登录
三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)(2025·杭州市钱塘区期末)因式分解:
(1)$x^2 - 2x$;
(2)$a^2 - 2ab + b^2 - 9$。
17.(8分)(2025·杭州市钱塘区期末)因式分解:
(1)$x^2 - 2x$;
(2)$a^2 - 2ab + b^2 - 9$。
答案
17.(1)解:原式$= x(x - 2)$。
(2)解:原式$= (a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)$。
(2)解:原式$= (a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)$。
解析
【分析】
因式分解需根据多项式的结构特征选择合适方法：第(1)题是两项式，各项含公因式，优先用提公因式法；第(2)题是四项式，前三项符合完全平方公式，先分组化为平方差形式，再用平方差公式分解。
【解析】
(1) 多项式$x^2 - 2x$的公因式为$x$，提取公因式得：
原式$= x(x - 2)$；
(2) 前三项$a^2 - 2ab + b^2$符合完全平方公式，化为$(a - b)^2$，原式变为$(a - b)^2 - 3^2$，符合平方差公式，分解得：
原式$=(a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)$。
【答案】
(1) $x(x - 2)$；(2) $(a - b + 3)(a - b - 3)$
【知识点】
因式分解（提公因式法）、因式分解（公式法）
【点评】
本题为基础因式分解题，考察提公因式法、完全平方公式和平方差公式的应用，是因式分解的核心基础题型，需熟练掌握基本分解方法。
【难度系数】
0.7
因式分解需根据多项式的结构特征选择合适方法：第(1)题是两项式，各项含公因式，优先用提公因式法；第(2)题是四项式，前三项符合完全平方公式，先分组化为平方差形式，再用平方差公式分解。
【解析】
(1) 多项式$x^2 - 2x$的公因式为$x$，提取公因式得：
原式$= x(x - 2)$；
(2) 前三项$a^2 - 2ab + b^2$符合完全平方公式，化为$(a - b)^2$，原式变为$(a - b)^2 - 3^2$，符合平方差公式，分解得：
原式$=(a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)$。
【答案】
(1) $x(x - 2)$；(2) $(a - b + 3)(a - b - 3)$
【知识点】
因式分解（提公因式法）、因式分解（公式法）
【点评】
本题为基础因式分解题，考察提公因式法、完全平方公式和平方差公式的应用，是因式分解的核心基础题型，需熟练掌握基本分解方法。
【难度系数】
0.7
18. (8分)(2025·金华市永康市期末)从$a^2,2ab,b^2$这三个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式,再进行因式分解(写出两种情况)。
答案
18.解:①选择$a^2,2ab$,所以$a^2 + 2ab = a(a + 2b)$。②选择$a^2,2ab,b^2$,所以$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。(答案不唯一)
解析
【分析】
本题要求从给定的三个单项式中选取2个或3个组成多项式并进行因式分解，解题时需先确定选取的单项式组合，再根据多项式的结构选择合适的因式分解方法（提公因式法或公式法），最终写出两种不同的分解情况即可。
【解析】
分两种情况进行因式分解：
① 选取单项式$a^2$和$2ab$，组成多项式$a^2 + 2ab$，提取公因式$a$，得：$a^2 + 2ab = a(a + 2b)$；
② 选取单项式$a^2$、$2ab$和$b^2$，组成多项式$a^2 + 2ab + b^2$，符合完全平方公式，分解得：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。
【答案】
①选择$a^2,2ab$，所以$a^2 + 2ab = a(a + 2b)$；②选择$a^2,2ab,b^2$，所以$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。（答案不唯一）
【知识点】
因式分解、提公因式法、完全平方公式
【点评】
本题是基础因式分解的开放性题目，主要考察学生对提公因式法和完全平方公式的掌握，解题时需先合理选取单项式组合，再选择对应方法分解，难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
本题要求从给定的三个单项式中选取2个或3个组成多项式并进行因式分解，解题时需先确定选取的单项式组合，再根据多项式的结构选择合适的因式分解方法（提公因式法或公式法），最终写出两种不同的分解情况即可。
【解析】
分两种情况进行因式分解：
① 选取单项式$a^2$和$2ab$，组成多项式$a^2 + 2ab$，提取公因式$a$，得：$a^2 + 2ab = a(a + 2b)$；
② 选取单项式$a^2$、$2ab$和$b^2$，组成多项式$a^2 + 2ab + b^2$，符合完全平方公式，分解得：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。
【答案】
①选择$a^2,2ab$，所以$a^2 + 2ab = a(a + 2b)$；②选择$a^2,2ab,b^2$，所以$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。（答案不唯一）
【知识点】
因式分解、提公因式法、完全平方公式
【点评】
本题是基础因式分解的开放性题目，主要考察学生对提公因式法和完全平方公式的掌握，解题时需先合理选取单项式组合，再选择对应方法分解，难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
19.(8分)(2024·绍兴市新昌县期末)小林和小王碰到了一个难题:将$a^4 + 4$因式分解。
(1)根据小王说的方法将$a^4 + 4$因式分解。
(2)按照上述方法将$m^4 - m^2n^2 + 16n^4$因式分解。
(1)根据小王说的方法将$a^4 + 4$因式分解。
(2)按照上述方法将$m^4 - m^2n^2 + 16n^4$因式分解。
答案
19.(1)解:原式$= a^4 + 4 + 4a^2 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - 4a^2 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2)$。
(2)解:原式$= m^4 + 16n^4 + 8m^2n^2 - 8m^2n^2 - m^2n^2 = (m^2 + 4n^2)^2 - 9m^2n^2 = (m^2 + 3mn + 4n^2)(m^2 - 3mn + 4n^2)$。
(2)解:原式$= m^4 + 16n^4 + 8m^2n^2 - 8m^2n^2 - m^2n^2 = (m^2 + 4n^2)^2 - 9m^2n^2 = (m^2 + 3mn + 4n^2)(m^2 - 3mn + 4n^2)$。
解析
【分析】
对于无法直接用提取公因式、乘法公式分解的多项式，可采用配方法：添加并减去适当的项，将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进一步分解，这是解决此类因式分解问题的核心思路。
【解析】
(1) 对$a^4 +4$因式分解：
原式$=a^4 +4 +4a^2 -4a^2$
$=(a^2 +2)^2 - (2a)^2$
根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，得：
$=(a^2 +2 +2a)(a^2 +2 -2a)$
$=(a^2 +2a +2)(a^2 -2a +2)$
(2) 对$m^4 -m^2n^2 +16n^4$因式分解：
原式$=m^4 +16n^4 +8m^2n^2 -8m^2n^2 -m^2n^2$
$=(m^2 +4n^2)^2 -9m^2n^2$
其中$9m^2n^2=(3mn)^2$，再用平方差公式：
$=(m^2 +4n^2 +3mn)(m^2 +4n^2 -3mn)$
$=(m^2 +3mn +4n^2)(m^2 -3mn +4n^2)$
【答案】
(1) $(a^2 +2a +2)(a^2 -2a +2)$；
(2) $(m^2 +3mn +4n^2)(m^2 -3mn +4n^2)$
【知识点】
因式分解、配方法、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的配方法应用，需通过构造完全平方结合平方差公式分解，是因式分解中灵活性较强的题型，要求学生熟练掌握公式变形技巧。
【难度系数】
0.3
对于无法直接用提取公因式、乘法公式分解的多项式，可采用配方法：添加并减去适当的项，将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进一步分解，这是解决此类因式分解问题的核心思路。
【解析】
(1) 对$a^4 +4$因式分解：
原式$=a^4 +4 +4a^2 -4a^2$
$=(a^2 +2)^2 - (2a)^2$
根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，得：
$=(a^2 +2 +2a)(a^2 +2 -2a)$
$=(a^2 +2a +2)(a^2 -2a +2)$
(2) 对$m^4 -m^2n^2 +16n^4$因式分解：
原式$=m^4 +16n^4 +8m^2n^2 -8m^2n^2 -m^2n^2$
$=(m^2 +4n^2)^2 -9m^2n^2$
其中$9m^2n^2=(3mn)^2$，再用平方差公式：
$=(m^2 +4n^2 +3mn)(m^2 +4n^2 -3mn)$
$=(m^2 +3mn +4n^2)(m^2 -3mn +4n^2)$
【答案】
(1) $(a^2 +2a +2)(a^2 -2a +2)$；
(2) $(m^2 +3mn +4n^2)(m^2 -3mn +4n^2)$
【知识点】
因式分解、配方法、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的配方法应用，需通过构造完全平方结合平方差公式分解，是因式分解中灵活性较强的题型，要求学生熟练掌握公式变形技巧。
【难度系数】
0.3
