1. 下列计算正确的是().

A.$\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
B.$\sqrt{5}-\sqrt{2}=\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}÷\sqrt{2}=\sqrt{\dfrac{2}{5}}$
D.$\sqrt{5}×\sqrt{2}=\sqrt{10}$

1. D 【点拨】本题考查二次根式的运算法则.
【解析】A.$\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式,不能合并,不符合题意;
B.$\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式,不能合并,不符合题意;C.$\sqrt{5} ÷ \sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$,不符合题意;D.$\sqrt{5} × \sqrt{2} = \sqrt{10}$,符合题意.故选 D.

【分析】本题考查二次根式的运算，解题思路是：先明确二次根式加减和乘除的运算法则，再逐一分析每个选项：二次根式的加减仅能合并同类二次根式（即化简后被开方数相同的二次根式）；二次根式的乘除遵循√a·√b=√(ab)（a≥0，b≥0）、√a÷√b=√(a/b)（a≥0，b＞0）的法则，据此判断各选项的正确性。
【解析】逐个分析选项：
A选项：√5与√2的被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
B选项：√5与√2不是同类二次根式，不能合并，故B错误；
C选项：根据二次根式除法法则，√5÷√2=√(5/2)=√10/2，选项结果为√(2/5)，计算错误，故C错误；
D选项：根据二次根式乘法法则，√5×√2=√(5×2)=√10，计算正确，故D正确。
【答案】D
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】本题是二次根式运算的基础题，重点考查二次根式加减与乘除的运算法则，需注意区分同类二次根式的合并条件和乘除的计算规则，避免概念混淆。
【难度系数】0.7

2. 如图1是第14届数学教育大会会标,中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.已知大正方形的边长AD为10,AE的长为6,则小正方形的边长EF为().

A.6
B.4
C.2
D.3

2. C 【点拨】本题考查勾股定理的应用,全等三角形的性质.
【解析】$\because △ AHD ≌ △ BEA, \therefore DH = AE = 6. \because$ 四边形 EFGH 为正方形,
$\therefore EF = EH. \because AD = 10, \therefore AH = \sqrt{AD^2 - DH^2} = 8, \therefore EH = AH - AE = 2$,
$\therefore EF = EH = 2$. 故选 C.

【分析】首先明确“赵爽弦图”的结构：由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形。已知大正方形边长AD=10，AE=6，需先利用全等三角形的性质得到直角三角形的对应边相等，再通过勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，最后计算小正方形的边长（小正方形边长等于直角三角形两条直角边的差）。
【解析】因为“弦图”由4个全等的直角三角形和小正方形组成，所以$△ AHD ≌ △ BEA$，因此$DH = AE = 6$。在$Rt△ AHD$中，$AD$为斜边，根据勾股定理：$AH = \sqrt{AD^2 - DH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$。又因为四边形$EFGH$是小正方形，所以$EH = EF$，且$EH = AH - AE = 8 - 6 = 2$，故$EF = 2$。
【答案】C
【知识点】勾股定理；全等三角形的性质；正方形的性质
【点评】本题结合赵爽弦图考查勾股定理与全等三角形的应用，核心是利用弦图中直角三角形的边的关系，通过勾股定理计算边长，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.7

3. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠ A=45°$,分别以点$A$和$B$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于点$M$和$N$,作直线$MN$,交$AD$于点$E$,连接$CE$.若$AB=2$,则$DE$的长为().

A.$2-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{3}-1$
D.$2-\sqrt{3}$

3. A 【点拨】本题考查菱形的性质,线段垂直平分线的作图,勾股定理等知识.
【解析】如题图,记 $MN$ 交 $AB$ 于点 $F$. 由题意可知, $MN$ 垂直平分 $AB$,
则 $AF = \dfrac{1}{2}AB = 1, ∠ AFE = 90°. \because ∠ A = 45°, \therefore ∠ AEF = 45°, \therefore EF = AF$
$= 1, \therefore AE = \sqrt{EF^2 + AF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. \because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
$\therefore AD = AB = 2, \therefore DE = AD - AE = 2 - \sqrt{2}$. 故选 A.

【分析】要解决本题，首先根据作图方法判断直线MN是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到AF的长度和∠AFE的度数；再结合∠A=45°，得出△AEF是等腰直角三角形，用勾股定理算出AE的长度；最后根据菱形的性质得到AD=AB，通过AD与AE的差求出DE的长。
【解析】记MN交AB于点F，由作图可知MN垂直平分AB，因此AF = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×2 = 1$，且∠AFE = 90°。在Rt△AEF中，∠A = 45°，故△AEF是等腰直角三角形，所以EF = AF = 1。根据勾股定理，AE = $\sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。因为四边形ABCD是菱形，所以AD = AB = 2，因此DE = AD - AE = 2 - $\sqrt{2}$。
【答案】A
【知识点】菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理
【点评】本题结合基本作图与菱形的性质，考查线段垂直平分线的应用及勾股定理的计算，属于基础几何计算题，需掌握相关几何性质与定理即可求解。
【难度系数】0.6

4. 一次函数$y = -\dfrac{1}{2}x + 3$的图象大致是().
A.

4. A 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质,掌握参数 $k$ 与 $b$ 的取值与图象的关系是解题的关键.
【解析】$\because$ 一次函数 $y = -\dfrac{1}{2}x + 3, k = -\dfrac{1}{2} ＜ 0, b = 3 ＞ 0, \therefore$ 直线 $y =$
$-\dfrac{1}{2}x + 3$ 的图象从左向右呈下降趋势,交 $y$ 轴正半轴. 故选 A.

【分析】要判断一次函数的图象，需依据一次函数的性质：一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k≠0$），其中$k$决定直线的增减性，$b$决定直线与$y$轴的交点位置。先确定本题中$k$和$b$的符号，再对应选项的图象特征进行判断。
【解析】对于一次函数$y = -\dfrac{1}{2}x + 3$，其中$k = -\dfrac{1}{2}$，$b = 3$。
1. 由$k = -\dfrac{1}{2} ＜ 0$，可知直线从左向右呈下降趋势（即$y$随$x$的增大而减小）；
2. 由$b = 3 ＞ 0$，可知直线与$y$轴交于正半轴。
结合选项：A选项的直线下降且交$y$轴正半轴，符合特征；B选项直线上升（$k＞0$），不符合；C选项直线下降但交$y$轴负半轴（$b＜0$），不符合；D选项是两条平行直线，不符合一次函数的图象特征。因此选A。
【答案】A
【知识点】一次函数的图象、一次函数的性质
【点评】本题考查一次函数图象的判断，核心是利用$k$、$b$的符号与图象特征的对应关系，属于基础题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】0.6

5. 关于一次函数 $ y = 4x + 1 $ 的性质及其图象,下列说法正确的是().

A.$ y $ 的值随 $ x $ 增大而减小
B.该函数的图象经过第一、三、四象限
C.点$ (-1, -3) $一定在函数图象上
D.$ (-2, y_1) $和$ (3, y_2) $是图象上两点,则$ y_1 ＞ y_2 $

5. C 【点拨】本题考查一次函数的性质及其图象特征.
【解析】A.$\because y = 4x + 1, k = 4 ＞ 0, \therefore y$ 随 $x$ 的增大而增大,故错误;
B.$\because y = 4x + 1, k = 4 ＞ 0, b = 1 ＞ 0, \therefore$ 图象从左向右呈上升趋势,交 $y$
轴正半轴,即此函数图象经过第一、二、三象限,故错误;C. 当 $x = -1$
时, $y = 4 × (-1) + 1 = -3, \therefore$ 点 $(-1, -3)$ 一定在函数图象上,故正
确;D.$\because y$ 随 $x$ 的增大而增大, $\therefore$ 对于图象上两点 $(-2, y_1)$ 和 $(3, y_2)$,
$\therefore y_1 ＜ y_2$, 故错误. 故选 C.

【分析】
要判断关于一次函数$y = 4x + 1$的各说法是否正确，需结合一次函数的性质：$k$决定函数的增减性，$b$决定函数图象与$y$轴的交点位置；若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，据此逐一分析选项即可。
【解析】
A. 对于一次函数$y = kx + b$，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。本题中$k=4＞0$，故$y$的值随$x$增大而增大，A错误；
B. 当$k＞0$，$b＞0$时，一次函数图象经过第一、二、三象限。本题中$k=4＞0$，$b=1＞0$，故图象经过第一、二、三象限，B错误；
C. 若点在函数图象上，则坐标满足解析式。当$x=-1$时，代入得$y=4×(-1)+1=-3$，故点$(-1,-3)$在函数图象上，C正确；
D. 因为$k=4＞0$，$y$随$x$增大而增大，又$-2＜3$，所以$y_1＜y_2$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质、一次函数的图象
【点评】
本题考查一次函数的基础性质，涉及增减性、图象象限、点与函数图象的关系，是初中数学的常考基础题，需熟练掌握一次函数中$k$、$b$的意义。
【难度系数】
0.8

6. 小明的班级开设了“健康奶昔铺”,记录了最近10天每日售出的奶昔杯数(单位:杯)如表所示,则小明的班级最近10天每日售出的奶昔杯数的四分位距为().


A.20
B.14
C.30
D.50

6. B 【点拨】本题考查四分位数和四分位距.
【解析】该组数据按从小到大的顺序排列为 $12,15,17,18,20,22,28$,
$31,35,40$, 一共有 10 个数据, $\therefore Q_2 = \dfrac{20 + 22}{2} = 21, Q_1 = 17, Q_3 = 31$,
$\therefore$ 小明的班级最近 10 天每日售出的奶昔杯数的四分位距为 $31 - 17$
$= 14$. 故选 B.

【分析】
要计算四分位距，需先将10天的销量数据从小到大排序，再确定下四分位数$Q_1$和上四分位数$Q_3$，最后用$Q_3$减去$Q_1$得到四分位距。解题时先整理数据，再根据四分位数的计算规则找到对应数值，最后计算差值即可。
【解析】
1. 先将10个销量数据从小到大排列：$12,15,17,18,20,22,28,31,35,40$；
2. 对于10个数据，下四分位数$Q_1$为第3个数据，即$17$；上四分位数$Q_3$为第8个数据，即$31$；
3. 四分位距 = $Q_3 - Q_1 = 31 - 17 = 14$。
【答案】
B
【知识点】
四分位数、四分位距
【点评】
本题考查统计中四分位距的计算，核心是掌握数据排序后四分位数的确定方法，属于基础统计题型，需明确四分位距的定义。
【难度系数】
0.6