1. (2026·娄底期末)如图,点A,D,C,B在同一条直线上,$AD=BC$,$AE=BF$,$CE=DF$.
(1)求证:$AE// FB$;
(2)连接$EF$交$CD$于点$G$,求证:$CG=DG$.

(1)$\because$ 点 $A, D, C, B$ 在同一条直线上, $A D=B C, \therefore A C=B D$.
又$\because A E=B F, C E=D F, \therefore △ A C E ≌ △ B D F(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ E A C=$ $∠ F B D, \therefore A E / / F B$.
(2)$\because$ 连接 $E F$ 交 $C D$ 于点 $G, \therefore ∠ A G E=∠ B G F$. 又$\because ∠ E A C=$ $∠ F B D, A E=B F, \therefore △ A G E ≌ △ B G F(\mathrm{AAS}), \therefore A G=B G$.
$\because A D=B C, \therefore B G-B C=A G-A D$, 即 $C G=D G$.

2. (2026·广州期末) 如图①所示，A , E , F , C 在一条直线上，$AE=CF$，过 E , F 分别作 $DE ⊥ AC$，$BF ⊥ AC$，若 $AB=CD$.
(1) 请猜想线段 EG , FG 的数量关系，并说明理由.
(2) 若将 $△ DEC$ 的边 EC 沿 CA 方向移动，变为图②时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.

(1) $G E=G F$. 理由: $\because D E ⊥ A C, B F ⊥ A C, \therefore ∠ B F A=∠ D E C=$ $90° . \because A E=C F, \therefore A E-E F=C F-E F$, 即 $A F=C E$. 在 Rt $△ A B F$ 和 Rt $△ C D E$ 中, $\begin{cases}A B=C D, \\ A F=C E,\end{cases} \therefore$ Rt $△ A B F ≌$ Rt $△ C D E(\mathrm{HL})$,
$\therefore B F=D E$. 在 $△ B F G$ 和 $△ D E G$ 中, $\begin{cases}∠ B G F=∠ D G E, \\ ∠ B F G=∠ D E G=90°, \\ B F=D E,\end{cases}$
$\therefore △ B F G ≌ △ D E G(\mathrm{AAS}), \therefore G E=G F$.
(2) 结论依然成立. 理由: $\because D E ⊥ A C, B F ⊥ A C, \therefore ∠ B F A=$ $∠ D E C=90° . \because A E=C F, \therefore A E+E F=C F+E F$, 即 $A F=C E$. 在 Rt $△ A B F$ 和 Rt $△ C D E$ 中, $\begin{cases}A B=C D, \\ A F=C E,\end{cases} \therefore$ Rt $△ A B F ≌$ Rt $△ C D E$ $(\mathrm{HL}), \therefore B F=D E$. 在 $△ B F G$ 和 $△ D E G$ 中, $\begin{cases}∠ B F G=∠ D E G, \\ ∠ B G F=∠ D G E, \\ B F=D E,\end{cases}$
$\therefore △ B F G ≌ △ D E G(\mathrm{AAS}), \therefore G E=G F$.
归纳总结 共线(不共顶点)旋转模型:两个全等图形可以看作是绕一点(非共顶点)旋转而得.

3. 在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$是直线$BC$上一点(不与$B,C$重合),以$AD$为一边在$AD$的右侧作$△ ADE$,使$AD=AE$,$∠ DAE=∠ BAC$,连接$CE$.
(1) 如图①,当点$D$在线段$BC$上时,如果$∠ BAC=90°$,那么$∠ BCE=$$°$.
(2)设$∠ BAC=α$,$∠ BCE=β$.
①如图②,若点$D$在线段$BC$上移动,则$α,β$之间有怎样的数量关系? 请说明理由.
②若点$D$在直线$BC$上移动,画图并探究$α,β$之间有怎样的数量关系?

(1) 90 解析: $\because ∠ B A C=∠ D A E, \therefore ∠ B A C-∠ D A C=$ $∠ D A E-∠ D A C$, 即 $∠ B A D=∠ C A E$. 在 $△ A B D$ 与 $△ A C E$ 中,
$\begin{cases}A B=A C, \\ ∠ B A D=∠ C A E, \therefore △ A B D ≌ △ A C E(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ B= \\ A D=A E,\end{cases}$
$∠ A C E, \therefore ∠ B+∠ A C B=∠ A C E+∠ A C B, \therefore ∠ B C E=∠ B+$ $∠ A C B$. 又$\because ∠ B A C=90°, \therefore ∠ B C E=90°$.
(2) ① $α+β=180°$. 理由: $\because ∠ B A C=∠ D A E, \therefore ∠ B A C-$ $∠ D A C=∠ E A D-∠ D A C$, 即 $∠ B A D=∠ C A E$. 在 $△ A B D$ 与
$△ A C E$ 中, $\begin{cases}A B=A C, \\ ∠ B A D=∠ C A E, \therefore △ A B D ≌ △ A C E(\mathrm{SAS}), \\ A D=A E,\end{cases}$
$\therefore ∠ B=∠ A C E, \therefore ∠ B+∠ A C B=∠ A C E+∠ A C B, \therefore ∠ B+$ $∠ A C B=β . \because α+∠ B+∠ A C B=180°, \therefore α+β=180°$.
② 当点 $D$ 在 $C$ 点右侧时, 如图 (1), $α+β=180°$.
理由: $\because ∠ B A C=∠ D A E, \therefore ∠ B A C+∠ C A D=∠ D A E+∠ C A D$,
$\therefore ∠ B A D=∠ C A E$. 在 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ 中, $\begin{cases}A B=A C, \\ ∠ B A D=∠ C A E, \\ A D=A E,\end{cases}$
$\therefore △ A B D ≌ △ A C E(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ A B D=∠ A C E . \because ∠ B A C+$ $∠ A B D+∠ B C A=180°, \therefore ∠ B A C+∠ B C E=∠ B A C+∠ B C A+$ $∠ A C E=∠ B A C+∠ B C A+∠ B=180°, \therefore α+β=180°$.

当点 $D$ 在 $B$ 点左侧时, 如图 (2), $α=β$. 理由: $\because ∠ D A E=∠ B A C$,
$\therefore ∠ D A B=∠ E A C$. 在 $△ A D B$ 和 $△ A E C$ 中, $\begin{cases}A D=A E, \\ ∠ D A B=∠ E A C, \\ A B=A C,\end{cases}$
$\therefore △ A D B ≌ △ A E C(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ A B D=∠ A C E . \because ∠ A B D=∠ B A C+$ $∠ A C B, ∠ A C E=∠ B C E+∠ A C B, \therefore ∠ B A C=∠ B C E$, 即 $α=β$.
归纳总结 手拉手模型
如图 (1), $△ O A B$ 和 $△ O C D$ 为等腰三角形, $O A=O B, O C=O D$,将 $△ O C D$ 绕点 $O$ 旋转一定角度, 连接 $A C, B D$, 相交于点 $E$,连接 $O E$, 如图 (2), 则可得结论: (1) $A C=B D$; (2) $E O$ 平分 $∠ A E D$; (3) $A C, B D$ 所在直线的夹角与 $∠ A O B$ 相等或互补.