23. (6分)如图是由小正方形组成的$8×8$的网格,每个小正方形的顶点叫格点.$A,B,C$三点是格点,点$P$在$BC$上,仅用无刻度的直尺在网格中完成画图.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)在图1中,画出$△ ABC$中$AC$边上的高$BH$;
(2)在图2中,画出平行四边形$ABCD$,再在$AD$上画点$E$,使得$DE = BP$.

23. 【点拨】本题考查作图——复杂作图.
【解析】(1)如图1,BH即为所求.

(2)如图2,平行四边形ABCD,点E即为所求.

【分析】
本题是网格中的几何作图题，需结合网格的格点特征和几何图形的性质解题：
(1) 三角形的高是从顶点向对边作的垂线段，因此要作AC边上的高BH，需过点B作AC的垂线。观察网格，AC的横向与纵向格数差相等，斜率为-1，其垂线斜率为1，据此在网格中找到过B且斜率为1的直线，与AC交于H，BH即为所求高。
(2) 平行四边形的对边平行且相等，据此确定点D的位置，使AD平行且等于BC，连接各边得到平行四边形ABCD；再根据线段相等的要求，在AD上找到点E，使DE的长度等于BP的长度，完成作图。
【解析】
(1) 利用网格中直线的斜率关系，找到过点B且垂直于AC的格点连线，与AC相交于点H，连接BH，即为AC边上的高。
(2) 根据平行四边形对边平行且相等，结合格点确定D点，画出平行四边形ABCD；再在AD上截取DE=BP，确定点E的位置，完成作图。
【答案】
(1) 图1中BH为△ABC中AC边上的高；(2) 图2中平行四边形ABCD及点E为所求，对应作图痕迹如参考答案所示。
【知识点】
网格作图、三角形的高、平行四边形的性质
【点评】
本题考查网格背景下的复杂作图，需运用几何基本性质（垂直、平行、线段相等），结合网格的直观性完成作图，侧重考查学生的几何作图能力与空间想象能力。
【难度系数】
0.5

24. (8分)如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,连接DE,DF,EF和EC,EC和DF相交于点O.
(1)求证:$OE=\frac{1}{2}EC$;
(2)若$OD=2$,求AB的长.

24. 【点拨】本题考查三角形中位线定理及平行四边形的判定与性质.
【解析】(1)证明:
∵ 点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,
∴ DE,EF是△ABC的中位线,
∴ DE // CF,EF // CD,
∴ 四边形CDEF是平行四边形,
∴ $OE = \frac{1}{2}EC$.
(2)
∵ 四边形CDEF是平行四边形,OD = 2,
∴ DF = 2OD = 2 × 2 = 4.
∵ 点D,F分别是AC,BC的中点,
∴ DF是△ABC的中位线,
∴ AB = 2DF = 2 × 4 = 8.

【分析】
要解决这道题，需结合三角形中位线定理和平行四边形的性质分析：
(1) 先根据各边中点的条件，利用三角形中位线定理得到线段平行关系，判定四边形CDEF为平行四边形，再依据平行四边形对角线互相平分的性质，推导OE与EC的关系；
(2) 利用平行四边形对角线互相平分求出DF的长度，再根据DF是△ABC的中位线，结合中位线定理计算AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，
∴ DE、EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得：$DE // CF$，$EF // CD$，
∴ 四边形CDEF是平行四边形，
∵ EC、DF是平行四边形CDEF的对角线，相交于点O，
∴ 平行四边形对角线互相平分，即O为EC中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}EC$。
(2) 解：
∵ 四边形CDEF是平行四边形，EC和DF相交于点O，
∴ 平行四边形对角线互相平分，即O为DF中点，
∴ $DF = 2OD$，
已知$OD=2$，则$DF = 2×2 = 4$，
又
∵ 点D、F分别是AC、BC的中点，
∴ DF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，
∴ $AB = 2DF = 2×4 = 8$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) AB的长为8。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理和平行四边形的性质，解题核心是利用中点关系推导中位线、判定平行四边形，再结合平行四边形对角线性质求解，需熟练掌握相关定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6

25. (8分)如图,将$□ ABCD$纸片沿$EF$折叠,使点$C$与点$A$重合,点$D$落在点$G$处.
(1)求证:$BE = GF$;
(2)若$△ AGF$的面积等于$8$,$\frac{EC}{BE}=\frac{3}{2}$,试求平行四边形$ABCD$的面积.

25. 【点拨】本题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质及三角形面积公式.
【解析】(1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB = CD,∠B = ∠D,∠BAD = ∠BCD.
由折叠知∠G = ∠D = ∠B,∠GAE = ∠BCD,AG = CD = AB,
∴ ∠BAD = ∠GAE,
∴ ∠BAE + ∠EAF = ∠GAF + ∠EAF,
∴ ∠BAE = ∠GAF.
在△ABE和△AGF中,$\begin{cases} ∠B = ∠G, \\ AB = AG, \\ ∠BAE = ∠GAF, \end{cases}$
∴ △ABE ≅ △AGF(ASA),
∴ BE = GF.
(2)如题图,连接AC,由(1)知△ABE ≅ △AGF,
∴ $S_{△ABE} = S_{△AGF} = 8$.
∵ $\frac{EC}{BE} = \frac{3}{2}$,
∴ $\frac{S_{△ACE}}{S_{△ABE}} = \frac{S_{△ACE}}{8} = \frac{3}{2}$,
∴ $S_{△ACE} = 12$,
∴ $S_{△ABC} = S_{△ABE} + S_{△ACE} = 8 + 12 = 20$,
∴ $S_{□ABCD} = 2S_{△ABC} = 2 × 20 = 40$.

【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、折叠的性质推导全等三角形，再利用全等三角形的性质和同高三角形的面积关系求解。具体思路：(1) 先由平行四边形性质得到边、角关系，结合折叠性质得到对应边和角相等，通过角的等量代换得到全等条件，用ASA证明三角形全等，进而证得BE=GF；(2) 利用全等三角形面积相等得到△ABE的面积，再根据EC与BE的比例关系，结合同高三角形面积比等于底之比求出△ACE的面积，进而得到△ABC的面积，最终求出平行四边形的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，∠B = ∠D，∠BAD = ∠BCD。
由折叠的性质可知：∠G = ∠D，AG = CD，∠GAE = ∠BCD，
∴ AG = AB，∠G = ∠B，∠BAD = ∠GAE，
∴ ∠BAD - ∠EAF = ∠GAE - ∠EAF，即∠BAE = ∠GAF。
在△ABE和△AGF中，
$\begin{cases}∠B = ∠G \\AB = AG \\∠BAE = ∠GAF\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △AGF（ASA），
∴ BE = GF。
(2) 解：
由(1)知△ABE ≌ △AGF，
∴ $S_{△ABE} = S_{△AGF} = 8$。
∵ △ABE和△ACE同高，且$\frac{EC}{BE} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{S_{△ACE}}{S_{△ABE}} = \frac{EC}{BE} = \frac{3}{2}$，
即$\frac{S_{△ACE}}{8} = \frac{3}{2}$，解得$S_{△ACE} = 12$。
∴ $S_{△ABC} = S_{△ABE} + S_{△ACE} = 8 + 12 = 20$。
∵ 平行四边形ABCD的对角线AC将其分为面积相等的两个三角形，
∴ $S_{□ABCD} = 2S_{△ABC} = 2×20 = 40$。
【答案】
40
【知识点】
平行四边形性质，全等三角形判定，折叠性质
【点评】
本题将平行四边形与折叠结合，通过全等三角形证明线段相等，利用同高三角形面积关系求解面积，综合性适中，需熟练掌握几何基本性质。
【难度系数】
0.5