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1. 把下列各式因式分解：
(1)$x(x-y)^2 - 2(y-x)^2$；
(2)$(a+b)^{n+2} - (a+b)^n$；
(3)$a^2 - 2a(b+c) + (b+c)^2$；
(4)$x(x+y)(x-y) - x(x+y)^2$。
(1)$x(x-y)^2 - 2(y-x)^2$；
(2)$(a+b)^{n+2} - (a+b)^n$；
(3)$a^2 - 2a(b+c) + (b+c)^2$；
(4)$x(x+y)(x-y) - x(x+y)^2$。
答案
(1)$(x-y)^2(x-2)$；(2)$(a+b)^n(a+b+1)(a+b-1)$；(3)$(a-b-c)^2$；(4)$-2xy(x+y)$。
解析
【分析】
这几道因式分解题遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合平方差或完全平方公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否为整式乘积的最简形式。具体到各小题：(1)先利用$(y-x)^2=(x-y)^2$统一形式，再提取公因式$(x-y)^2$；(2)公因式是$(a+b)^n$，提取后剩余部分符合平方差公式特征；(3)将$(b+c)$看作整体，原式符合完全平方公式特征；(4)先提取公因式$x(x+y)$，再化简剩余部分即可。
【解析】
(1) 首先将$(y-x)^2$变形为$(x-y)^2$，再提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=x(x-y)^2 - 2(x-y)^2\\&=(x-y)^2(x - 2)\end{aligned}$
(2) 提取公因式$(a+b)^n$，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$\begin{aligned}原式&=(a+b)^n·(a+b)^2 - (a+b)^n·1\\&=(a+b)^n[(a+b)^2 - 1]\\&=(a+b)^n(a+b+1)(a+b-1)\end{aligned}$
(3) 把$(b+c)$看作一个整体，利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 2· a·(b+c) + (b+c)^2\\&=[a - (b+c)]^2\\&=(a - b - c)^2\end{aligned}$
(4) 先提取公因式$x(x+y)$，再化简剩余部分：
$\begin{aligned}原式&=x(x+y)[(x - y) - (x + y)]\\&=x(x+y)(x - y - x - y)\\&=x(x+y)(-2y)\\&=-2xy(x+y)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-y)^2(x-2)$；(2)$(a+b)^n(a+b+1)(a+b-1)$；(3)$(a-b-c)^2$；(4)$-2xy(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，整体思想应用
【点评】
这组题目是因式分解的常规题型，重点考察因式分解的基本步骤，解题时要注意灵活运用整体思想简化问题，同时注意符号变化、保证因式分解彻底，最终结果需化为最简整式乘积的形式。
【难度系数】
0.7
这几道因式分解题遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合平方差或完全平方公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否为整式乘积的最简形式。具体到各小题：(1)先利用$(y-x)^2=(x-y)^2$统一形式，再提取公因式$(x-y)^2$；(2)公因式是$(a+b)^n$，提取后剩余部分符合平方差公式特征；(3)将$(b+c)$看作整体，原式符合完全平方公式特征；(4)先提取公因式$x(x+y)$，再化简剩余部分即可。
【解析】
(1) 首先将$(y-x)^2$变形为$(x-y)^2$，再提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=x(x-y)^2 - 2(x-y)^2\\&=(x-y)^2(x - 2)\end{aligned}$
(2) 提取公因式$(a+b)^n$，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$\begin{aligned}原式&=(a+b)^n·(a+b)^2 - (a+b)^n·1\\&=(a+b)^n[(a+b)^2 - 1]\\&=(a+b)^n(a+b+1)(a+b-1)\end{aligned}$
(3) 把$(b+c)$看作一个整体，利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 2· a·(b+c) + (b+c)^2\\&=[a - (b+c)]^2\\&=(a - b - c)^2\end{aligned}$
(4) 先提取公因式$x(x+y)$，再化简剩余部分：
$\begin{aligned}原式&=x(x+y)[(x - y) - (x + y)]\\&=x(x+y)(x - y - x - y)\\&=x(x+y)(-2y)\\&=-2xy(x+y)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-y)^2(x-2)$；(2)$(a+b)^n(a+b+1)(a+b-1)$；(3)$(a-b-c)^2$；(4)$-2xy(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，整体思想应用
【点评】
这组题目是因式分解的常规题型，重点考察因式分解的基本步骤，解题时要注意灵活运用整体思想简化问题，同时注意符号变化、保证因式分解彻底，最终结果需化为最简整式乘积的形式。
【难度系数】
0.7
2. 利用因式分解计算：
(1)$1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + \dots + 99^2 - 100^2 + 101^2$；
(2)$9 × 11 × 101 × 10\ 001$.
(1)$1 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + \dots + 99^2 - 100^2 + 101^2$；
(2)$9 × 11 × 101 × 10\ 001$.
答案
(1)原式$=1+3^2-2^2+5^2-4^2+\dots+101^2-100^2$
$=1+(3+2)×(3-2)+(5+4)×(5-4)+\dots+(101+100)×(101-100)$
$=1+2+3+4+5+\dots+100+101=5151$.
(2)$9×11×101×10\ 001$
$=(10-1)×(10+1)×(100+1)×(10\ 000+1)$
$=(100-1)×(100+1)×(10\ 000+1)$
$=(10\ 000-1)×(10\ 000+1)=10^8-1$.
$=1+(3+2)×(3-2)+(5+4)×(5-4)+\dots+(101+100)×(101-100)$
$=1+2+3+4+5+\dots+100+101=5151$.
(2)$9×11×101×10\ 001$
$=(10-1)×(10+1)×(100+1)×(10\ 000+1)$
$=(100-1)×(100+1)×(10\ 000+1)$
$=(10\ 000-1)×(10\ 000+1)=10^8-1$.
解析
【分析】
(1)观察算式规律，除首项1外，其余项依次为相邻奇数的平方减偶数的平方，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，因此可将相邻的一奇一偶平方项分为一组，利用平方差公式因式分解。由于相邻两数的差为1，每组分解后结果即为两个底数的和，最终算式可转化为从1到101的连续正整数求和，用等差数列求和公式计算即可。
(2)观察四个乘数的特征：$9=10-1$，$11=10+1$，$101=10^2+1$，$10001=10^4+1$，可依次将相邻两个乘数凑成平方差公式的形式，反复运用平方差公式计算，避免硬算，简化运算过程。
【解析】
(1) 先调整算式顺序分组：
原式$=1+(3^2-2^2)+(5^2-4^2)+\dots+(101^2-100^2)$
对每组运用平方差公式因式分解：
$=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+\dots+(101+100)(101-100)$
因为每组中两个底数的差为1，化简得：
$=1+2+3+4+5+\dots+100+101$
用等差数列求和公式：$S_n=\frac{(首项+末项)×项数}{2}$，代入得：
$=\frac{(1+101)×101}{2}=51×101=5151$
(2) 先将各乘数改写为平方差适配形式：
原式$=(10-1)×(10+1)×(100+1)×(10000+1)$
依次运用平方差公式计算：
$=(10^2-1)×(10^2+1)×(10^4+1)$
$=(10^4-1)×(10^4+1)$
$=10^8-1$
【答案】
(1)$5151$；(2)$10^8-1$（或$99999999$）
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；有理数简便运算
【点评】
这两道题是因式分解在简便运算中的典型应用，核心思路是观察算式结构，通过合理分组、拆数变形，匹配平方差公式的形式，大幅降低计算量，解题时要注意分组不要漏项，变形前后算式值要保持相等。
【难度系数】
0.7
(1)观察算式规律，除首项1外，其余项依次为相邻奇数的平方减偶数的平方，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，因此可将相邻的一奇一偶平方项分为一组，利用平方差公式因式分解。由于相邻两数的差为1，每组分解后结果即为两个底数的和，最终算式可转化为从1到101的连续正整数求和，用等差数列求和公式计算即可。
(2)观察四个乘数的特征：$9=10-1$，$11=10+1$，$101=10^2+1$，$10001=10^4+1$，可依次将相邻两个乘数凑成平方差公式的形式，反复运用平方差公式计算，避免硬算，简化运算过程。
【解析】
(1) 先调整算式顺序分组：
原式$=1+(3^2-2^2)+(5^2-4^2)+\dots+(101^2-100^2)$
对每组运用平方差公式因式分解：
$=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+\dots+(101+100)(101-100)$
因为每组中两个底数的差为1，化简得：
$=1+2+3+4+5+\dots+100+101$
用等差数列求和公式：$S_n=\frac{(首项+末项)×项数}{2}$，代入得：
$=\frac{(1+101)×101}{2}=51×101=5151$
(2) 先将各乘数改写为平方差适配形式：
原式$=(10-1)×(10+1)×(100+1)×(10000+1)$
依次运用平方差公式计算：
$=(10^2-1)×(10^2+1)×(10^4+1)$
$=(10^4-1)×(10^4+1)$
$=10^8-1$
【答案】
(1)$5151$；(2)$10^8-1$（或$99999999$）
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；有理数简便运算
【点评】
这两道题是因式分解在简便运算中的典型应用，核心思路是观察算式结构，通过合理分组、拆数变形，匹配平方差公式的形式，大幅降低计算量，解题时要注意分组不要漏项，变形前后算式值要保持相等。
【难度系数】
0.7
3. 已知$2x+3y=-8,4x+y=15$,求$(x-y)^2-(3x+2y)^2$的值.
答案
原式$=(x-y+3x+2y)(x-y-3x-2y)$
$=(4x+y)(-2x-3y)=-(2x+3y)(4x+y)$.
当$2x+3y=-8,4x+y=15$时，
原式$=-(-8)×15=120$.
$=(4x+y)(-2x-3y)=-(2x+3y)(4x+y)$.
当$2x+3y=-8,4x+y=15$时，
原式$=-(-8)×15=120$.
解析
【分析】
观察待求式$(x-y)^2-(3x+2y)^2$，属于两个整式平方作差的结构，符合平方差公式的特征，因此首先考虑用平方差公式对其因式分解；分解后对括号内的项合并同类项，可发现合并后的式子恰好由题目给出的$2x+3y$、$4x+y$组成，无需单独求解x、y的值，直接将已知条件整体代入计算即可，既简便又能减少计算失误。
【解析】
首先利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-y+3x+2y)(x-y-3x-2y)\\&=(4x+y)(-2x-3y)\\&=-(2x+3y)(4x+y)\end{aligned}$
将$2x+3y=-8$，$4x+y=15$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(-8)×15\\&=8×15\\&=120\end{aligned}$
【答案】
$120$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整体代入求值
【点评】
本题重点考查因式分解在代数式求值中的应用，解题时避开解方程组求x、y的繁琐步骤，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，再整体代入计算，是整式求值类问题的常用技巧，需注意分解过程中的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
观察待求式$(x-y)^2-(3x+2y)^2$，属于两个整式平方作差的结构，符合平方差公式的特征，因此首先考虑用平方差公式对其因式分解；分解后对括号内的项合并同类项，可发现合并后的式子恰好由题目给出的$2x+3y$、$4x+y$组成，无需单独求解x、y的值，直接将已知条件整体代入计算即可，既简便又能减少计算失误。
【解析】
首先利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-y+3x+2y)(x-y-3x-2y)\\&=(4x+y)(-2x-3y)\\&=-(2x+3y)(4x+y)\end{aligned}$
将$2x+3y=-8$，$4x+y=15$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(-8)×15\\&=8×15\\&=120\end{aligned}$
【答案】
$120$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整体代入求值
【点评】
本题重点考查因式分解在代数式求值中的应用，解题时避开解方程组求x、y的繁琐步骤，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，再整体代入计算，是整式求值类问题的常用技巧，需注意分解过程中的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
4. 两位同学将一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成$2(x-1)(x-9)$，另一位同学因看错了常数项而分解成$2(x-2)(x-4)$，请将原多项式因式分解.
答案
原多项式为$2x^2-12x+18$,将它因式分解得$2(x-3)^2$.
解析
【分析】
解题的核心是利用因式分解与整式乘法的互逆关系：看错某一项系数时，其余项的系数是正确的。第一位同学仅看错一次项系数，因此他分解结果展开后的二次项系数、常数项与原多项式一致；第二位同学仅看错常数项，因此他分解结果展开后的二次项系数、一次项系数与原多项式一致。我们先分别展开两个分解结果，提取对应正确的系数组合得到原多项式，再对原多项式进行因式分解即可。
【解析】
第一步，展开第一位同学的分解结果，提取正确的二次项和常数项：
$2(x-1)(x-9)=2(x^2-10x+9)=2x^2-20x+18$
由于该同学仅看错一次项系数，因此原多项式的二次项为$2x^2$，常数项为$18$。
第二步，展开第二位同学的分解结果，提取正确的一次项：
$2(x-2)(x-4)=2(x^2-6x+8)=2x^2-12x+16$
由于该同学仅看错常数项，因此原多项式的一次项为$-12x$。
第三步，组合得到原多项式：$2x^2-12x+18$
第四步，对原多项式因式分解：
先提取公因式$2$，得$2(x^2-6x+9)$，再利用完全平方公式分解$x^2-6x+9=(x-3)^2$，因此最终分解结果为$2(x-3)^2$。
【答案】
原多项式为$2x^2-12x+18$，因式分解得$2(x-3)^2$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆关系，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题易错点是无法准确判断看错系数时哪些项是正确的，解题关键是明确看错的项仅对应系数错误，其余项的系数和原式一致，结合整式乘法的逆运算求出原多项式后再按因式分解的规范步骤分解即可。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用因式分解与整式乘法的互逆关系：看错某一项系数时，其余项的系数是正确的。第一位同学仅看错一次项系数，因此他分解结果展开后的二次项系数、常数项与原多项式一致；第二位同学仅看错常数项，因此他分解结果展开后的二次项系数、一次项系数与原多项式一致。我们先分别展开两个分解结果，提取对应正确的系数组合得到原多项式，再对原多项式进行因式分解即可。
【解析】
第一步，展开第一位同学的分解结果，提取正确的二次项和常数项：
$2(x-1)(x-9)=2(x^2-10x+9)=2x^2-20x+18$
由于该同学仅看错一次项系数，因此原多项式的二次项为$2x^2$，常数项为$18$。
第二步，展开第二位同学的分解结果，提取正确的一次项：
$2(x-2)(x-4)=2(x^2-6x+8)=2x^2-12x+16$
由于该同学仅看错常数项，因此原多项式的一次项为$-12x$。
第三步，组合得到原多项式：$2x^2-12x+18$
第四步，对原多项式因式分解：
先提取公因式$2$，得$2(x^2-6x+9)$，再利用完全平方公式分解$x^2-6x+9=(x-3)^2$，因此最终分解结果为$2(x-3)^2$。
【答案】
原多项式为$2x^2-12x+18$，因式分解得$2(x-3)^2$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆关系，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题易错点是无法准确判断看错系数时哪些项是正确的，解题关键是明确看错的项仅对应系数错误，其余项的系数和原式一致，结合整式乘法的逆运算求出原多项式后再按因式分解的规范步骤分解即可。
【难度系数】
0.7
