1. 如图,光点$P$从$(0,2)$处发出,沿所示的方向运动,每当碰到长方形$OABC$的边界时反弹,反弹时反射角等于入射角(遵循光的反射定律).当光点$P$第2026次碰到长方形$OABC$的边界时,光点$P$的坐标为（）


A.$(8,2)$
B.$(6,0)$
C.$(2,4)$
D.$(6,4)$

1. B 提示:如图,光点 P 从(0,2)处发出,第一次碰到边界在(2,0)、第二次碰到边界在(6,4)、第三次碰到边界在(8,2)、第四次碰到边界在(6,0)、第五次碰到边界在(2,4)、第六次碰到边界回到(0,2),则光点每经过六次反弹就重新回到(0,2).因为 2 026÷6=337……4,所以当光点 P 第 2 026 次碰到长方形 OABC 的边界时,在第四次碰到边界的位置,此时光点 P 的坐标为(6,0).

2. 如图,直线 $y=ax+b$ 与 $y=mx+n$ 分别交$x$轴于点$A(-3,0),B(2,0)$,两直线相交于点$C(1,c)$,则不等式$(ax+b)(mx+n)＜0$的解集是.

2. $x＜-3$ 或 $x＞2$ 提示:由题意可知,当不等式小于0时,$\begin{cases}ax+b＞0,\\mx+n＜0\end{cases}$或$\begin{cases}ax+b＜0,\\mx+n＞0.\end{cases}$由图象,得当$x＜-3$时,$y=ax+b＜0$;当$x＞-3$时,$y=ax+b＞0$;当$x＜2$时,$y=mx+n＞0$;当$x＞2$时,$y=mx+n＜0$.
则不等式组$\begin{cases}ax+b＞0,\\mx+n＜0\end{cases}$的解集为 $x＞2$,不等式组$\begin{cases}ax+b＜0,\\mx+n＞0\end{cases}$的解集为 $x＜-3$. 综上所述,$x＜-3$ 或$x＞2$.

3. 如图,一次函数 $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$.
(1) 点 $A$ 的坐标是,点 $B$ 的坐标是.
(2) 若将直线 $AB$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45°$,求旋转后的直线的函数表达式.
(3) 若 $F$ 为 $x$ 轴上一点,以点 $F$ 为直角顶点,$BF$ 为腰作等腰直角三角形 $BFQ$,连接 $AQ$,点 $E$ 的坐标为 $(0,-2)$,连接 $EQ$. 是否存在点 $Q$,使 $|AQ-EQ|$ 最大? 若存在,求出点 $Q$ 的坐标;若不存在,请说明理由.

3. 解:(1) $(8,0)$ $(0,4)$
(2) 如图 1,设将线段 BA 绕点 A 顺时针旋转 $90°$,点 B 的对应点为 C,过点 C 作 $CD⊥ x$ 轴,垂足为 D,连接直线 BC. 所以$∠ BAO+∠ CAD=90°=∠ BAO+∠ ABO$,$∠ ADC=∠ BOA=90°$,$CA=AB$,所以$∠ CAD=∠ ABO$,
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$,即直线 AB 绕点 B 逆时针旋转 $45°$ 得到直线 BC. 因为点 A(8,0),点 B(0,4),所以 $AO=8,BO=4$. 易证$△ CAD≌△ ABO$(AAS),所以 $AD=BO=4,CD=AO=8$,所以 $OD=OA+AD=8+4=12$,所以点 C(12,8). 设直线 BC 的函数表达式为 $y=kx+b$,将点 B(0,4),点 C(12,8)代入,得
$\begin{cases}b=4,\\12k+b=8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=4,\end{cases}$所以直线 BC 的函数表达式为 $y=\frac{1}{3}x+4$,即旋转后的直线的函数表达式为 $y=\frac{1}{3}x+4$.

(3) 存在点 Q,使$|AQ-EQ|$最大,点 Q 的坐标为$(-\frac{8}{5},-\frac{12}{5})$.
分两种情况讨论:①如图 2,当点 Q 在 BF 的右侧时,连接 AE,此时$|AQ-EQ|＜AE$,$|AQ-EQ|$不存在最大值. ②如图 3,当点 Q 在 BF 的左侧,且点 Q 在 AE 的延长线上时,$|AQ-EQ|$有最大值,最大值为 AE 的长. 设点 F 的坐标为$(a,0)$,过点 Q 作$QH⊥ x$轴于点 H. 因为$△ BFQ$为等腰直角三角形,所以$BF=QF$,$∠ BFQ=90°$,所以$∠ QFH+∠ BFH=90°=∠ FBO+∠ BFO$,所以$∠ QFH=∠ FBO$. 在$△ HFQ$和$△ OBF$中,$\begin{cases}∠ FHQ=∠ BOF=90°,\\∠ QFH=∠ FBO,\\FQ=BF,\end{cases}$
所以$△ HFQ≌△ OBF$(AAS),所以 $HQ=OF=a$,$FH=BO=4$,所以 $OH=FH-OF=4-a$,所以点 Q$(a-4,-a)$. 由点 A(8,0),E(0,-2),易求得直线 AE 的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x-2$. 因为点 Q$(a-4,-a)$在直线 AE 上,所以$\frac{1}{4}(a-4)-2=-a$,所以$a=\frac{12}{5}$,所以点 Q 的坐标为$(-\frac{8}{5},-\frac{12}{5})$.