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1. 把下列各式因式分解:
(1)$(x-1)(x-3)+1$;
(2)$(a^2-ab)+(ac-bc)$;
(3)$x^2+y^2+2xy-1$;
(4)$(x^2y^2-1)(x^2y^2-7)+9$.
(1)$(x-1)(x-3)+1$;
(2)$(a^2-ab)+(ac-bc)$;
(3)$x^2+y^2+2xy-1$;
(4)$(x^2y^2-1)(x^2y^2-7)+9$.
答案
(1)$(x-2)^2$；(2)$(a-b)(a+c)$；(3)$(x+y-1)(x+y+1)$；(4)$(xy+2)^2(xy-2)^2$.
解析
【分析】
因式分解的核心思路是先观察式子特征，优先考虑提公因式，再考虑套用公式（完全平方公式、平方差公式），有括号的可先展开化简，复杂式子可通过换元简化运算，最终要分解到每个因式不能再分解为止。
(1) 式子是两个一次式的乘积加常数，先展开乘积项、合并同类项，再判断是否符合完全平方公式的形式；
(2) 式子是两个括号的和，分别对两个括号提公因式后，会出现公共因式，再提取公共因式即可；
(3) 式子共4项，前3项刚好符合完全平方公式的结构，先分组把前3项合并为平方形式，再和第4项构成平方差结构，套用平方差公式分解；
(4) 式子中$x^2y^2$重复出现，可把$x^2y^2$看作整体，先展开整理为二次三项式，套用完全平方公式后，再换回原式继续分解，直到不能分解为止。
【解析】
(1) 先展开乘积项，合并同类项后用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}(x-1)(x-3)+1&=x^2-3x-x+3+1\\&=x^2-4x+4\\&=(x-2)^2\end{aligned}$
(2) 分组提公因式，再提取公共因式：
$\begin{aligned}(a^2-ab)+(ac-bc)&=a(a-b)+c(a-b)\\&=(a-b)(a+c)\end{aligned}$
(3) 前三项先用完全平方公式合并，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}x^2+y^2+2xy-1&=(x+y)^2-1^2\\&=(x+y-1)(x+y+1)\end{aligned}$
(4) 令$m=x^2y^2$，先化简关于$m$的式子，代回后继续分解到最简：
$\begin{aligned}(x^2y^2-1)(x^2y^2-7)+9&=(m-1)(m-7)+9\\&=m^2-8m+16\\&=(m-4)^2\end{aligned}$
代回$m=x^2y^2$得：
$\begin{aligned}原式&=(x^2y^2-4)^2\\&=[(xy)^2-2^2]^2\\&=(xy+2)^2(xy-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-2)^2$；(2)$(a-b)(a+c)$；(3)$(x+y-1)(x+y+1)$；(4)$(xy+2)^2(xy-2)^2$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，换元法
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时需先观察式子结构选择合适的分解方法，注意因式分解的结果要保证每个因式都不能再分解，且最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
因式分解的核心思路是先观察式子特征，优先考虑提公因式，再考虑套用公式（完全平方公式、平方差公式），有括号的可先展开化简，复杂式子可通过换元简化运算，最终要分解到每个因式不能再分解为止。
(1) 式子是两个一次式的乘积加常数，先展开乘积项、合并同类项，再判断是否符合完全平方公式的形式；
(2) 式子是两个括号的和，分别对两个括号提公因式后，会出现公共因式，再提取公共因式即可；
(3) 式子共4项，前3项刚好符合完全平方公式的结构，先分组把前3项合并为平方形式，再和第4项构成平方差结构，套用平方差公式分解；
(4) 式子中$x^2y^2$重复出现，可把$x^2y^2$看作整体，先展开整理为二次三项式，套用完全平方公式后，再换回原式继续分解，直到不能分解为止。
【解析】
(1) 先展开乘积项，合并同类项后用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}(x-1)(x-3)+1&=x^2-3x-x+3+1\\&=x^2-4x+4\\&=(x-2)^2\end{aligned}$
(2) 分组提公因式，再提取公共因式：
$\begin{aligned}(a^2-ab)+(ac-bc)&=a(a-b)+c(a-b)\\&=(a-b)(a+c)\end{aligned}$
(3) 前三项先用完全平方公式合并，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}x^2+y^2+2xy-1&=(x+y)^2-1^2\\&=(x+y-1)(x+y+1)\end{aligned}$
(4) 令$m=x^2y^2$，先化简关于$m$的式子，代回后继续分解到最简：
$\begin{aligned}(x^2y^2-1)(x^2y^2-7)+9&=(m-1)(m-7)+9\\&=m^2-8m+16\\&=(m-4)^2\end{aligned}$
代回$m=x^2y^2$得：
$\begin{aligned}原式&=(x^2y^2-4)^2\\&=[(xy)^2-2^2]^2\\&=(xy+2)^2(xy-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-2)^2$；(2)$(a-b)(a+c)$；(3)$(x+y-1)(x+y+1)$；(4)$(xy+2)^2(xy-2)^2$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，换元法
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时需先观察式子结构选择合适的分解方法，注意因式分解的结果要保证每个因式都不能再分解，且最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
2. 如图,边长为a,b 的长方形,它的周长为 12,面积为 2,求代数式$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值.
答案
由题意,得$a+b=6,ab=2$,
$\therefore$原式$=ab(a^2+2ab+b^2)=ab(a+b)^2$
$=2×6^2=72$.
$\therefore$原式$=ab(a^2+2ab+b^2)=ab(a+b)^2$
$=2×6^2=72$.
解析
【分析】
首先根据长方形的周长和面积公式求出$a+b$与$ab$的值；再观察所求代数式的结构，先提取公因式$ab$，再利用完全平方公式将代数式因式分解，转化为含有$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，可简化运算过程。
【解析】
解：由长方形周长为12，面积为2可得：
$2(a+b)=12$，$ab=2$，
$\therefore a+b=6$。
对代数式因式分解：
$\begin{split}&a^3b+2a^2b^2+ab^3\\=&ab(a^2+2ab+b^2)\\=&ab(a+b)^2\end{split}$
将$a+b=6$，$ab=2$代入得：
原式$=2×6^2=2×36=72$。
【答案】
72
【知识点】
因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题解题关键是熟练掌握因式分解的方法，运用整体代入的思想代入求值，避免了求解$a$、$b$具体值的繁琐运算，是代数式求值类的典型题型，需掌握此类解题技巧。
【难度系数】
0.7
首先根据长方形的周长和面积公式求出$a+b$与$ab$的值；再观察所求代数式的结构，先提取公因式$ab$，再利用完全平方公式将代数式因式分解，转化为含有$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，可简化运算过程。
【解析】
解：由长方形周长为12，面积为2可得：
$2(a+b)=12$，$ab=2$，
$\therefore a+b=6$。
对代数式因式分解：
$\begin{split}&a^3b+2a^2b^2+ab^3\\=&ab(a^2+2ab+b^2)\\=&ab(a+b)^2\end{split}$
将$a+b=6$，$ab=2$代入得：
原式$=2×6^2=2×36=72$。
【答案】
72
【知识点】
因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题解题关键是熟练掌握因式分解的方法，运用整体代入的思想代入求值，避免了求解$a$、$b$具体值的繁琐运算，是代数式求值类的典型题型，需掌握此类解题技巧。
【难度系数】
0.7
[解题方法型阅读理解题]阅读下列材料,然后解答问题.
因式分解:$x^3+3x^2-4$.
解答:把$x=1$代入多项式$x^3+3x^2-4$,发现此多项式的值为0,由此确定多项式$x^3+3x^2-4$中有因式$(x-1)$,于是可设$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+mx+n)$,分别求出$m,n$的值,再代入$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+mx+n)$,就容易分解多项式$x^3+3x^2-4$.这种因式分解的方法叫“试根法”.
(1)求上述式子中$m,n$的值;
(2)请你用“试根法”因式分解:$x^3+x^2-16x-16$.
因式分解:$x^3+3x^2-4$.
解答:把$x=1$代入多项式$x^3+3x^2-4$,发现此多项式的值为0,由此确定多项式$x^3+3x^2-4$中有因式$(x-1)$,于是可设$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+mx+n)$,分别求出$m,n$的值,再代入$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+mx+n)$,就容易分解多项式$x^3+3x^2-4$.这种因式分解的方法叫“试根法”.
(1)求上述式子中$m,n$的值;
(2)请你用“试根法”因式分解:$x^3+x^2-16x-16$.
答案
(1)把$x=1$代入多项式$x^3+3x^2-4$,多项式的值为0,$\therefore$多项式$x^3+3x^2-4$中有因式$(x-1)$.可设$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+mx+n)=x^3+(m-1)x^2+(n-m)x-n$,
$\therefore m-1=3,n-m=0$,
$\therefore m=4,n=4$.
(2)把$x=-1$代入$x^3+x^2-16x-16$,多项式的值为0,
$\therefore$多项式$x^3+x^2-16x-16$中有因式$(x+1)$.
可设$x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x^2+mx+n)=x^3+(m+1)x^2+(n+m)x+n$,
$\therefore m+1=1,n+m=-16,\therefore m=0,n=-16,\therefore x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x^2-16)=(x+1)(x+4)(x-4)$.
$\therefore m-1=3,n-m=0$,
$\therefore m=4,n=4$.
(2)把$x=-1$代入$x^3+x^2-16x-16$,多项式的值为0,
$\therefore$多项式$x^3+x^2-16x-16$中有因式$(x+1)$.
可设$x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x^2+mx+n)=x^3+(m+1)x^2+(n+m)x+n$,
$\therefore m+1=1,n+m=-16,\therefore m=0,n=-16,\therefore x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x^2-16)=(x+1)(x+4)(x-4)$.
解析
【分析】
(1) 已知多项式含有因式$(x-1)$，先将右侧的多项式乘积展开，根据两个多项式相等时对应次数的系数相等的原理，列出关于$m$、$n$的方程，解方程即可求出$m$、$n$的值。
(2) 按照试根法的步骤，先代入$\pm1$、$\pm2$等较小整数计算多项式的值，找到使多项式值为0的$x$，确定对应的一次因式；再仿照(1)的方法用待定系数法设出多项式的乘积形式，对比系数求出未知参数，最后将得到的二次因式继续分解至不能再分解即可。
【解析】
(1) 由题意设$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+mx+n)$，将右侧展开：
$(x-1)(x^2+mx+n)=x^3+(m-1)x^2+(n-m)x-n$
左右两边多项式相等，对应系数相等，可得：
$\begin{cases}m-1=3 \\n-m=0 \end{cases}$
解得$m=4$，代入第二个式子得$n=4$。
(2) 试根：把$x=-1$代入$x^3+x^2-16x-16$，得$(-1)^3+(-1)^2-16×(-1)-16=0$，因此多项式含有因式$(x+1)$。
设$x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x^2+mx+n)$，将右侧展开：
$(x+1)(x^2+mx+n)=x^3+(m+1)x^2+(m+n)x+n$
对比左右两边系数，可得：
$\begin{cases}m+1=1 \\m+n=-16 \end{cases}$
解得$m=0$，代入第二个式子得$n=-16$。
因此原式$=(x+1)(x^2-16)$，再用平方差公式分解$x^2-16$，得最终结果：
$x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x+4)(x-4)$
【答案】
(1) $m=4$，$n=4$；
(2) $x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x+4)(x-4)$
【知识点】
试根法因式分解；待定系数法；平方差公式分解因式
【点评】
本题属于新方法应用类题型，核心是理解试根法的原理，掌握先找一次因式、再用待定系数法求剩余因式的解题逻辑，解题时要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.65
(1) 已知多项式含有因式$(x-1)$，先将右侧的多项式乘积展开，根据两个多项式相等时对应次数的系数相等的原理，列出关于$m$、$n$的方程，解方程即可求出$m$、$n$的值。
(2) 按照试根法的步骤，先代入$\pm1$、$\pm2$等较小整数计算多项式的值，找到使多项式值为0的$x$，确定对应的一次因式；再仿照(1)的方法用待定系数法设出多项式的乘积形式，对比系数求出未知参数，最后将得到的二次因式继续分解至不能再分解即可。
【解析】
(1) 由题意设$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+mx+n)$，将右侧展开：
$(x-1)(x^2+mx+n)=x^3+(m-1)x^2+(n-m)x-n$
左右两边多项式相等，对应系数相等，可得：
$\begin{cases}m-1=3 \\n-m=0 \end{cases}$
解得$m=4$，代入第二个式子得$n=4$。
(2) 试根：把$x=-1$代入$x^3+x^2-16x-16$，得$(-1)^3+(-1)^2-16×(-1)-16=0$，因此多项式含有因式$(x+1)$。
设$x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x^2+mx+n)$，将右侧展开：
$(x+1)(x^2+mx+n)=x^3+(m+1)x^2+(m+n)x+n$
对比左右两边系数，可得：
$\begin{cases}m+1=1 \\m+n=-16 \end{cases}$
解得$m=0$，代入第二个式子得$n=-16$。
因此原式$=(x+1)(x^2-16)$，再用平方差公式分解$x^2-16$，得最终结果：
$x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x+4)(x-4)$
【答案】
(1) $m=4$，$n=4$；
(2) $x^3+x^2-16x-16=(x+1)(x+4)(x-4)$
【知识点】
试根法因式分解；待定系数法；平方差公式分解因式
【点评】
本题属于新方法应用类题型，核心是理解试根法的原理，掌握先找一次因式、再用待定系数法求剩余因式的解题逻辑，解题时要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.65
