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15. 如图,在四边形ABCD中,E,F分别是线段AD,BC的中点,G,H分别是线段BD,AC的中点,当四边形ABCD的边满足
$AB=CD$
时,四边形EGFH是菱形.答案
15. $AB = CD$ 【点拨】本题考查三角形中位线定理,平行四边形的判定及菱形的判定.
【解析】
∵ 点E,G分别是AD,BD的中点,
∴ $EG // AB,EG = \frac{1}{2}AB$.
∵ 点H,F分别是AC,BC的中点,
∴ $HF // AB,HF = \frac{1}{2}AB$,
∴ $EG // HF,EG = HF$,
∴ 四边形EGFH是平行四边形,同理可证$EH = \frac{1}{2}CD$. 当$AB = CD$时,$HF = EH$,
∴ 四边形EGFH是菱形.
故答案为$AB = CD$.
【解析】
∵ 点E,G分别是AD,BD的中点,
∴ $EG // AB,EG = \frac{1}{2}AB$.
∵ 点H,F分别是AC,BC的中点,
∴ $HF // AB,HF = \frac{1}{2}AB$,
∴ $EG // HF,EG = HF$,
∴ 四边形EGFH是平行四边形,同理可证$EH = \frac{1}{2}CD$. 当$AB = CD$时,$HF = EH$,
∴ 四边形EGFH是菱形.
故答案为$AB = CD$.
解析
【分析】要解决这个问题，需结合三角形中位线定理推导四边形EGFH的形状，再根据菱形的判定条件确定四边形ABCD需满足的边的关系。首先利用中点性质，通过三角形中位线定理得到线段的平行与数量关系，先证明四边形EGFH是平行四边形，再使平行四边形的一组邻边相等，即可得到菱形，进而找到对应边的条件。
【解析】
∵点E、G分别是AD、BD的中点，根据三角形中位线定理，可得$EG // AB$，且$EG = \frac{1}{2}AB$；
∵点H、F分别是AC、BC的中点，同理可得$HF // AB$，且$HF = \frac{1}{2}AB$；
由此可知$EG // HF$且$EG = HF$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形EGFH是平行四边形；
再看EH，点E、H分别是AD、AC的中点，根据三角形中位线定理，$EH = \frac{1}{2}CD$；
要使平行四边形EGFH是菱形，需满足一组邻边相等，即$EG = EH$，代入得$\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$，即$AB = CD$；
因此当$AB = CD$时，四边形EGFH是菱形。
【答案】$AB = CD$
【知识点】三角形中位线定理、平行四边形判定、菱形判定
【点评】本题是三角形中位线定理与平行四边形、菱形判定的综合应用，核心是利用中位线定理推导线段关系，逐步判定四边形形状，需熟练掌握相关几何定理，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.6
【解析】
∵点E、G分别是AD、BD的中点，根据三角形中位线定理，可得$EG // AB$，且$EG = \frac{1}{2}AB$；
∵点H、F分别是AC、BC的中点，同理可得$HF // AB$，且$HF = \frac{1}{2}AB$；
由此可知$EG // HF$且$EG = HF$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形EGFH是平行四边形；
再看EH，点E、H分别是AD、AC的中点，根据三角形中位线定理，$EH = \frac{1}{2}CD$；
要使平行四边形EGFH是菱形，需满足一组邻边相等，即$EG = EH$，代入得$\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$，即$AB = CD$；
因此当$AB = CD$时，四边形EGFH是菱形。
【答案】$AB = CD$
【知识点】三角形中位线定理、平行四边形判定、菱形判定
【点评】本题是三角形中位线定理与平行四边形、菱形判定的综合应用，核心是利用中位线定理推导线段关系，逐步判定四边形形状，需熟练掌握相关几何定理，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.6
16. 在一个不透明的袋子中装有白球和红球共20个，这些球除颜色外其他都相同，每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色后再放回袋中。通过多次重复试验发现，摸出红球的频率稳定在0.7附近，则估计袋子中的红球有________个。
答案
16. 14 【点拨】本题考查用频率估计概率.
【解析】通过多次重复试验发现,摸出红球的频率稳定在0.7附近,
∴ 估计从袋子中任意摸出1个球是红球的概率为0.7. 设袋子中的红球有x个,由题意得$\frac{x}{20} = 0.7$,解得x = 14,
∴ 估计袋子中的红球有14个. 故答案为14.
【解析】通过多次重复试验发现,摸出红球的频率稳定在0.7附近,
∴ 估计从袋子中任意摸出1个球是红球的概率为0.7. 设袋子中的红球有x个,由题意得$\frac{x}{20} = 0.7$,解得x = 14,
∴ 估计袋子中的红球有14个. 故答案为14.
解析
【分析】本题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路是：当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件发生的概率。已知摸出红球的频率稳定在0.7附近，据此估计摸出红球的概率为0.7，再结合概率公式（某事件的概率=该事件对应数量÷总数量），设红球数量为未知数，列方程求解即可。
【解析】解：多次重复试验中，摸出红球的频率稳定在0.7附近，因此估计从袋子中任意摸出1个球是红球的概率为0.7。设袋子中的红球有$ x $个，根据概率公式可得：
$\frac{x}{20} = 0.7$
解得：$ x = 14 $
即估计袋子中的红球有14个。
【答案】14
【知识点】用频率估计概率；概率公式
【点评】本题是用频率估计概率的基础应用题，核心是理解频率与概率的关系，结合概率公式计算即可，难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】0.8
【解析】解：多次重复试验中，摸出红球的频率稳定在0.7附近，因此估计从袋子中任意摸出1个球是红球的概率为0.7。设袋子中的红球有$ x $个，根据概率公式可得：
$\frac{x}{20} = 0.7$
解得：$ x = 14 $
即估计袋子中的红球有14个。
【答案】14
【知识点】用频率估计概率；概率公式
【点评】本题是用频率估计概率的基础应用题，核心是理解频率与概率的关系，结合概率公式计算即可，难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】0.8
17. 如图,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,将一块三角板的直角顶点放在点E处,并使它的一条直角边过点A,另一条直角边交CD于点M.若M为CD的中点,BC=6,则BE的长为
2
.答案
17. 2 【点拨】本题考查矩形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质.
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠B = ∠C = ∠ADC = 90°,AB = CD,
∴ ∠BAE + ∠AEB = 90°.
∵ ∠AEM = 90°,
∴ ∠AEB + ∠CEM = 90°,
∴ ∠BAE = ∠CEM.
∵ DE平分∠ADC,
∴ ∠CDE = $\frac{1}{2}∠ADC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$,
∴ △CDE是等腰直角三角形,
∴ EC = CD = AB.
∵ 点M为CD的中点,
∴ CD = 2CM. 在△ABE和△ECM中,$\begin{cases} ∠BAE = ∠CEM, \\ AB = EC, \\ ∠B = ∠C, \end{cases}$
∴ △ABE ≅ △ECM(ASA),
∴ BE = CM = $\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}EC$.
∵ BC = 6,
∴ BE + 2BE = 6,
∴ BE = 2. 故答案为2.
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠B = ∠C = ∠ADC = 90°,AB = CD,
∴ ∠BAE + ∠AEB = 90°.
∵ ∠AEM = 90°,
∴ ∠AEB + ∠CEM = 90°,
∴ ∠BAE = ∠CEM.
∵ DE平分∠ADC,
∴ ∠CDE = $\frac{1}{2}∠ADC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$,
∴ △CDE是等腰直角三角形,
∴ EC = CD = AB.
∵ 点M为CD的中点,
∴ CD = 2CM. 在△ABE和△ECM中,$\begin{cases} ∠BAE = ∠CEM, \\ AB = EC, \\ ∠B = ∠C, \end{cases}$
∴ △ABE ≅ △ECM(ASA),
∴ BE = CM = $\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}EC$.
∵ BC = 6,
∴ BE + 2BE = 6,
∴ BE = 2. 故答案为2.
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质逐步推导：首先利用矩形的角为直角、对边相等的性质，结合DE平分直角推出等腰直角三角形，再根据三角板的直角得到角相等，证明三角形全等，最后通过线段间的和差关系计算BE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = ∠C = ∠ADC = 90°，AB = CD，
∴ ∠BAE + ∠AEB = 90°。
∵ ∠AEM = 90°，
∴ ∠AEB + ∠CEM = 90°，
∴ ∠BAE = ∠CEM。
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠CDE = $\frac{1}{2}∠ADC = \frac{1}{2}×90° = 45°$，
∴ △CDE是等腰直角三角形，
∴ EC = CD = AB。
∵ 点M为CD的中点，
∴ CD = 2CM。
在△ABE和△ECM中，
$\begin{cases} ∠BAE = ∠CEM, \\AB = EC, \\∠B = ∠C, \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △ECM（ASA），
∴ BE = CM = $\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}EC$。
∵ BC = BE + EC = 6，
又
∵ EC = 2BE，
∴ BE + 2BE = 6，
解得 BE = 2。
【答案】
2
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查矩形、角平分线、全等三角形的相关知识，通过角的关系推导全等，进而建立线段的数量关系求解，重点锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质逐步推导：首先利用矩形的角为直角、对边相等的性质，结合DE平分直角推出等腰直角三角形，再根据三角板的直角得到角相等，证明三角形全等，最后通过线段间的和差关系计算BE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = ∠C = ∠ADC = 90°，AB = CD，
∴ ∠BAE + ∠AEB = 90°。
∵ ∠AEM = 90°，
∴ ∠AEB + ∠CEM = 90°，
∴ ∠BAE = ∠CEM。
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠CDE = $\frac{1}{2}∠ADC = \frac{1}{2}×90° = 45°$，
∴ △CDE是等腰直角三角形，
∴ EC = CD = AB。
∵ 点M为CD的中点，
∴ CD = 2CM。
在△ABE和△ECM中，
$\begin{cases} ∠BAE = ∠CEM, \\AB = EC, \\∠B = ∠C, \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △ECM（ASA），
∴ BE = CM = $\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}EC$。
∵ BC = BE + EC = 6，
又
∵ EC = 2BE，
∴ BE + 2BE = 6，
解得 BE = 2。
【答案】
2
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查矩形、角平分线、全等三角形的相关知识，通过角的关系推导全等，进而建立线段的数量关系求解，重点锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
18. 如图,在$□ ABCD$中,连接$AC$,将$△ ACD$绕点$A$顺时针旋转一定角度,得到$△ AEF$,点$C,D$分别旋转到了点$E,F$. 已知点$E$在边$BC$上,$AD=5$,$EF=2\sqrt{13}$,$BE=3$,则$AE$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
18. $\sqrt{37}$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理.
【解析】如图,作AH ⊥ BC于点H,则∠AHB = 90°,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ BC = AD = 5,AB = CD.
∵ BE = 3,
∴ CE = BC - BE = 2. 由旋转可得AE = AC,EF = CD = $2\sqrt{13}$,
∴ $EH = CH = \frac{1}{2}CE = 1,AB = 2\sqrt{13}$,
∴ BH = BE + EH = 4,
∴ AH = $\sqrt{AB^2 - BH^2} = 6$,
∴ AE = $\sqrt{AH^2 + EH^2} = \sqrt{37}$. 故答案为$\sqrt{37}$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形和旋转的性质逐步推导：首先利用平行四边形对边相等得到BC的长度，进而算出EC的长；再根据旋转的性质得到AE=AC、AB=EF；由于AE=AC，△AEC是等腰三角形，作AH⊥BC，利用等腰三角形三线合一得到H是EC中点，算出BH的长度；最后在两个直角三角形中用勾股定理求出AH，再计算AE的长度。
【解析】
如图，作AH ⊥ BC于点H，则∠AHB = 90°，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC = AD = 5，AB = CD。
∵ BE = 3，
∴ CE = BC - BE = 5 - 3 = 2。
由旋转可得：AE = AC，EF = CD = $2\sqrt{13}$，
∴ AB = CD = $2\sqrt{13}$，
∵ AE = AC，AH ⊥ BC，
∴ 根据等腰三角形三线合一，EH = CH = $\frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}×2 = 1$，
∴ BH = BE + EH = 3 + 1 = 4，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AH = $\sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 - 4^2} = \sqrt{52 - 16} = \sqrt{36} = 6$，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
AE = $\sqrt{AH^2 + EH^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$。
【答案】
$\sqrt{37}$
【知识点】
平行四边形性质、旋转性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质、旋转的性质及勾股定理，关键是利用等腰三角形三线合一确定线段长度，通过两次勾股定理求解，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形和旋转的性质逐步推导：首先利用平行四边形对边相等得到BC的长度，进而算出EC的长；再根据旋转的性质得到AE=AC、AB=EF；由于AE=AC，△AEC是等腰三角形，作AH⊥BC，利用等腰三角形三线合一得到H是EC中点，算出BH的长度；最后在两个直角三角形中用勾股定理求出AH，再计算AE的长度。
【解析】
如图，作AH ⊥ BC于点H，则∠AHB = 90°，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC = AD = 5，AB = CD。
∵ BE = 3，
∴ CE = BC - BE = 5 - 3 = 2。
由旋转可得：AE = AC，EF = CD = $2\sqrt{13}$，
∴ AB = CD = $2\sqrt{13}$，
∵ AE = AC，AH ⊥ BC，
∴ 根据等腰三角形三线合一，EH = CH = $\frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}×2 = 1$，
∴ BH = BE + EH = 3 + 1 = 4，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AH = $\sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 - 4^2} = \sqrt{52 - 16} = \sqrt{36} = 6$，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
AE = $\sqrt{AH^2 + EH^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$。
【答案】
$\sqrt{37}$
【知识点】
平行四边形性质、旋转性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质、旋转的性质及勾股定理，关键是利用等腰三角形三线合一确定线段长度，通过两次勾股定理求解，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
三、解答题(本大题共9小题,共64分.解答应写出过程)
19. (6分)如图,在$□ ABCD$中,已知点E和点F分别在AD和BC上,且$BF = DE$,求证:四边形AFCE是平行四边形.
19. (6分)如图,在$□ ABCD$中,已知点E和点F分别在AD和BC上,且$BF = DE$,求证:四边形AFCE是平行四边形.
答案
19. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质.
【证明】
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ BC // AD,BC = AD.
∵ BF = DE,
∴ BC - BF = AD - DE,即 FC = AE.
∵ FC // AE,
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
【证明】
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ BC // AD,BC = AD.
∵ BF = DE,
∴ BC - BF = AD - DE,即 FC = AE.
∵ FC // AE,
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形AFCE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先根据平行四边形ABCD的性质得到对边平行且相等，再结合已知条件BF=DE推导出FC与AE平行且相等，进而完成证明。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC // AD，BC = AD（平行四边形对边平行且相等）。
∵ BF = DE，
∴ BC - BF = AD - DE，即 FC = AE。
又
∵ BC // AD，
∴ FC // AE（平行于同一直线的线段互相平行）。
∴ 四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC // AD，BC = AD。
∵ BF = DE，
∴ BC - BF = AD - DE，即 FC = AE。
∵ FC // AE，
∴ 四边形AFCE是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，主要考查平行四边形的性质与判定定理的应用，解题关键是利用平行四边形的性质推导出所需的边和角的关系，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.6
要证明四边形AFCE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先根据平行四边形ABCD的性质得到对边平行且相等，再结合已知条件BF=DE推导出FC与AE平行且相等，进而完成证明。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC // AD，BC = AD（平行四边形对边平行且相等）。
∵ BF = DE，
∴ BC - BF = AD - DE，即 FC = AE。
又
∵ BC // AD，
∴ FC // AE（平行于同一直线的线段互相平行）。
∴ 四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC // AD，BC = AD。
∵ BF = DE，
∴ BC - BF = AD - DE，即 FC = AE。
∵ FC // AE，
∴ 四边形AFCE是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，主要考查平行四边形的性质与判定定理的应用，解题关键是利用平行四边形的性质推导出所需的边和角的关系，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.6
20. (6 分)在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共 60 个,它们除颜色不同外,其余都相同,王颖做摸球试验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球,记下颜色,再把它放回盒子中搅匀,经过大量重复上述摸球的过程,发现摸到白球的频率稳定于 0.25.
(1)估计摸到白球的概率将会接近________;
(2)如果要使摸到白球的概率为$\dfrac{2}{5}$,需要往盒子里再放入多少个白球?
(1)估计摸到白球的概率将会接近________;
(2)如果要使摸到白球的概率为$\dfrac{2}{5}$,需要往盒子里再放入多少个白球?
答案
20. 【点拨】本题考查概率公式及用频率估计概率.
【解析】(1)
∵ 经过大量重复试验,发现摸到白球的频率稳定于0.25,
∴ 估计摸到白球的概率将会接近0.25.
故答案为0.25.
(2)盒子里原有白球个数为60 × 0.25 = 15(个).
设需要往盒子里再放入x个白球,由题意,知
$\frac{2}{5}(x + 60) - 15 = x$,
解得x = 15.
答:需要往盒子里再放入15个白球.
【解析】(1)
∵ 经过大量重复试验,发现摸到白球的频率稳定于0.25,
∴ 估计摸到白球的概率将会接近0.25.
故答案为0.25.
(2)盒子里原有白球个数为60 × 0.25 = 15(个).
设需要往盒子里再放入x个白球,由题意,知
$\frac{2}{5}(x + 60) - 15 = x$,
解得x = 15.
答:需要往盒子里再放入15个白球.
解析
【分析】
首先，第一问依据“大量重复试验时，事件发生的频率稳定值可作为该事件概率的估计值”直接求解；第二问先通过第一问的概率算出原有白球数量，再设需加入的白球数为未知数，结合加入后摸到白球的概率，利用概率公式列出方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 大量重复试验中，事件发生的频率稳定于某个常数时，该常数即为事件概率的估计值。已知摸到白球的频率稳定于0.25，因此估计摸到白球的概率接近0.25。
(2) 先计算盒子中原有白球的数量：原有总球数60个，白球概率估计为0.25，故原有白球数为 $60 × 0.25 = 15$ 个。
设需要往盒子里再放入 $x$ 个白球，此时总球数变为 $60 + x$ 个，白球数变为 $15 + x$ 个。根据题意，加入后摸到白球的概率为 $\frac{2}{5}$，结合概率公式可得：
$\frac{15 + x}{60 + x} = \frac{2}{5}$
交叉相乘得：$5(15 + x) = 2(60 + x)$
展开计算：$75 + 5x = 120 + 2x$
移项合并同类项得：$3x = 45$，解得 $x = 15$。
【答案】
(1) 0.25；(2) 需要往盒子里再放入15个白球。
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查概率的基础应用，核心是理解频率与概率的关系，以及利用概率公式建立方程解决实际问题，题目难度不大，注重基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.6
首先，第一问依据“大量重复试验时，事件发生的频率稳定值可作为该事件概率的估计值”直接求解；第二问先通过第一问的概率算出原有白球数量，再设需加入的白球数为未知数，结合加入后摸到白球的概率，利用概率公式列出方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 大量重复试验中，事件发生的频率稳定于某个常数时，该常数即为事件概率的估计值。已知摸到白球的频率稳定于0.25，因此估计摸到白球的概率接近0.25。
(2) 先计算盒子中原有白球的数量：原有总球数60个，白球概率估计为0.25，故原有白球数为 $60 × 0.25 = 15$ 个。
设需要往盒子里再放入 $x$ 个白球，此时总球数变为 $60 + x$ 个，白球数变为 $15 + x$ 个。根据题意，加入后摸到白球的概率为 $\frac{2}{5}$，结合概率公式可得：
$\frac{15 + x}{60 + x} = \frac{2}{5}$
交叉相乘得：$5(15 + x) = 2(60 + x)$
展开计算：$75 + 5x = 120 + 2x$
移项合并同类项得：$3x = 45$，解得 $x = 15$。
【答案】
(1) 0.25；(2) 需要往盒子里再放入15个白球。
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查概率的基础应用，核心是理解频率与概率的关系，以及利用概率公式建立方程解决实际问题，题目难度不大，注重基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.6
