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21. (6分)某校九年级数学兴趣小组就“最想去的哈尔滨市旅游景点”,随机调查了本校部分学生,提供五个具体景点选择:A:冰雪大世界;B:中央大街;C:东北虎林园;D:亚布力滑雪度假区;E:极地馆;F:其他. 要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点,如图是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图.
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,小明和小亮恰好都选了冰雪大世界(只在五个具体景点中选择)的概率是
(2)本次调查一共抽取了
(3)若该学校共有2 400名学生,请你根据调查结果估计该校最想去“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数.
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,小明和小亮恰好都选了冰雪大世界(只在五个具体景点中选择)的概率是
$\dfrac{1}{25}$
;(2)本次调查一共抽取了
60
名同学;扇形统计图中,旅游景点D所对应的扇形圆心角的度数为$72°$
,并补全条形统计图;(3)若该学校共有2 400名学生,请你根据调查结果估计该校最想去“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数.
答案
21. 【点拨】本题考查用列表法或画树状图法求概率,条形统计图,扇形统计图及用样本估计总体.
【解析】(1)根据题意,列表如下:
| 小亮\小明 | A | B | C | D | E |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A | AA | BA | CA | DA | EA |
| B | AB | BB | CB | DB | EB |
| C | AC | BC | CC | DC | EC |
| D | AD | BD | CD | DD | ED |
| E | AE | BE | CE | DE | EE |
由表可知,共有25种等可能的结果,他们恰好都选了冰雪大世界的结果有1种,则他们恰好都选了冰雪大世界的概率是$\frac{1}{25}$.
故答案为$\frac{1}{25}$.
(2)这次调查一共抽取的学生人数为18 ÷ 30% = 60(名),扇形统计图中,旅游景点D所对应的扇形圆心角的度数为$360° × \frac{12}{60} = 72°$,选择景点C的学生人数为60 - 18 - 12 - 12 - 6 - 3 = 9(名),补全条形统计图如图所示.
故答案为60,$72°$.
(3)$2400 × \frac{18 + 12}{60} = 1200$(名).
答:估计该校最想去“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数为1200名.
解析
【分析】
本题分为三个小问题：①概率计算：小明和小亮均从A-E共5个景点选择，需通过列表法确定所有等可能结果数，再找出两人都选A的结果数，计算概率；②统计量计算：利用扇形图中A的人数和占比求总人数，再根据总人数计算D的圆心角，补全条形图需先求C的人数；③用样本估计总体：先算样本中A和B的占比，再乘以全校总人数得到估计值。
【解析】
(1) 小明和小亮都从A、B、C、D、E这5个景点中选择，列表得所有等可能结果共25种，其中两人都选冰雪大世界（A）的结果有1种，故概率为$\frac{1}{25}$。
(2) 总人数：$18÷30\%=60$（名）；D对应的扇形圆心角：$360°×\frac{12}{60}=72°$；C的人数：$60-18-12-12-6-3=9$（名），据此补全条形统计图（C的条形高度对应9）。
(3) 样本中最想去A和B的人数和为$18+12=30$，占比为$\frac{30}{60}=0.5$，故该校对应人数为$2400×0.5=1200$（名）。
【答案】
(1) $\frac{1}{25}$；
(2) $60$，$72°$；补全条形统计图（C景点对应人数为9）；
(3) $1200$名。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、概率计算
【点评】
本题考查统计与概率的综合应用，涉及统计图的计算、概率求解及用样本估计总体，基础知识点的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问题：①概率计算：小明和小亮均从A-E共5个景点选择，需通过列表法确定所有等可能结果数，再找出两人都选A的结果数，计算概率；②统计量计算：利用扇形图中A的人数和占比求总人数，再根据总人数计算D的圆心角，补全条形图需先求C的人数；③用样本估计总体：先算样本中A和B的占比，再乘以全校总人数得到估计值。
【解析】
(1) 小明和小亮都从A、B、C、D、E这5个景点中选择，列表得所有等可能结果共25种，其中两人都选冰雪大世界（A）的结果有1种，故概率为$\frac{1}{25}$。
(2) 总人数：$18÷30\%=60$（名）；D对应的扇形圆心角：$360°×\frac{12}{60}=72°$；C的人数：$60-18-12-12-6-3=9$（名），据此补全条形统计图（C的条形高度对应9）。
(3) 样本中最想去A和B的人数和为$18+12=30$，占比为$\frac{30}{60}=0.5$，故该校对应人数为$2400×0.5=1200$（名）。
【答案】
(1) $\frac{1}{25}$；
(2) $60$，$72°$；补全条形统计图（C景点对应人数为9）；
(3) $1200$名。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、概率计算
【点评】
本题考查统计与概率的综合应用，涉及统计图的计算、概率求解及用样本估计总体，基础知识点的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
22. (6 分)如图,在$□ ABCD$中,$AB = AD$,E,F 是对角线 BD 上的点,且$BE = DF$,连接 AE,CF,AF,CE.
求证:四边形 AFCE 是菱形.
求证:四边形 AFCE 是菱形.
答案
22. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质.
【证明】如题图,连接AC交BD于点O.
∵ AB = AD,四边形ABCD是平行四边形,
∴ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC ⊥ BD,OA = OC,OB = OD.
∵ BE = DF,
∴ OB - BE = OD - DF,即 OE = OF,
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
∵ AC ⊥ BD,
∴ 四边形AFCE是菱形.
【证明】如题图,连接AC交BD于点O.
∵ AB = AD,四边形ABCD是平行四边形,
∴ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC ⊥ BD,OA = OC,OB = OD.
∵ BE = DF,
∴ OB - BE = OD - DF,即 OE = OF,
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
∵ AC ⊥ BD,
∴ 四边形AFCE是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形AFCE是菱形，需结合已知条件逐步推导：首先根据平行四边形ABCD中AB=AD，判定原平行四边形为菱形，得到对角线的性质；再连接AC交BD于点O，利用BE=DF推出OE=OF，结合OA=OC证明AFCE是平行四边形；最后根据AC⊥BD，由对角线垂直的平行四边形是菱形完成证明。
【解析】
证明：连接AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD（菱形的对角线互相垂直且平分）。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
又
∵ OA=OC，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形AFCE是菱形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定定理，解题关键是先由AB=AD判定原平行四边形ABCD为菱形，再利用对角线的性质推导目标四边形的形状，需熟练掌握平行四边形与菱形的判定及性质。
【难度系数】
0.5
要证明四边形AFCE是菱形，需结合已知条件逐步推导：首先根据平行四边形ABCD中AB=AD，判定原平行四边形为菱形，得到对角线的性质；再连接AC交BD于点O，利用BE=DF推出OE=OF，结合OA=OC证明AFCE是平行四边形；最后根据AC⊥BD，由对角线垂直的平行四边形是菱形完成证明。
【解析】
证明：连接AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD（菱形的对角线互相垂直且平分）。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
又
∵ OA=OC，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形AFCE是菱形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定定理，解题关键是先由AB=AD判定原平行四边形ABCD为菱形，再利用对角线的性质推导目标四边形的形状，需熟练掌握平行四边形与菱形的判定及性质。
【难度系数】
0.5
