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22. (10分)(2024·绍兴市诸暨市期末)如图,将一张长方形纸片按如图所示分割成6块,其中有两块是边长为x的正方形,一块是边长为y的正方形(0＜x＜y)。
(1)观察图形,代数式$2x^2 + 3xy + y^2$可因式分解为$\underline{\hspace{5cm}}$。
(2)图中阴影部分面积之和记作$S_1$,非阴影部分面积之和记作$S_2$。
①用含$x,y$的代数式表示$S_1,S_2$。
②若$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值。
(1)观察图形,代数式$2x^2 + 3xy + y^2$可因式分解为$\underline{\hspace{5cm}}$。
(2)图中阴影部分面积之和记作$S_1$,非阴影部分面积之和记作$S_2$。
①用含$x,y$的代数式表示$S_1,S_2$。
②若$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值。
答案
22.(1)$(2x + y)(x + y)$
(2)解:①由题图,得$S_1 = xy + xy + xy = 3xy$,$S_2 = x^2 + x^2 + y^2 = 2x^2 + y^2$。
②因为$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$,所以$3xy - 2x^2 - y^2 = 2x^2 - xy$,整理,得$4x^2 - 4xy + y^2 = 0$,所以$(2x - y)^2 = 0$,所以$2x - y = 0$,所以$y = 2x$,所以$\frac{S_1}{S_2} = \frac{3xy}{2x^2 + y^2} = \frac{3x·2x}{2x^2 + (2x)^2} = \frac{6x^2}{6x^2} = 1$。
(2)解:①由题图,得$S_1 = xy + xy + xy = 3xy$,$S_2 = x^2 + x^2 + y^2 = 2x^2 + y^2$。
②因为$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$,所以$3xy - 2x^2 - y^2 = 2x^2 - xy$,整理,得$4x^2 - 4xy + y^2 = 0$,所以$(2x - y)^2 = 0$,所以$2x - y = 0$,所以$y = 2x$,所以$\frac{S_1}{S_2} = \frac{3xy}{2x^2 + y^2} = \frac{3x·2x}{2x^2 + (2x)^2} = \frac{6x^2}{6x^2} = 1$。
解析
【分析】
第(1)题利用十字相乘法对二次三项式因式分解；第(2)题①需根据图形各部分的长和宽，分别计算阴影、非阴影部分的面积；②将已知的面积差等式代入S₁、S₂的表达式，整理得到关于x、y的方程，结合0＜x＜y的条件求出x与y的关系，再代入计算比值。
【解析】
(1) 对代数式$2x^2 + 3xy + y^2$因式分解，用十字相乘法得：
$2x^2 + 3xy + y^2 = (2x + y)(x + y)$。
(2) ① 观察图形，阴影部分是3个长为y、宽为x的长方形，因此：
$S_1 = 3 × x · y = 3xy$；
非阴影部分是2个边长为x的正方形和1个边长为y的正方形，因此：
$S_2 = 2x^2 + y^2$。
② 已知$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$，将$S_1=3xy$、$S_2=2x^2 + y^2$代入得：
$3xy - (2x^2 + y^2) = 2x^2 - xy$，
整理得：$4x^2 - 4xy + y^2 = 0$，即$(2x - y)^2 = 0$，
故$2x - y = 0$，即$y = 2x$。
将$y=2x$代入$\frac{S_1}{S_2}$：
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{3xy}{2x^2 + y^2} = \frac{3x · 2x}{2x^2 + (2x)^2} = \frac{6x^2}{6x^2} = 1$。
【答案】
(1)$(2x + y)(x + y)$；(2)①$S_1=3xy$，$S_2=2x^2 + y^2$；②$1$
【知识点】
因式分解、整式运算、代数式求值
【点评】
本题结合图形面积考查代数运算，关键是准确计算各部分面积，通过因式分解求解变量关系，属于基础代数综合题。
【难度系数】
0.5
第(1)题利用十字相乘法对二次三项式因式分解；第(2)题①需根据图形各部分的长和宽，分别计算阴影、非阴影部分的面积；②将已知的面积差等式代入S₁、S₂的表达式，整理得到关于x、y的方程，结合0＜x＜y的条件求出x与y的关系，再代入计算比值。
【解析】
(1) 对代数式$2x^2 + 3xy + y^2$因式分解，用十字相乘法得：
$2x^2 + 3xy + y^2 = (2x + y)(x + y)$。
(2) ① 观察图形，阴影部分是3个长为y、宽为x的长方形，因此：
$S_1 = 3 × x · y = 3xy$；
非阴影部分是2个边长为x的正方形和1个边长为y的正方形，因此：
$S_2 = 2x^2 + y^2$。
② 已知$S_1 - S_2 = 2x^2 - xy$，将$S_1=3xy$、$S_2=2x^2 + y^2$代入得：
$3xy - (2x^2 + y^2) = 2x^2 - xy$，
整理得：$4x^2 - 4xy + y^2 = 0$，即$(2x - y)^2 = 0$，
故$2x - y = 0$，即$y = 2x$。
将$y=2x$代入$\frac{S_1}{S_2}$：
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{3xy}{2x^2 + y^2} = \frac{3x · 2x}{2x^2 + (2x)^2} = \frac{6x^2}{6x^2} = 1$。
【答案】
(1)$(2x + y)(x + y)$；(2)①$S_1=3xy$，$S_2=2x^2 + y^2$；②$1$
【知识点】
因式分解、整式运算、代数式求值
【点评】
本题结合图形面积考查代数运算，关键是准确计算各部分面积，通过因式分解求解变量关系，属于基础代数综合题。
【难度系数】
0.5
23. (10分)阅读材料:若$m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0$,求$m,n$的值。
解:因为$m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0$,所以$(m^2 - 2mn + n^2)+(n^2 - 8n + 16)=0$,所以$(m - n)^2 + (n - 4)^2 = 0$,所以$(m - n)^2 = 0$,$(n - 4)^2 = 0$,所以$n = 4,m = 4$。
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知$x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = 0$,求$2x + y$的值。
(2)已知$a - b = 4,ab + c^2 - 6c + 13 = 0$,求$a + b + c$的值。
解:因为$m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0$,所以$(m^2 - 2mn + n^2)+(n^2 - 8n + 16)=0$,所以$(m - n)^2 + (n - 4)^2 = 0$,所以$(m - n)^2 = 0$,$(n - 4)^2 = 0$,所以$n = 4,m = 4$。
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知$x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = 0$,求$2x + y$的值。
(2)已知$a - b = 4,ab + c^2 - 6c + 13 = 0$,求$a + b + c$的值。
答案
23.(1)解:因为$x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = 0$,所以$(x^2 + 2xy + y^2)+(y^2 + 2y + 1) = 0$,所以$(x + y)^2 + (y + 1)^2 = 0$,所以$x + y = 0$,$y + 1 = 0$,解得$x = 1$,$y = -1$,所以$2x + y = 2×1 + (-1) = 1$。
(2)解:因为$a - b = 4$,所以$a = b + 4$,所以将$a = b + 4$代入$ab + c^2 - 6c + 13 = 0$,得$b^2 + 4b + c^2 - 6c + 13 = 0$,所以$(b^2 + 4b + 4) + (c^2 - 6c + 9) = 0$,所以$(b + 2)^2 + (c - 3)^2 = 0$,所以$b + 2 = 0$,$c - 3 = 0$,解得$b = -2$,$c = 3$,所以$a = b + 4 = -2 + 4 = 2$,所以$a + b + c = 2 - 2 + 3 = 3$。
(2)解:因为$a - b = 4$,所以$a = b + 4$,所以将$a = b + 4$代入$ab + c^2 - 6c + 13 = 0$,得$b^2 + 4b + c^2 - 6c + 13 = 0$,所以$(b^2 + 4b + 4) + (c^2 - 6c + 9) = 0$,所以$(b + 2)^2 + (c - 3)^2 = 0$,所以$b + 2 = 0$,$c - 3 = 0$,解得$b = -2$,$c = 3$,所以$a = b + 4 = -2 + 4 = 2$,所以$a + b + c = 2 - 2 + 3 = 3$。
解析
【分析】本题的解题思路是利用配方法，将多项式转化为几个完全平方的和，再根据“平方数是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解未知数，最后代入计算代数式的值。对于第(1)题，需对给定的多项式合理拆分，凑成两个完全平方；第(2)题先利用已知的$a - b = 4$将$a$用$b$表示，代入后再配方，进而求出各未知数的值。
【解析】(1)因为$x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = 0$，所以将多项式分组配方得：$(x^2 + 2xy + y^2)+(y^2 + 2y + 1) = 0$，即$(x + y)^2 + (y + 1)^2 = 0$。由于平方数非负，故$x + y = 0$且$y + 1 = 0$，解得$y = -1$，代入$x + y = 0$得$x = 1$。因此$2x + y = 2×1 + (-1) = 1$。
(2)由$a - b = 4$得$a = b + 4$，将其代入$ab + c^2 - 6c + 13 = 0$得：$b(b + 4) + c^2 - 6c + 13 = 0$，整理得$b^2 + 4b + c^2 - 6c + 13 = 0$，分组配方得：$(b^2 + 4b + 4) + (c^2 - 6c + 9) = 0$，即$(b + 2)^2 + (c - 3)^2 = 0$。根据平方非负性，得$b + 2 = 0$，$c - 3 = 0$，解得$b = -2$，$c = 3$，则$a = b + 4 = -2 + 4 = 2$。因此$a + b + c = 2 + (-2) + 3 = 3$。
【答案】(1)$1$；(2)$3$
【知识点】完全平方公式、平方的非负性、代数式求值
【点评】本题主要考查配方法的应用，关键是掌握完全平方公式的结构特征，能对多项式进行合理拆分配方，利用平方的非负性求解未知数，是代数运算中常见的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】(1)因为$x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = 0$，所以将多项式分组配方得：$(x^2 + 2xy + y^2)+(y^2 + 2y + 1) = 0$，即$(x + y)^2 + (y + 1)^2 = 0$。由于平方数非负，故$x + y = 0$且$y + 1 = 0$，解得$y = -1$，代入$x + y = 0$得$x = 1$。因此$2x + y = 2×1 + (-1) = 1$。
(2)由$a - b = 4$得$a = b + 4$，将其代入$ab + c^2 - 6c + 13 = 0$得：$b(b + 4) + c^2 - 6c + 13 = 0$，整理得$b^2 + 4b + c^2 - 6c + 13 = 0$，分组配方得：$(b^2 + 4b + 4) + (c^2 - 6c + 9) = 0$，即$(b + 2)^2 + (c - 3)^2 = 0$。根据平方非负性，得$b + 2 = 0$，$c - 3 = 0$，解得$b = -2$，$c = 3$，则$a = b + 4 = -2 + 4 = 2$。因此$a + b + c = 2 + (-2) + 3 = 3$。
【答案】(1)$1$；(2)$3$
【知识点】完全平方公式、平方的非负性、代数式求值
【点评】本题主要考查配方法的应用，关键是掌握完全平方公式的结构特征，能对多项式进行合理拆分配方，利用平方的非负性求解未知数，是代数运算中常见的基础题型。
【难度系数】0.6
