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【典例1】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$，则其底角的度数为
65°或 25°
.答案
65°或 25°
解:分两种情况讨论：
变式.在$△ ABC$中,点$D$为$AC$的中点,$DE⊥ AC$交直线$BC$于点$E$,若$∠ AEC=50°$,则$∠ ACB=$
65°或 115°
.答案
65°或 115°
【典例2】△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若$BM=AC$，求$∠ABC$的度数.
答案
解:分∠ABC为锐角和钝角两种情况.
均有△BMD≌△ACD，
AD=BD.
∴∠ABC=45°或 135°.
变式.已知点 P 为线段 CB 上方一点，$CA ⊥ CB$，$PA ⊥ PB$，且 $PA = PB$，$PM ⊥ BC$ 于 M，若 $CA = 1$，$PM = 4$，求 CB 的长.
答案
解:①如图1,过 P 作 PN⊥CA 于 N，
△PMB≌△PNA，
∴PM=PN=4=CM，BM=AN=3，
∴BC=7
②如图 2,同理可得 BC=9.
【典例3】平面直角坐标系中，已知A(2,2)，若在x轴上取点C，使△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
C
变式1.如图,在$3×4$网格中,$A,B$为格点,找一个格点$C$,使$△ ABC$为等腰三角形,这样的点$C$共有
5
个.答案
5
提示:①以点 A 为圆心,AB 为半径画弧,有 3 个；
②以点 B 为圆心,AB 为半径画弧,有 2 个.
变式2.(2026·武汉)已知点P是等边三角形△ABC所在平面内一点，△PAB，△PBC，△PAC都为等腰三角形，这样的点P共有
10
个。答案
10
提示:每边垂直平分线上各有 4 个点,重心公共,故共有 3+3+4=10(个).
提示:每边垂直平分线上各有 4 个点,重心公共,故共有 3+3+4=10(个).
