7}x$。
因此$CD=DE-CE=\frac{3}{2}x-\frac{2}{7}x=\frac{17}{14}x$，
$BD=AB-AD=3x-(\frac{1}{2}x+y)=3x-(\frac{1}{2}x+\frac{2}{7}x)=\frac{31}{14}x$，
所以$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{17}{14}x}{\frac{31}{14}x}=\frac{17}{31}$。
情况2：点D、E均在点A的左侧
此时$BE=EC+BC=x+y$，$DC=CE+DE=y+\frac{3}{2}x$，
$AD=DC-AC=y+\frac{3}{2}x-2x=y-\frac{1}{2}x$，
代入$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$得：$\frac{y-\frac{1}{2}x+y}{x+y}=\frac{3}{2}$，化简解得$y=4x$。
因此$CD=y+\frac{3}{2}x=4x+\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}x$，
$BD=DC+BC=y+\frac{3}{2}x+x=\frac{13}{2}x$，
所以$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{11}{2}x}{\frac{13}{2}x}=\frac{11}{13}$。
情况3：点D在线段BC上，点E在点B右侧
此时$BE=CE-BC=y-x$，$DC=CE-DE=y-\frac{3}{2}x$，
$AD=DC+AC=y-\frac{3}{2}x+2x=y+\frac{1}{2}x$，
代入$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$得：$\frac{y+\frac{1}{2}x+y}{y-x}=\frac{3}{2}$，化简解得$y=-4x$，长度为负，不符合实际，舍去。
其余位置：点D、E均在线段AC上、点D、E均在点B右侧、点D在A左侧点E在A右侧，代入计算后均得到线段长度为负，不符合题意，全部舍去。
综上，$\frac{CD}{BD}$的值为$\frac{17}{31}$或$\frac{11}{13}$。
【答案】
(1) ① $AD=\frac{13}{2}$；② $AD$的长为$\frac{13}{3}$或$\frac{7}{3}$；(2) $\frac{CD}{BD}$的值为$\frac{17}{31}$或$\frac{11}{13}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点性质，分类讨论思想
【点评】
本题是线段动态计算的综合题型，基础部分考察线段和差、中点的常规运算，难度集中在第二问，需要对直线AB上D、E的所有可能位置逐一分类验证，排除不符合线段长度非负的情况，很容易出现漏解的问题，能够有效锻炼学生的逻辑严谨性和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：
1. 对于(1)①，首先根据已知AC=2BC和AB=15，结合AC+BC=AB先求出AC、BC的具体长度，再利用E是BC中点的条件得到CE的长度，结合DE=6算出CD的长度，最后用AC减去CD即可得到AD的长。
2. 对于(1)②，已知CF=3，点F在线段AB上且异于A、B、C，因此需要分两种情况讨论：F在点C的右侧、F在点C的左侧，分别计算出对应的AF长度，再根据AF=3AD的条件，即可求出两种情况下AD的长度。
3. 对于(2)，由于D、E在直线AB上移动，点的位置存在多种可能性，我们先设BC=x，将AC、AB、DE都用含x的代数式表示，再设CE=y，把AD、EC、BE都用x和y表示后代入给定的比例等式，求解得到y和x的关系，排除线段长度为负的不符合题意的情况，最后分别计算不同符合条件位置下CD和BD的比值即可。
【解析】
解：
(1) ① 已知AC=2BC，AB=15，且AC+BC=AB，因此3BC=15，解得BC=5，AC=10。
因为E是BC的中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
已知DE=6，因此$CD=DE-CE=6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$，
所以$AD=AC-CD=10-\frac{7}{2}=\frac{13}{2}$。
② 分两种情况讨论：
情况1：点F在点C的右侧
已知CF=3，AC=10，因此$AF=AC+CF=10+3=13$，
又因为AF=3AD，所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{13}{3}$。
情况2：点F在点C的左侧
已知AC=10，CF=3，因此$AF=AC-CF=10-3=7$，
又因为AF=3AD，所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{7}{3}$。
综上，AD的长为$\frac{13}{3}$或$\frac{7}{3}$。
(2) 设BC=x，则AC=2BC=2x，因此AB=AC+BC=3x，已知AB=2DE，因此$DE=\frac{3}{2}x$，设CE=y，分位置讨论：
情况1：点D在线段AC上，点E在线段BC上
此时$AE=AC+CE=2x+y$，$BE=BC-CE=x-y$，
$AD=AE-DE=2x+y-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x+y$，
代入$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$得：$\frac{\frac{1}{2}x+y+y}{x-y}=\frac{3}{2}$，化简解得$y=\frac{2}{7}x$。
因此$CD=DE-CE=\frac{3}{2}x-\frac{2}{7}x=\frac{17}{14}x$，
$BD=AB-AD=3x-(\frac{1}{2}x+y)=3x-(\frac{1}{2}x+\frac{2}{7}x)=\frac{31}{14}x$，
所以$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{17}{14}x}{\frac{31}{14}x}=\frac{17}{31}$。
情况2：点D、E均在点A的左侧
此时$BE=EC+BC=x+y$，$DC=CE+DE=y+\frac{3}{2}x$，
$AD=DC-AC=y+\frac{3}{2}x-2x=y-\frac{1}{2}x$，
代入$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$得：$\frac{y-\frac{1}{2}x+y}{x+y}=\frac{3}{2}$，化简解得$y=4x$。
因此$CD=y+\frac{3}{2}x=4x+\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}x$，
$BD=DC+BC=y+\frac{3}{2}x+x=\frac{13}{2}x$，
所以$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{11}{2}x}{\frac{13}{2}x}=\frac{11}{13}$。
情况3：点D在线段BC上，点E在点B右侧
此时$BE=CE-BC=y-x$，$DC=CE-DE=y-\frac{3}{2}x$，
$AD=DC+AC=y-\frac{3}{2}x+2x=y+\frac{1}{2}x$，
代入$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$得：$\frac{y+\frac{1}{2}x+y}{y-x}=\frac{3}{2}$，化简解得$y=-4x$，长度为负，不符合实际，舍去。
其余位置：点D、E均在线段AC上、点D、E均在点B右侧、点D在A左侧点E在A右侧，代入计算后均得到线段长度为负，不符合题意，全部舍去。
综上，$\frac{CD}{BD}$的值为$\frac{17}{31}$或$\frac{11}{13}$。
【答案】
(1) ① $AD=\frac{13}{2}$；② $AD$的长为$\frac{13}{3}$或$\frac{7}{3}$；(2) $\frac{CD}{BD}$的值为$\frac{17}{31}$或$\frac{11}{13}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点性质，分类讨论思想
【点评】
本题是线段动态计算的综合题型，基础部分考察线段和差、中点的常规运算，难度集中在第二问，需要对直线AB上D、E的所有可能位置逐一分类验证，排除不符合线段长度非负的情况，很容易出现漏解的问题，能够有效锻炼学生的逻辑严谨性和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.3
