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1. 把下列各式因式分解：
(1)$3ax^2 - 3ay^2$；
(2)$3 - 6x + 3x^2$；
(3)$-8ax^2 + 16axy - 8ay^2$；
(4)$-3a^3b - 27ab^3 + 18a^2b^2$；
(5)$4n^2 - (m + n)^2$；
(6)$4x^3y + 4x^2y^2 + xy^3$；
(7)$(a^2 - 2ab + b^2) - 4$；
(8)$(x^2 - 2x - 2)(x^2 - 2x + 4) + 9$。
(1)$3ax^2 - 3ay^2$；
(2)$3 - 6x + 3x^2$；
(3)$-8ax^2 + 16axy - 8ay^2$；
(4)$-3a^3b - 27ab^3 + 18a^2b^2$；
(5)$4n^2 - (m + n)^2$；
(6)$4x^3y + 4x^2y^2 + xy^3$；
(7)$(a^2 - 2ab + b^2) - 4$；
(8)$(x^2 - 2x - 2)(x^2 - 2x + 4) + 9$。
答案
(1)$3a(x+y)(x-y)$；
(2)$3(1-x)^2$；
(3)$-8a(x-y)^2$；
(4)$-3ab(a-3b)^2$；
(5)$(m+3n)(n-m)$；
(6)$xy(2x+y)^2$；
(7)$(a-b+2)(a-b-2)$；
(8)$(x-1)^4$。
(2)$3(1-x)^2$；
(3)$-8a(x-y)^2$；
(4)$-3ab(a-3b)^2$；
(5)$(m+3n)(n-m)$；
(6)$xy(2x+y)^2$；
(7)$(a-b+2)(a-b-2)$；
(8)$(x-1)^4$。
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，首项为负时要同步提取负号；第二步根据剩余多项式的结构选公式，两项优先用平方差公式，三项优先用完全平方公式；若式子中出现重复的多项式结构，可将其看作整体简化运算；最后检查分解是否彻底、结果是否为整式乘积形式。
【解析】
(1) 先提取公因式$3a$，再用平方差公式分解：
$3ax^2 - 3ay^2 = 3a(x^2 - y^2) = 3a(x+y)(x-y)$
(2) 先提取公因式$3$，再用完全平方公式分解：
$3 - 6x + 3x^2 = 3(1 - 2x + x^2) = 3(1-x)^2$
(3) 先提取公因式$-8a$，再用完全平方公式分解：
$-8ax^2 + 16axy - 8ay^2 = -8a(x^2 - 2xy + y^2) = -8a(x-y)^2$
(4) 先提取公因式$-3ab$，再用完全平方公式分解：
$-3a^3b - 27ab^3 + 18a^2b^2 = -3ab(a^2 - 6ab + 9b^2) = -3ab(a-3b)^2$
(5) 原式为平方差结构，直接套用公式后合并同类项：
$4n^2 - (m+n)^2 = (2n)^2 - (m+n)^2 = [2n+(m+n)][2n-(m+n)] = (m+3n)(n-m)$
(6) 先提取公因式$xy$，再用完全平方公式分解：
$4x^3y + 4x^2y^2 + xy^3 = xy(4x^2 + 4xy + y^2) = xy(2x+y)^2$
(7) 先化简括号内的完全平方式，再整体用平方差公式分解：
$(a^2 - 2ab + b^2) - 4 = (a-b)^2 - 2^2 = (a-b+2)(a-b-2)$
(8) 令$t=x^2-2x$，将原式转化为关于$t$的多项式计算后回代分解：
原式$=(t-2)(t+4)+9 = t^2+2t-8+9 = t^2+2t+1=(t+1)^2$
回代得：$(x^2-2x+1)^2=[(x-1)^2]^2=(x-1)^4$
【答案】
(1)$3a(x+y)(x-y)$；
(2)$3(1-x)^2$；
(3)$-8a(x-y)^2$；
(4)$-3ab(a-3b)^2$；
(5)$(m+3n)(n-m)$；
(6)$xy(2x+y)^2$；
(7)$(a-b+2)(a-b-2)$；
(8)$(x-1)^4$。
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，整体换元法
【点评】
本题覆盖因式分解的常规考法，基础题占比较高，掌握“一提二套三查”的解题流程即可快速求解，最后一题的整体换元思想是因式分解中处理复杂结构的常用技巧，需要重点掌握。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，首项为负时要同步提取负号；第二步根据剩余多项式的结构选公式，两项优先用平方差公式，三项优先用完全平方公式；若式子中出现重复的多项式结构，可将其看作整体简化运算；最后检查分解是否彻底、结果是否为整式乘积形式。
【解析】
(1) 先提取公因式$3a$，再用平方差公式分解：
$3ax^2 - 3ay^2 = 3a(x^2 - y^2) = 3a(x+y)(x-y)$
(2) 先提取公因式$3$，再用完全平方公式分解：
$3 - 6x + 3x^2 = 3(1 - 2x + x^2) = 3(1-x)^2$
(3) 先提取公因式$-8a$，再用完全平方公式分解：
$-8ax^2 + 16axy - 8ay^2 = -8a(x^2 - 2xy + y^2) = -8a(x-y)^2$
(4) 先提取公因式$-3ab$，再用完全平方公式分解：
$-3a^3b - 27ab^3 + 18a^2b^2 = -3ab(a^2 - 6ab + 9b^2) = -3ab(a-3b)^2$
(5) 原式为平方差结构，直接套用公式后合并同类项：
$4n^2 - (m+n)^2 = (2n)^2 - (m+n)^2 = [2n+(m+n)][2n-(m+n)] = (m+3n)(n-m)$
(6) 先提取公因式$xy$，再用完全平方公式分解：
$4x^3y + 4x^2y^2 + xy^3 = xy(4x^2 + 4xy + y^2) = xy(2x+y)^2$
(7) 先化简括号内的完全平方式，再整体用平方差公式分解：
$(a^2 - 2ab + b^2) - 4 = (a-b)^2 - 2^2 = (a-b+2)(a-b-2)$
(8) 令$t=x^2-2x$，将原式转化为关于$t$的多项式计算后回代分解：
原式$=(t-2)(t+4)+9 = t^2+2t-8+9 = t^2+2t+1=(t+1)^2$
回代得：$(x^2-2x+1)^2=[(x-1)^2]^2=(x-1)^4$
【答案】
(1)$3a(x+y)(x-y)$；
(2)$3(1-x)^2$；
(3)$-8a(x-y)^2$；
(4)$-3ab(a-3b)^2$；
(5)$(m+3n)(n-m)$；
(6)$xy(2x+y)^2$；
(7)$(a-b+2)(a-b-2)$；
(8)$(x-1)^4$。
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，整体换元法
【点评】
本题覆盖因式分解的常规考法，基础题占比较高，掌握“一提二套三查”的解题流程即可快速求解，最后一题的整体换元思想是因式分解中处理复杂结构的常用技巧，需要重点掌握。
【难度系数】
0.7
2. 已知$(y-x)(x-y)=-1$，求代数式$\frac{1}{2}(x^2+y^2)-xy$的值.
答案
$\because (y-x)(x-y)=-1$,
$\therefore (x-y)^2=1$,
$\therefore \frac{1}{2}(x^2+y^2)-xy=\frac{(x-y)^2}{2}=\frac{1}{2}.$
$\therefore (x-y)^2=1$,
$\therefore \frac{1}{2}(x^2+y^2)-xy=\frac{(x-y)^2}{2}=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，观察到(y-x)与(x-y)互为相反数，可先对已知式变形求出$(x-y)^2$的值；再对待求的代数式进行恒等变形，通过合并项、利用完全平方公式将其转化为含$(x-y)^2$的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
$\because (y-x)(x-y)=-1$，且$y-x=-(x-y)$，
$\therefore -(x-y)·(x-y)=-1$，即$-(x-y)^2=-1$，
$\therefore (x-y)^2=1$。
对待求式变形：
$\frac{1}{2}(x^2+y^2)-xy=\frac{1}{2}(x^2+y^2-2xy)=\frac{1}{2}(x-y)^2$，
将$(x-y)^2=1$代入可得：原式$=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题重点考查代数恒等变形能力，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过将已知条件和待求式转化为含相同整体的形式，用整体代入法简化计算，是因式分解应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，观察到(y-x)与(x-y)互为相反数，可先对已知式变形求出$(x-y)^2$的值；再对待求的代数式进行恒等变形，通过合并项、利用完全平方公式将其转化为含$(x-y)^2$的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
$\because (y-x)(x-y)=-1$，且$y-x=-(x-y)$，
$\therefore -(x-y)·(x-y)=-1$，即$-(x-y)^2=-1$，
$\therefore (x-y)^2=1$。
对待求式变形：
$\frac{1}{2}(x^2+y^2)-xy=\frac{1}{2}(x^2+y^2-2xy)=\frac{1}{2}(x-y)^2$，
将$(x-y)^2=1$代入可得：原式$=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题重点考查代数恒等变形能力，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过将已知条件和待求式转化为含相同整体的形式，用整体代入法简化计算，是因式分解应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 已知$x^2+y^2-4x+6y+13=0$，求$x^2-6xy+9y^2$的值.
答案
$\because x^2+y^2-4x+6y+13=(x-2)^2+(y+3)^2=0,\therefore x-2=0,y+3=0,$解得$x=2,y=-3,$则$x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2=11^2=121.$
解析
【分析】
解题时先处理已知等式：观察等式左边是含x、y的二次多项式，可通过配方法，将常数项13拆分为4和9，分别与x²-4x、y²+6y组合成完全平方公式，得到两个平方项的和为0的形式。根据平方数的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的值。再观察所求代数式，它符合完全平方差公式的结构，先因式分解再代入求值，能简化运算。
【解析】
第一步：对已知等式左边配方
$x^2+y^2-4x+6y+13$
$=(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)$
$=(x-2)^2+(y+3)^2$
即原等式转化为：$(x-2)^2+(y+3)^2=0$
第二步：利用非负数的性质求x、y的值
∵平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$
∴要使两个非负数的和为0，需满足：
$x-2=0$，$y+3=0$
解得：$x=2$，$y=-3$
第三步：化简所求代数式并代入计算
$x^2-6xy+9y^2$符合完全平方差公式，因式分解得：
$x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2$
将$x=2$，$y=-3$代入得：
$(x-3y)^2=[2-3×(-3)]^2=(2+9)^2=11^2=121$
【答案】
121
【知识点】
配方法，非负数的性质，因式分解
【点评】
本题综合考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的技巧和平方数的非负性，先化简所求代数式再代入计算可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先处理已知等式：观察等式左边是含x、y的二次多项式，可通过配方法，将常数项13拆分为4和9，分别与x²-4x、y²+6y组合成完全平方公式，得到两个平方项的和为0的形式。根据平方数的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的值。再观察所求代数式，它符合完全平方差公式的结构，先因式分解再代入求值，能简化运算。
【解析】
第一步：对已知等式左边配方
$x^2+y^2-4x+6y+13$
$=(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)$
$=(x-2)^2+(y+3)^2$
即原等式转化为：$(x-2)^2+(y+3)^2=0$
第二步：利用非负数的性质求x、y的值
∵平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$
∴要使两个非负数的和为0，需满足：
$x-2=0$，$y+3=0$
解得：$x=2$，$y=-3$
第三步：化简所求代数式并代入计算
$x^2-6xy+9y^2$符合完全平方差公式，因式分解得：
$x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2$
将$x=2$，$y=-3$代入得：
$(x-3y)^2=[2-3×(-3)]^2=(2+9)^2=11^2=121$
【答案】
121
【知识点】
配方法，非负数的性质，因式分解
【点评】
本题综合考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的技巧和平方数的非负性，先化简所求代数式再代入计算可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.7
