20.(8分)新定义 阅读材料:若一个整数能表示成$a^2 + b^2(a,b$是整数$)$的形式,则称这个数为“完美数”。例如:因为$13=3^2 + 2^2$,所以13是“完美数”;再如:因为$a^2 + 2ab + 2b^2=(a + b)^2 + b^2(a,b$是整数$)$,所以$a^2 + 2ab + 2b^2$是“完美数”。
根据上面的材料,解决下列问题:
(1)请直接写出一个不大于5的“完美数”,这个“完美数”是________。
(2)试判断$(x + y)(x + 3y) + 2y^2(x,y$是整数$)$是否为“完美数”,并说明理由。
(3)已知$M=x^2 + 4y^2 - 4x + 12y + k(x,y$是整数,$k$是常数$)$,要使$M$为“完美数”,试求出符合条件的$k$值。

20.(1)2(答案不唯一)
(2)解:$(x + y)(x + 3y) + 2y^2$是“完美数”。理由如下:原式$= x^2 + 4xy + 5y^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 + y^2 = (x + 2y)^2 + y^2$,所以$(x + y)(x + 3y) + 2y^2$是“完美数”。
(3)解:因为$M = x^2 + 4y^2 - 4x + 12y + k = (x^2 - 4x + 4) + (4y^2 + 12y + 9) + k - 13 = (x - 2)^2 + (2y + 3)^2 + k - 13$,又因为$M$为“完美数”,所以$k - 13 = 0$,所以$k = 13$。

【分析】
本题是“完美数”的新定义题型，需先明确完美数的定义：整数能表示为两个整数的平方和的形式。第(1)问直接根据定义找符合条件的数；第(2)问需对原式化简后配方，转化为两个整数的平方和形式判断；第(3)问对含x、y的二次式分别配方，根据完美数定义确定常数项的值，进而求出k。
【解析】
(1) 根据完美数定义，1²+1²=2，2≤5，故答案为2（答案不唯一）；
(2) 对原式化简：
原式 = (x+y)(x+3y) + 2y² = x² + 4xy + 5y²，
配方得：x² + 4xy + 4y² + y² = (x+2y)² + y²，
因为x、y是整数，所以(x+2y)和y均为整数，符合完美数定义，故该式是完美数；
(3) 对M配方：
M = x² + 4y² - 4x + 12y + k = (x² - 4x + 4) + (4y² + 12y + 9) + k - 13 = (x-2)² + (2y+3)² + k -13，
因为M为完美数，所以常数项k-13=0，解得k=13。
【答案】
(1) 2（答案不唯一）；(2) 是，理由见解析；(3) k=13
【知识点】
完全平方公式、新定义运算、整式化简
【点评】
本题为新定义类题型，核心是理解“完美数”定义，结合完全平方公式进行配方变形，考察学生对公式的灵活运用及新定义的迁移能力，难度适中。
【难度系数】
0.6

21. (8分)(2024·宁波市鄞州区期末)已知多项式①$x^2 - 2xy$, ②$x^2 - 4y^2$, ③$x^2 - 4xy + 4y^2$。
(1)把这三个多项式因式分解。
(2)老师问:“三个等式①$+$②$=$③;①$+$③$=$②;②$+$③$=$①能否同时成立?”
懋懋同学说:“只有当$x = y = 0$时,三个等式能同时成立,其他$x,y$的值都不能使之成立。”
你认为懋懋同学的说法正确吗?如果正确,请说明理由;如果不正确,请写出你认为正确的条件,并说明理由。

21.(1)解:①$x^2 - 2xy = x(x - 2y)$,②$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$,③$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$。
(2)解:不正确。当$x = 2y$或$x = y = 0$时,三个等式同时成立。理由如下:因为①$+$②$=$③,所以$x(x - 2y) + (x + 2y)(x - 2y) = (x - 2y)^2$,即$x(x - 2y) + (x + 2y)(x - 2y) - (x - 2y)^2 = 0$,因式分解,得$(x - 2y)(x + 4y) = 0$。因为①$+$③$=$②,所以$x(x - 2y) + (x - 2y)^2 = (x + 2y)(x - 2y)$,即$x(x - 2y) + (x - 2y)^2 - (x + 2y)(x - 2y) = 0$,因式分解,得$(x - 2y)(x - 4y) = 0$。因为②$+$③$=$①,所以$(x + 2y)(x - 2y) + (x - 2y)^2 = x(x - 2y)$,即$(x + 2y)(x - 2y) + (x - 2y)^2 - x(x - 2y) = 0$,因式分解,得$x(x - 2y) = 0$。因为上述三个式子同时成立,所以$x - 2y = 0$或$x + 4y = x - 4y = x = 0$,则$x = 2y$或$x = y = 0$,故懋懋同学的说法不正确。

【分析】
1. 第(1)问：对三个多项式分别用因式分解方法，①用提公因式法提取公因式$x$；②用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；③用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
2. 第(2)问：要判断三个等式是否同时成立，需分别将三个等式转化为关于$x,y$的方程，通过因式分解化简每个方程，再联立三个方程求解，根据解的情况判断懋懋的说法是否正确。
【解析】
(1) 对三个多项式因式分解：
① $x^2 - 2xy = x(x - 2y)$；
② $x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$；
③ $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$。
(2) 判断懋懋同学的说法是否正确：
若等式①$+$②$=$③成立，则：
$x(x - 2y) + (x + 2y)(x - 2y) = (x - 2y)^2$，
移项得：$x(x - 2y) + (x + 2y)(x - 2y) - (x - 2y)^2 = 0$，
因式分解得：$(x - 2y)(x + 4y) = 0$，
即 $x - 2y = 0$ 或 $x + 4y = 0$。
若等式①$+$③$=$②成立，则：
$x(x - 2y) + (x - 2y)^2 = (x + 2y)(x - 2y)$，
移项得：$x(x - 2y) + (x - 2y)^2 - (x + 2y)(x - 2y) = 0$，
因式分解得：$(x - 2y)(x - 4y) = 0$，
即 $x - 2y = 0$ 或 $x - 4y = 0$。
若等式②$+$③$=$①成立，则：
$(x + 2y)(x - 2y) + (x - 2y)^2 = x(x - 2y)$，
移项得：$(x + 2y)(x - 2y) + (x - 2y)^2 - x(x - 2y) = 0$，
因式分解得：$x(x - 2y) = 0$，
即 $x = 0$ 或 $x - 2y = 0$。
要使三个等式同时成立，需同时满足上述三个方程的解，联立得：$x - 2y = 0$ 或 $x + 4y = x - 4y = x = 0$，解得$x = 2y$或$x = y = 0$，故懋懋同学的说法不正确。
【答案】
(1) ①$x(x - 2y)$；②$(x + 2y)(x - 2y)$；③$(x - 2y)^2$。
(2) 懋懋同学的说法不正确，当$x = 2y$或$x = y = 0$时，三个等式同时成立。
【知识点】
因式分解（提公因式法、公式法），整式的加减运算，二元方程的解。
【点评】
本题综合考查因式分解的应用与整式等式的成立条件，需熟练掌握因式分解方法，通过转化等式为方程并联立求解，注意分类讨论解的情况，是一道考查基础运算与逻辑推理的中等题。
【难度系数】
0.5