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8. (2025·德阳)德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28 km、30 km、30 km、26 km、32 km. 若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29 km，众数保持不变，则新增线路的长度可能是（
A.25 km
B.28 km
C.29 km
D.30 km
A
）A.25 km
B.28 km
C.29 km
D.30 km
答案
8. A 解析:数据 28 km、30 km、30 km、26 km、32 km 的众数为 30 km. 若后续又新增一条线路,使得新增后这 6 条线路长度的中位数变为 29 km,众数保持不变,则新增线路长度不可能是 28 km 或 30 km,故 B、D 选项不符合题意;当新增线路长度是 25 km 时,则数据 25 km、28 km、30 km、30 km、26 km、32 km 的中位数为$\frac{28+30}{2}=29(\mathrm{km})$,故 A 选项符合题意;当新增线路长度是 29 km 时,则数据 29 km、28 km、30 km、30 km、26 km、32 km 的中位数为$\frac{29+30}{2}=29.5(\mathrm{km})$,故 C 选项不符合题意.
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步先确定原5条线路长度的众数，明确“众数保持不变”的要求；第二步，新增1条线路后共6条数据，中位数是排序后第3和第4个数的平均数，结合“中位数变为29km”的条件，逐一分析选项是否符合要求。
【解析】
1. 处理原数据：将原5条线路长度排序为26km、28km、30km、30km、32km，其中30km出现次数最多，故原众数为30km，新增后众数需保持为30km（即30km的出现次数不能少于原有的2次）。
2. 新增后共6条数据，中位数为排序后第3和第4个数的平均数，要求中位数为29km，因此（第3个数 + 第4个数）÷2 =29，即第3个数与第4个数的和为58km。
3. 逐一分析选项：
选项A：新增25km，排序后数据为25、26、28、30、30、32，第3位是28，第4位是30，平均数为(28+30)÷2=29km，符合中位数要求；且30仍出现2次，众数不变，符合条件。
选项B：新增28km，排序后数据为26、28、28、30、30、32，第3位是28，第4位是30，平均数为29km，但此时28和30均出现2次，众数变为2个，不符合“众数不变”的要求，排除。
选项C：新增29km，排序后数据为26、28、29、30、30、32，第3位是29，第4位是30，平均数为(29+30)÷2=29.5km≠29km，不符合中位数要求，排除。
选项D：新增30km，排序后数据为26、28、30、30、30、32，第3位是30，第4位是30，平均数为30km≠29km，不符合中位数要求，排除。
【答案】
A
【知识点】
中位数、众数
【点评】
本题考查中位数和众数的概念应用，需熟练掌握两者的计算方法，结合题目限定条件逐一分析选项，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分两步思考：第一步先确定原5条线路长度的众数，明确“众数保持不变”的要求；第二步，新增1条线路后共6条数据，中位数是排序后第3和第4个数的平均数，结合“中位数变为29km”的条件，逐一分析选项是否符合要求。
【解析】
1. 处理原数据：将原5条线路长度排序为26km、28km、30km、30km、32km，其中30km出现次数最多，故原众数为30km，新增后众数需保持为30km（即30km的出现次数不能少于原有的2次）。
2. 新增后共6条数据，中位数为排序后第3和第4个数的平均数，要求中位数为29km，因此（第3个数 + 第4个数）÷2 =29，即第3个数与第4个数的和为58km。
3. 逐一分析选项：
选项A：新增25km，排序后数据为25、26、28、30、30、32，第3位是28，第4位是30，平均数为(28+30)÷2=29km，符合中位数要求；且30仍出现2次，众数不变，符合条件。
选项B：新增28km，排序后数据为26、28、28、30、30、32，第3位是28，第4位是30，平均数为29km，但此时28和30均出现2次，众数变为2个，不符合“众数不变”的要求，排除。
选项C：新增29km，排序后数据为26、28、29、30、30、32，第3位是29，第4位是30，平均数为(29+30)÷2=29.5km≠29km，不符合中位数要求，排除。
选项D：新增30km，排序后数据为26、28、30、30、30、32，第3位是30，第4位是30，平均数为30km≠29km，不符合中位数要求，排除。
【答案】
A
【知识点】
中位数、众数
【点评】
本题考查中位数和众数的概念应用，需熟练掌握两者的计算方法，结合题目限定条件逐一分析选项，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 若一组数据 1,2,3,4,x 的平均数与中位数相同,则 x 的值不可能是 （
A.0
B.2.5
C.3
D.5
C
）A.0
B.2.5
C.3
D.5
答案
9. C 解析:当$x=0$时,平均数与中位数都是 2;当$x=2.5$时,平均数与中位数都是 2.5;当$x=3$时,平均数是 2.6,中位数是 3;当$x=5$时,平均数与中位数都是 3. 故 C 选项符合题意.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心统计概念：平均数是所有数据之和除以数据的个数，中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（本题数据共5个，为奇数，中位数是排序后的第3个数）。解题思路是：对每个选项中的x值，先将数据从小到大排列确定中位数，再计算平均数，对比两者是否相等，找出不相等的选项即为答案。
【解析】
已知数据为1,2,3,4,x，共5个数据，中位数是排序后的第3个数，平均数为$\frac{1+2+3+4+x}{5}=\frac{10+x}{5}$。
选项A：当x=0时，数据排序为0,1,2,3,4，中位数为2；平均数为$\frac{10+0}{5}=2$，两者相等，故x=0可能，排除A。
选项B：当x=2.5时，数据排序为1,2,2.5,3,4，中位数为2.5；平均数为$\frac{10+2.5}{5}=2.5$，两者相等，故x=2.5可能，排除B。
选项C：当x=3时，数据排序为1,2,3,3,4，中位数为3；平均数为$\frac{10+3}{5}=2.6$，2.6≠3，两者不相等，故x=3不可能，符合题意。
选项D：当x=5时，数据排序为1,2,3,4,5，中位数为3；平均数为$\frac{10+5}{5}=3$，两者相等，故x=5可能，排除D。
【答案】
C
【知识点】
平均数、中位数
【点评】
本题考查平均数与中位数的概念及计算，解题关键是根据x的取值确定数据排列顺序，进而找到中位数，再通过计算平均数对比判断，属于基础题型，需熟练掌握统计量的基本计算方法。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确两个核心统计概念：平均数是所有数据之和除以数据的个数，中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（本题数据共5个，为奇数，中位数是排序后的第3个数）。解题思路是：对每个选项中的x值，先将数据从小到大排列确定中位数，再计算平均数，对比两者是否相等，找出不相等的选项即为答案。
【解析】
已知数据为1,2,3,4,x，共5个数据，中位数是排序后的第3个数，平均数为$\frac{1+2+3+4+x}{5}=\frac{10+x}{5}$。
选项A：当x=0时，数据排序为0,1,2,3,4，中位数为2；平均数为$\frac{10+0}{5}=2$，两者相等，故x=0可能，排除A。
选项B：当x=2.5时，数据排序为1,2,2.5,3,4，中位数为2.5；平均数为$\frac{10+2.5}{5}=2.5$，两者相等，故x=2.5可能，排除B。
选项C：当x=3时，数据排序为1,2,3,3,4，中位数为3；平均数为$\frac{10+3}{5}=2.6$，2.6≠3，两者不相等，故x=3不可能，符合题意。
选项D：当x=5时，数据排序为1,2,3,4,5，中位数为3；平均数为$\frac{10+5}{5}=3$，两者相等，故x=5可能，排除D。
【答案】
C
【知识点】
平均数、中位数
【点评】
本题考查平均数与中位数的概念及计算，解题关键是根据x的取值确定数据排列顺序，进而找到中位数，再通过计算平均数对比判断，属于基础题型，需熟练掌握统计量的基本计算方法。
【难度系数】
0.6
10. 已知一组数据 16,$x$,19,19 只有一个众数,且平均数比众数小 1,则这组数据的平均数和中位数分别是（
A.18,17.5
B.18,19
C.19,18
D.18,18.5
D
）A.18,17.5
B.18,19
C.19,18
D.18,18.5
答案
10. D 解析:
∵只有一个众数,
∴众数为 19. 又
∵平均数比众数小 1,
∴平均数为 18,
∴$\frac{16+x+19+19}{4}=18$,解得$x=18$,
∴中位数是$\frac{18+19}{2}=18.5$.
∵只有一个众数,
∴众数为 19. 又
∵平均数比众数小 1,
∴平均数为 18,
∴$\frac{16+x+19+19}{4}=18$,解得$x=18$,
∴中位数是$\frac{18+19}{2}=18.5$.
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确众数、平均数、中位数的定义，再结合题目条件逐步推导：
1. 众数是一组数据中出现次数最多的数，题目中已有2个19，若只有一个众数，则19必为众数（若x=16，16和19均出现2次，会有两个众数，不符合条件）；
2. 由“平均数比众数小1”可算出平均数；
3. 利用平均数公式求出x的值；
4. 将数据排序后，计算中间两个数的平均数得到中位数，最后对应选项即可。
【解析】
解：①确定众数：数据16，x，19，19中已有2个19，若只有一个众数，则众数只能是19（若x=16，16和19均出现2次，存在两个众数，不符合题意）；
②计算平均数：因为平均数比众数小1，所以平均数=19-1=18；
③求x的值：根据平均数公式$\frac{16+x+19+19}{4}=18$，化简得$16+x+38=72$，解得$x=18$；
④计算中位数：将数据从小到大排列为16，18，19，19，共4个数据，中位数为中间两个数的平均数，即$\frac{18+19}{2}=18.5$；
因此，平均数为18，中位数为18.5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
众数、平均数、中位数
【点评】
本题考查统计量的基本概念，需熟练掌握众数、平均数、中位数的定义及计算方法，解题关键是先根据“只有一个众数”确定众数，再逐步推导x和中位数，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确众数、平均数、中位数的定义，再结合题目条件逐步推导：
1. 众数是一组数据中出现次数最多的数，题目中已有2个19，若只有一个众数，则19必为众数（若x=16，16和19均出现2次，会有两个众数，不符合条件）；
2. 由“平均数比众数小1”可算出平均数；
3. 利用平均数公式求出x的值；
4. 将数据排序后，计算中间两个数的平均数得到中位数，最后对应选项即可。
【解析】
解：①确定众数：数据16，x，19，19中已有2个19，若只有一个众数，则众数只能是19（若x=16，16和19均出现2次，存在两个众数，不符合题意）；
②计算平均数：因为平均数比众数小1，所以平均数=19-1=18；
③求x的值：根据平均数公式$\frac{16+x+19+19}{4}=18$，化简得$16+x+38=72$，解得$x=18$；
④计算中位数：将数据从小到大排列为16，18，19，19，共4个数据，中位数为中间两个数的平均数，即$\frac{18+19}{2}=18.5$；
因此，平均数为18，中位数为18.5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
众数、平均数、中位数
【点评】
本题考查统计量的基本概念，需熟练掌握众数、平均数、中位数的定义及计算方法，解题关键是先根据“只有一个众数”确定众数，再逐步推导x和中位数，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
11. 为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程,质检部门抽检了10辆车,对一次充电后行驶的里程进行了统计,结果如图所示,则这组数据的众数和中位数分别是 （
A.220,220
B.210,215
C.210,210
D.220,215
B
）A.220,220
B.210,215
C.210,210
D.220,215
答案
11. B 解析:众数是 210;中位数是$\frac{210+220}{2}=215$.
解析
【分析】
要解决本题，需明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将一组数据从小到大排列后，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间位置的数。首先统计各里程对应的车辆数量，再依据定义分别计算众数和中位数。
【解析】
1. 统计数据：由条形图可知，里程200km的有1辆，210km的有4辆，220km的有3辆，230km的有2辆，总车辆数为$1+4+3+2=10$辆。
2. 求众数：210km出现的次数最多（共4次），因此众数为210。
3. 求中位数：将10个数据从小到大排列，第5个数据是210，第6个数据是220；因数据总数为偶数，中位数为中间两个数的平均数，即$\frac{210+220}{2}=215$。
综上，众数和中位数分别是210、215，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
众数；中位数
【点评】
本题考查统计中众数和中位数的基本概念，需准确统计数据并正确应用定义计算，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将一组数据从小到大排列后，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间位置的数。首先统计各里程对应的车辆数量，再依据定义分别计算众数和中位数。
【解析】
1. 统计数据：由条形图可知，里程200km的有1辆，210km的有4辆，220km的有3辆，230km的有2辆，总车辆数为$1+4+3+2=10$辆。
2. 求众数：210km出现的次数最多（共4次），因此众数为210。
3. 求中位数：将10个数据从小到大排列，第5个数据是210，第6个数据是220；因数据总数为偶数，中位数为中间两个数的平均数，即$\frac{210+220}{2}=215$。
综上，众数和中位数分别是210、215，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
众数；中位数
【点评】
本题考查统计中众数和中位数的基本概念，需准确统计数据并正确应用定义计算，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
12. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图,将该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数记为$a$,众数记为$b$,则$a-2b$的值是
-7
.答案
12. -7 解析:根据题图可知,这组数据的中位数$a=9$,众数$b=8$,
∴$a-2b=9-2×8=-7$.
∴$a-2b=9-2×8=-7$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确众数和中位数的定义，再结合统计图提取对应数据计算。众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排列后，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间位置的数。本题总人数为40（偶数），需找到第20和21个数据对应的锻炼时间，同时确定出现次数最多的锻炼时间作为众数，最后代入计算$a - 2b$的值。
【解析】
1. 提取统计图数据：锻炼时间为7h的有3人，8h的有16人，9h的有14人，10h的有7人，总人数$3 + 16 + 14 + 7 = 40$，符合题目条件。
2. 求众数$b$：观察各锻炼时间对应的人数，8h对应的人数16为最多，因此众数$b = 8$。
3. 求中位数$a$：40个数据从小到大排列，前$3 + 16 = 19$个数据对应7h和8h，第20、21个数据都在9h的组中，因此中位数$a = 9$。
4. 计算$a - 2b$：代入得$a - 2b = 9 - 2×8 = 9 - 16 = -7$。
【答案】
-7
【知识点】
中位数、众数
【点评】
本题考查统计中中位数和众数的概念及计算，关键是能从折线统计图中准确提取各锻炼时间对应的人数，掌握中位数和众数的求解方法，属于基础统计类题目。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先明确众数和中位数的定义，再结合统计图提取对应数据计算。众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排列后，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间位置的数。本题总人数为40（偶数），需找到第20和21个数据对应的锻炼时间，同时确定出现次数最多的锻炼时间作为众数，最后代入计算$a - 2b$的值。
【解析】
1. 提取统计图数据：锻炼时间为7h的有3人，8h的有16人，9h的有14人，10h的有7人，总人数$3 + 16 + 14 + 7 = 40$，符合题目条件。
2. 求众数$b$：观察各锻炼时间对应的人数，8h对应的人数16为最多，因此众数$b = 8$。
3. 求中位数$a$：40个数据从小到大排列，前$3 + 16 = 19$个数据对应7h和8h，第20、21个数据都在9h的组中，因此中位数$a = 9$。
4. 计算$a - 2b$：代入得$a - 2b = 9 - 2×8 = 9 - 16 = -7$。
【答案】
-7
【知识点】
中位数、众数
【点评】
本题考查统计中中位数和众数的概念及计算，关键是能从折线统计图中准确提取各锻炼时间对应的人数，掌握中位数和众数的求解方法，属于基础统计类题目。
【难度系数】
0.7
13. (2025·扬州)为角逐市校园“音乐达人”大赛,小红和小丽参加了校内选拔赛,10位评委的评分情况如下表所示(单位:分).
表1 评委评分数据
表2 评委评分数据分析
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表2中,$a=$
(2)你认为小红和小丽谁的成绩较好?请说明理由.
表1 评委评分数据
表2 评委评分数据分析
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表2中,$a=$
7.5
,$b=$7
,$c=$8
.(2)你认为小红和小丽谁的成绩较好?请说明理由.
答案
13. (1)7.5 7 8 解析:$a=\frac{3×7+6+6×8}{10}=7.5$,$b=\frac{7+7}{2}=7$,$c=8$. (2)小丽的成绩较好. 理由如下:因为两个人的平均数相同,但小丽成绩的中位数和众数均高于小红,所以小丽的成绩较好.
解析
【分析】
要解决本题，需掌握平均数、中位数、众数的计算方法及统计量的实际意义：（1）计算a时，需用小红的总评分除以评委人数10得到平均数；计算b时，10个数据的中位数是排序后第5和第6个数据的平均数；计算c时，众数是一组数据中出现次数最多的数。（2）比较两人成绩时，结合平均数反映整体水平、中位数和众数反映集中趋势的特点，综合判断成绩优劣。
【解析】
（1）计算a：小红的总评分为$3×7 + 1×6 + 6×8 = 75$分，平均数$a = 75÷10 = 7.5$；
计算b：将小红的10个评分从小到大排序，第5和第6个数据均为7，故中位数$b = (7 + 7)÷2 = 7$；
计算c：小丽的评分中，8分出现次数最多，故众数$c = 8$。
（2）判断成绩：两人的平均数相同，小丽成绩的中位数和众数均高于小红，说明小丽的成绩集中趋势更好，因此小丽的成绩较好。
【答案】
(1) $7.5$，$7$，$8$；(2) 小丽的成绩较好，理由：两人平均数相同，小丽成绩的中位数和众数均高于小红。
【知识点】
平均数，中位数，众数
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握平均数、中位数、众数的计算方法，能结合统计量的意义合理分析数据，难度适中，属于基础统计类题目。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需掌握平均数、中位数、众数的计算方法及统计量的实际意义：（1）计算a时，需用小红的总评分除以评委人数10得到平均数；计算b时，10个数据的中位数是排序后第5和第6个数据的平均数；计算c时，众数是一组数据中出现次数最多的数。（2）比较两人成绩时，结合平均数反映整体水平、中位数和众数反映集中趋势的特点，综合判断成绩优劣。
【解析】
（1）计算a：小红的总评分为$3×7 + 1×6 + 6×8 = 75$分，平均数$a = 75÷10 = 7.5$；
计算b：将小红的10个评分从小到大排序，第5和第6个数据均为7，故中位数$b = (7 + 7)÷2 = 7$；
计算c：小丽的评分中，8分出现次数最多，故众数$c = 8$。
（2）判断成绩：两人的平均数相同，小丽成绩的中位数和众数均高于小红，说明小丽的成绩集中趋势更好，因此小丽的成绩较好。
【答案】
(1) $7.5$，$7$，$8$；(2) 小丽的成绩较好，理由：两人平均数相同，小丽成绩的中位数和众数均高于小红。
【知识点】
平均数，中位数，众数
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握平均数、中位数、众数的计算方法，能结合统计量的意义合理分析数据，难度适中，属于基础统计类题目。
【难度系数】
0.5
