【即学即练】
1. 在平面直角坐标系中，以点$(-2,3)$为圆心，3为半径的圆一定 （）

A.与$x$轴相切，与$y$轴相切
B.与$x$轴相切，与$y$轴相交
C.与$x$轴相交，与$y$轴相切
D.与$x$轴相交，与$y$轴相交

1. B

【分析】
要判断圆与x轴、y轴的位置关系，需依据直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d=r时直线与圆相切，d＜r时相交，d＞r时相离。接下来我们只需要分别计算圆心到x轴、y轴的距离，再和半径3比较大小即可得出结论：平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。
【解析】
已知圆的圆心为$(-2,3)$，半径$r=3$。
1. 计算圆心到x轴的距离：$d_x=|3|=3$，因为$d_x=r$，所以该圆与x轴相切。
2. 计算圆心到y轴的距离：$d_y=|-2|=2$，因为$d_y＜r$，所以该圆与y轴相交。
综上，圆与x轴相切，与y轴相交，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系、点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是掌握坐标平面内点到坐标轴的距离计算方法，牢记位置关系对应的距离与半径的大小比较规则即可快速求解，是平面几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

【典型例题 2】如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$,以直角顶点$C$为圆心作$\odot C$,设$\odot C$的半径为$r$.

(1)当$r$为何值时,$AB$所在直线与$\odot C$相切?
(2)如果$\odot C$与斜边$AB$只有一个公共
点,那么$r$的取值范围是;如果$\odot C$与$\mathrm{Rt}△ ABC$的边只有两个公共点,那么$r$的取值范围是.
【解】(1)如图,过点$C$作$CD⊥ AB$,垂足为$D$.

当$AB$所在直线与$\odot C$相切时,$r=CD$.
$\because∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$,
$\therefore\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$.
$\therefore CD=4.8$,即$r=4.8$.
$\therefore$当$r=4.8$时,$AB$所在直线与$\odot C$相切.
(2)$r=4.8$或$6＜r≤8$ $0＜r＜4.8$或$6＜r＜8$

规律方法 利用直线与圆的位置关系确定$d$或$r$的取值或取值范围的一般步骤:
(1)根据已知条件求出$d$或$r$.
(2)根据直线与圆的位置关系得到关于$d$与$r$的等式或不等式.
(3)由第(2)步中的等式或不等式确定$r$或$d$的取值或取值范围.

1. 当$r=4.8$时，$AB$所在直线与$\odot C$相切
2. $r=4.8$或$6＜r≤8$；$0＜r＜4.8$或$6＜r＜8$

【分析】
本题围绕直线与圆的位置关系展开求解：
(1) 要判断AB与$\odot C$相切，根据直线和圆相切的性质：圆心到直线的距离等于半径，因此先求斜边AB的长度，再通过直角三角形面积的两种计算方法（等面积法）求出点C到AB的垂线段长度，该长度就是相切时的半径r。
(2) 求r的取值范围需分类讨论：① 若$\odot C$与斜边AB只有一个公共点，包含两种情况：一是圆与AB直线相切（仅1个公共点），二是圆与线段AB相交且仅1个交点落在线段AB上；② 若$\odot C$与$\mathrm{Rt}△ABC$的边只有两个公共点，需结合圆与三条边的交点个数逐一分析边界值，排除不符合的情况即可得到取值范围。
【解析】
(1) 过点C作$CD⊥AB$，垂足为D。
当AB所在直线与$\odot C$相切时，半径r等于圆心C到AB的距离CD。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×CD$
解得$CD=4.8$，即$r=4.8$。
(2) ① 若$\odot C$与斜边AB只有一个公共点：
第一种情况：$\odot C$与AB相切，此时$r=4.8$，仅1个公共点；
第二种情况：点A在圆内、点B在圆上或圆外，此时$AC＜r≤BC$，即$6＜r≤8$，线段AB与圆仅有1个交点。
综上，r的取值范围是$r=4.8$或$6＜r≤8$。
② 若$\odot C$与$\mathrm{Rt}△ABC$的边只有两个公共点：
第一种情况：$0＜r＜4.8$时，$\odot C$与AB相离无交点，与AC、BC各有1个交点，共2个公共点；
第二种情况：$6＜r＜8$时，点A在圆内，点B在圆外，$\odot C$与AB有1个交点、与BC有1个交点，共2个公共点。
综上，r的取值范围是$0＜r＜4.8$或$6＜r＜8$。
【答案】
(1) 当$r=4.8$时，$AB$所在直线与$\odot C$相切
(2) $r=4.8$或$6＜r≤8$；$0＜r＜4.8$或$6＜r＜8$
【知识点】
直线与圆的位置关系；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的实际应用，解题时要注意区分“直线与圆相交”和“线段与圆相交”的区别，涉及取值范围问题要做好分类讨论，特别注意边界值是否符合题意，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

2. 如图，$∠ AOB = 30°$，$OP = 8$. 若$\odot P$与射线OA只有一个公共点，则$\odot P$的半径$r$的取值范围是.

2. r=4或r＞8 【解析】 如图,过点P作PQ⊥OA,垂足为Q,
则$∠ OQP=90°$.
$\because∠ AOB=30°,OP=8$,
$\therefore PQ=\frac{1}{2}OP=4$.
$\therefore$当$r=4$时,$\odot P$与射线$OA$相切,此时只有一个公共点.
$\because$当$r=OP=8$时,$\odot P$与射线$OA$有两个公共点,
$\therefore$当$r＞8$时,$\odot P$与射线$OA$只有一个公共点.
综上所述,当$\odot P$与射线$OA$只有一个公共点时,$r$的取值范围是$r=4$或$r＞8$.

【分析】
要解决本题，首先明确“$\odot P$与射线$OA$只有一个公共点”包含两种情况：一是$\odot P$和射线$OA$相切，此时仅有1个公共点；二是$\odot P$和射线$OA$相交但仅有1个交点（此时射线端点$O$在圆内，射线仅穿过圆一次）。首先过$P$作$OA$的垂线，利用含$30°$角的直角三角形性质求出相切时的半径，再分析相交时仅1个交点的半径范围，最后综合两种情况得到结果即可。
【解析】

如图，过点$P$作$PQ⊥ OA$，垂足为$Q$，则$∠ OQP=90°$。
$\because∠ AOB=30°$，$OP=8$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OPQ$中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，即$PQ=\frac{1}{2}OP=4$。
①当$r=4$时，$\odot P$与射线$OA$相切，此时二者只有一个公共点，符合要求；
②当$r＞8$时，点$O$在$\odot P$内部，射线$OA$从$O$出发仅与$\odot P$交于1个点，符合要求；若$r=8$，点$O$在$\odot P$上，此时$\odot P$与射线$OA$有$O$和另一个交点共2个公共点，不符合要求。
综上，$\odot P$与射线$OA$只有一个公共点时，$r$的取值范围是$r=4$或$r＞8$。
【答案】
$r=4$或$r＞8$
【知识点】
直线与圆的位置关系，含$30°$角的直角三角形性质，切线的判定
【点评】
本题是易错题，解题时要注意区分射线和直线的差异，不能仅考虑相切的情况，需分情况讨论所有满足条件的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.5