1. 如图,一次函数 $y=x+\sqrt{2}$ 的图象与坐标轴分别交于 A,B 两点,P,C 分别是线段AB,OB 上的点,且 $∠ OPC=45°,PC=$$PO$,则点 P 的坐标为.

1. $(-1,\sqrt{2}-1)$ 提示:由题意易得点$A(-\sqrt{2},0),B(0,\sqrt{2})$,所以 $OA=OB$,所以$∠PAO=∠CBP=45°$. 因为 $∠OPC=45°, PC = PO$, 所以$∠PCO=∠COP=67.5°$, 所以 $∠BPC=∠AOP=22.5°$,所以$△ BPC≌△ AOP(\mathrm{AAS})$,所以 $PB=OA=\sqrt{2}$. 如图,过点 P 作 $PD⊥ y$ 轴,垂足为 D,所以 $PD=BD=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$,所以 $DO=OB-BD=\sqrt{2}-1$. 因为点 P 在第二象限,所以点 $P(-1,\sqrt{2}-1)$.

2. 如图,在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$,$∠ CAB=30°$, 则 $AB=2BC$. 请在这一结论的基础上继续思考: 若 $AC=2$, $D$ 是$AB$ 的中点, $P$ 为 $CD$ 上一动点, 则 $AP+$$\dfrac{1}{2}CP$ 的最小值为.

2. $\sqrt{3}$ 提示:如图,过点 C 作 $CE⊥ AB$ 于点 E,过点 P 作 $PF⊥ EC$ 于点 F,连接 AF. 因为 $∠ACB=90°$,$D$ 是 $AB$ 的中点,所以 $CD=\dfrac{1}{2}AB=BD$. 因为$∠BAC=30°$,所以 $∠B=60°$,所以$△ BCD$ 为等边三角形,所以 $∠BCD=60°$. 因为 $CE⊥ AB$,所以 $∠DCE=\dfrac{1}{2}∠BCD=30°$,所以 $PF=\dfrac{1}{2}CP$,所以 $AP+\dfrac{1}{2}CP=AP+PF$. 由两点之间线段最短可知,当 A,P,F 三点共线时,$AP+PF$ 的值最小,最小值为 AF 的长. 由垂线段最短可知,当点 P 与点 D 重合时,AF 的长取得最小值,最小值为 AE 的长,即 $AP+\dfrac{1}{2}CP$ 的最小值为 AE 的长. 因为 $∠BAC=30°$,$AC=2$,所以 $CE=\dfrac{1}{2}AC=1$,所以 $AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3}$,即 $AP+\dfrac{1}{2}CP$ 的最小值为$\sqrt{3}$.

3. 如图,一次函数 $y=\dfrac{3}{4}x-3$ 的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$,且与经过$x$轴负半轴上的点$C$的一次函数$y=kx+$$b$的图象相交于点$D$,直线$CD$与$y$轴相交于点$E$,点$E$与点$B$关于$x$轴对称,$OA=3OC.$
(1) 直线$CD$的函数表达式为;
点$D$的坐标为.
(2)$P$为线段$DE$上的一个动点,连接$BP$.
①若直线$BP$将$△ ACD$分为面积之比为$3:4$的两部分,求点$P$的坐标.
②是否存在某个点$P$,将$△ BPD$沿着直线$BP$翻折,使得点$D$恰好落在直线$AB$上方的坐标轴上?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

3. 解:(1) $y=\dfrac{9}{4}x+3$ $(-4,-6)$
提示:对于函数 $y=\dfrac{3}{4}x-3$,当 $y=0$ 时,$x=4$;当$x=0$ 时,$y=-3$. 所以点 $A(4,0),B(0,-3)$,所以$OA=4$. 因为点 E 与点 B 关于 x 轴对称,$OA=3OC$,所以点 $E(0,3)$,$OC=\dfrac{4}{3}$,所以点 $C(-\dfrac{4}{3},0)$. 将点$C(-\dfrac{4}{3},0),E(0,3)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases} -\dfrac{4}{3}k+b=0,\\b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{9}{4},\\b=3, \end{cases}$ 所以直线 CD 的函数表达式为 $y=\dfrac{9}{4}x+3$. 令$\dfrac{9}{4}x+3=\dfrac{3}{4}x-3$,解得 $x=-4$,此时 $y=\dfrac{3}{4}×(-4)-3=-6$,所以点 D 的坐标为$(-4,-6)$.
①如图 1,过点 D 作 $DF⊥ x$ 轴于点F,连接 BC,所以 $DF=6$. 因为 $OA=4$,$OC=\dfrac{4}{3}$,所以 $AC=\dfrac{16}{3}$,所以 $S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AC· DF=16$. 因为点 $A(4,0),B(0,-3),D(-4,-6)$,所以 B 是线段 AD 的中点,所以 $S_{△ DBC}=S_{△ ACB}$. 当点 P 在线段 CD 上时,则 $S_{△ DBP}=\dfrac{3}{7}S_{△ ACD}$. 因为 $S_{△ DBP}=\dfrac{1}{2}(x_P-x_D)· BE$,所以$\dfrac{1}{2}(x_P+4)×6=\dfrac{3}{7}×16$,解得 $x_P=-\dfrac{12}{7}$,所以点 $P(-\dfrac{12}{7},-\dfrac{6}{7})$. 当点 P 在线段 CE 上时,设直线 BP 与 x 轴交于点 Q,如图 2,则$S_{△ ABQ}=\dfrac{3}{7}S_{△ ACD}$. 因为 $S_{△ ABQ}=\dfrac{1}{2}AQ· BO$,所以$\dfrac{1}{2}AQ· 3=\dfrac{3}{7}×16$,解得 $AQ=\dfrac{32}{7}$,所以$OQ=AQ-OA=\dfrac{4}{7}$,所以点 $Q(-\dfrac{4}{7},0)$,所以直线 BQ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{21}{4}x-3$,令$\dfrac{9}{4}x+3=-\dfrac{21}{4}x-3$,解得 $x=-\dfrac{4}{5}$,所以点$P(-\dfrac{4}{5},\dfrac{6}{5})$. 综上所述,若直线 BP 将$△ ACD$分为面积之比为 3:4 的两部分,则点 P 的坐标为$(-\dfrac{12}{7},-\dfrac{6}{7})$或$(-\dfrac{4}{5},\dfrac{6}{5})$.
②分三种情况:当点 D 落在 x 轴负半轴上点 $D_1$ 处时,如图 3,连接 BD,由折叠的性质可知,$∠DBP=∠D_1BP$,$BD=BD_1$. 由(1)可知,$OB=3$,$OA=4$,则 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.又因为点 $B(0,-3)$,点 $D(-4,-6)$,所以$BD_1=BD=5$,所以 $OD_1=4$,所以$△ ABO≌△ D_1BO(\mathrm{SSS})$,所以 $∠OAB=∠OD_1B$. 因为$∠DBD_1=∠OAB+∠OD_1B$,所以$∠OD_1B=∠D_1BP$,所以 $BP// x$ 轴,所以点 P 的纵坐标为-3,易得点 $P(-\dfrac{8}{3},-3)$. 当点 D 落在 y 轴正半轴上点 $D_2$ 处时,如图 4,连接 $BD_2$,过点P 作 $PG⊥ AD$ 于点 G,$PH⊥ y$ 轴于点 H,过点 D 作 $DM⊥ y$ 轴于点 M. 由折叠的性质,得BP 平分 $∠DBD_2$,所以 $PG=PH$. 因为$S_{△ BDE}=S_{△ DBP}+S_{△ BEP}$,所以 $\dfrac{1}{2}BE· DM=\dfrac{1}{2}BD· PG+\dfrac{1}{2}BE· PH$,即$\dfrac{1}{2}×6×4=\dfrac{1}{2}×5PG+\dfrac{1}{2}×6PH$,解得 $PG=PH=\dfrac{24}{11}$,所以点$P(-\dfrac{24}{11},-\dfrac{21}{11})$. 当点 D 落在 x 轴正半轴上点$D_3$ 处时,如图 5,此时点 $D_3$ 和点 A 重合,不符合题意,舍去. 综上所述,当点 P 的坐标为$(-\dfrac{8}{3},-3)$或$(-\dfrac{24}{11},-\dfrac{21}{11})$时,将$△ BPD$ 沿着直线 BP 翻折,使得点 D 恰好落在直线 AB 上方的坐标轴上.