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24. (6分)如图,已知直线$ l $及位于其两侧的两点$ A,B $. 请用尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
(1)在图1中的直线$ l $上求一点$ P $,使$ PA = PB $;
(2)在图2中的直线$ l $上求一点$ Q $,使直线$ l $平分$ ∠ AQB $.
(1)在图1中的直线$ l $上求一点$ P $,使$ PA = PB $;
(2)在图2中的直线$ l $上求一点$ Q $,使直线$ l $平分$ ∠ AQB $.
答案
24.【点拨】本题考查作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
【解析】(1)如图1,点$P$即为所求.
(2)如图2,点$Q$即为所求.
25. (8 分)上数学课时,王老师在讲完乘法公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的多种运用后,要求同学们运用所学知识解答:求代数式$x^2+4x+5$的最小值? 同学们经过交流、讨论,最后总结出如下解答方法:
解:$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$.
$\because (x+2)^2≥0$,
$\therefore$当$x=-2$时,$(x+2)^2$的值最小,最小值是0,
$\therefore (x+2)^2+1≥1$,
$\therefore$当$x=-2$时,$x^2+4x+5$的最小值是1.
请你根据上述方法,解答下列各题.
(1)知识再现:当$x=$
(2)知识运用:若$y=-x^2+2x-3$,当$x=$
(3)知识拓展:若$-x^2+10x+y+6=0$,求$2x+y$的最小值.
解:$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$.
$\because (x+2)^2≥0$,
$\therefore$当$x=-2$时,$(x+2)^2$的值最小,最小值是0,
$\therefore (x+2)^2+1≥1$,
$\therefore$当$x=-2$时,$x^2+4x+5$的最小值是1.
请你根据上述方法,解答下列各题.
(1)知识再现:当$x=$
3
时,代数式$x^2-6x+13$的最小值是4
;(2)知识运用:若$y=-x^2+2x-3$,当$x=$
1
时,$y$有最大
(填“大”或“小”)值,这个值是-2
;(3)知识拓展:若$-x^2+10x+y+6=0$,求$2x+y$的最小值.
答案
25.【点拨】本题考查配方法的应用,完全平方公式的非负性.
【解析】(1)$x^2 -6x +13 = x^2 -6x +9 +4 = (x-3)^2 +4$.
$\because (x-3)^2≥0$,$\therefore$ 当$x=3$时,$(x-3)^2$的值最小,最小值是0,
$\therefore (x-3)^2 +4≥4$,$\therefore$ 当$x=3$时,$x^2 -6x +13$的最小值是4. 故答案为3,4.
(2)$y = -x^2 +2x -3 = -x^2 +2x -1 -2 = -(x-1)^2 -2$,
则当$x=1$时,$y=-x^2 +2x -3$有最大值,最大值是-2. 故答案为1,大,-2.
(3)$-x^2 +10x +y +6 =0$,则$y = x^2 -10x -6$,
$\therefore 2x + y = x^2 -8x -6 = x^2 -8x +16 -16 -6 = x^2 -8x +16 -22 = (x-4)^2 -22≥ -22$,
$\therefore 2x + y$的最小值是-22.
【解析】(1)$x^2 -6x +13 = x^2 -6x +9 +4 = (x-3)^2 +4$.
$\because (x-3)^2≥0$,$\therefore$ 当$x=3$时,$(x-3)^2$的值最小,最小值是0,
$\therefore (x-3)^2 +4≥4$,$\therefore$ 当$x=3$时,$x^2 -6x +13$的最小值是4. 故答案为3,4.
(2)$y = -x^2 +2x -3 = -x^2 +2x -1 -2 = -(x-1)^2 -2$,
则当$x=1$时,$y=-x^2 +2x -3$有最大值,最大值是-2. 故答案为1,大,-2.
(3)$-x^2 +10x +y +6 =0$,则$y = x^2 -10x -6$,
$\therefore 2x + y = x^2 -8x -6 = x^2 -8x +16 -16 -6 = x^2 -8x +16 -22 = (x-4)^2 -22≥ -22$,
$\therefore 2x + y$的最小值是-22.
