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基础知识·预习
问题1 直线与圆的位置关系一共有几种？分别是什么？
问题2 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离与半径有怎样的大小关系？
问题3 已知圆的半径$ r $和圆心到直线的距离$ d $，你能判断直线与圆的位置关系吗？
问题1 直线与圆的位置关系一共有几种？分别是什么？
问题2 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离与半径有怎样的大小关系？
问题3 已知圆的半径$ r $和圆心到直线的距离$ d $，你能判断直线与圆的位置关系吗？
答案
问题1. 直线与圆的位置关系一共有3种，分别是相离、相切、相交。
问题2. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即d=r。
问题3. 可以判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交。
问题2. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即d=r。
问题3. 可以判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交。
解析
【分析】
这三道题都是直线与圆位置关系的基础概念类问题，解题思路如下：1. 解答问题1时，可从直线与圆的公共点数量的分类依据出发，回忆对应的三类位置关系即可；2. 解答问题2时，结合相切“只有1个公共点”的特征，对应推导圆心到直线的距离和半径的等量关系；3. 解答问题3时，直接建立圆心到直线的距离d、半径r的大小关系和三种位置关系的一一对应规则即可。
【解析】
问题1：根据直线与圆的公共点个数进行划分，直线与圆的位置关系共3类：当直线和圆没有公共点时为相离，当直线和圆只有1个公共点时为相切，当直线和圆有2个公共点时为相交。
问题2：直线与圆相切时仅存在1个公共点，此时圆心到直线的距离恰好和半径长度相等，即d=r。
问题3：可以通过d和r的大小关系判断位置关系：①当d＞r时，直线到圆心的距离大于半径，直线和圆无公共点，二者相离；②当d=r时，直线到圆心的距离等于半径，直线和圆只有1个公共点，二者相切；③当d＜r时，直线到圆心的距离小于半径，直线和圆有2个公共点，二者相交。
【答案】
问题1. 直线与圆的位置关系一共有3种，分别是相离、相切、相交。
问题2. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即d=r。
问题3. 可以判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交。
【知识点】
直线与圆的位置关系；直线与圆相切的性质；直线与圆位置关系的判定
【点评】
本题是直线与圆模块的基础概念题，主要考察对基础定义和判定规则的识记，熟练掌握d与r的大小关系和三类位置关系的对应逻辑，是后续解决直线与圆综合题型的必备基础。
【难度系数】
0.9
这三道题都是直线与圆位置关系的基础概念类问题，解题思路如下：1. 解答问题1时，可从直线与圆的公共点数量的分类依据出发，回忆对应的三类位置关系即可；2. 解答问题2时，结合相切“只有1个公共点”的特征，对应推导圆心到直线的距离和半径的等量关系；3. 解答问题3时，直接建立圆心到直线的距离d、半径r的大小关系和三种位置关系的一一对应规则即可。
【解析】
问题1：根据直线与圆的公共点个数进行划分，直线与圆的位置关系共3类：当直线和圆没有公共点时为相离，当直线和圆只有1个公共点时为相切，当直线和圆有2个公共点时为相交。
问题2：直线与圆相切时仅存在1个公共点，此时圆心到直线的距离恰好和半径长度相等，即d=r。
问题3：可以通过d和r的大小关系判断位置关系：①当d＞r时，直线到圆心的距离大于半径，直线和圆无公共点，二者相离；②当d=r时，直线到圆心的距离等于半径，直线和圆只有1个公共点，二者相切；③当d＜r时，直线到圆心的距离小于半径，直线和圆有2个公共点，二者相交。
【答案】
问题1. 直线与圆的位置关系一共有3种，分别是相离、相切、相交。
问题2. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即d=r。
问题3. 可以判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交。
【知识点】
直线与圆的位置关系；直线与圆相切的性质；直线与圆位置关系的判定
【点评】
本题是直线与圆模块的基础概念题，主要考察对基础定义和判定规则的识记，熟练掌握d与r的大小关系和三类位置关系的对应逻辑，是后续解决直线与圆综合题型的必备基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】在$△ ABC$中，$∠ A＝45°$，$AC＝4$，以点$C$为圆心，$r$为半径作圆.分别判断当$r＝2$，$r＝2\sqrt{2}$，$r＝3$时，直线$AB$与$\odot C$的位置关系和公共点个数.
思路导引 根据题意画出图形，过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$.根据$∠ A＝45°$，结合勾股定理，可求出$CD$的长，即圆心$C到直线AB$的距离$d$，再根据$d$与$r$的大小关系，判断直线与圆的位置关系.
【解】过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$（图略），则$∠ ADC＝90°$.
$\because∠ A＝45°$，
$\therefore△ ACD$是等腰直角三角形.
$\therefore AD＝CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2＋CD^2＝AC^2$，即$2CD^2＝16$.
$\therefore CD＝2\sqrt{2}$.
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d＝CD＝2\sqrt{2}$.
当$r＝2$时，$d＞r$.
故直线$AB$与$\odot C$相离，没有公共点.
当$r＝2\sqrt{2}$时，$d＝r$.
故直线$AB$与$\odot C$相切，有一个公共点.
当$r＝3$时，$d＜r$.
故直线$AB$与$\odot C$相交，有两个公共点.
规律方法 判断直线与圆的位置关系的两种方法：
（1）根据直线与圆的公共点的个数来判断.
（2）根据圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系来判断.
思路导引 根据题意画出图形，过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$.根据$∠ A＝45°$，结合勾股定理，可求出$CD$的长，即圆心$C到直线AB$的距离$d$，再根据$d$与$r$的大小关系，判断直线与圆的位置关系.
【解】过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$（图略），则$∠ ADC＝90°$.
$\because∠ A＝45°$，
$\therefore△ ACD$是等腰直角三角形.
$\therefore AD＝CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2＋CD^2＝AC^2$，即$2CD^2＝16$.
$\therefore CD＝2\sqrt{2}$.
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d＝CD＝2\sqrt{2}$.
当$r＝2$时，$d＞r$.
故直线$AB$与$\odot C$相离，没有公共点.
当$r＝2\sqrt{2}$时，$d＝r$.
故直线$AB$与$\odot C$相切，有一个公共点.
当$r＝3$时，$d＜r$.
故直线$AB$与$\odot C$相交，有两个公共点.
规律方法 判断直线与圆的位置关系的两种方法：
（1）根据直线与圆的公共点的个数来判断.
（2）根据圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系来判断.
答案
过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$（图略），则$∠ ADC＝90°$.
$\because∠ A＝45°$，
$\therefore△ ACD$是等腰直角三角形.
$\therefore AD＝CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2＋CD^2＝AC^2$，即$2CD^2＝16$.
$\therefore CD＝2\sqrt{2}$.
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d＝CD＝2\sqrt{2}$.
当$r＝2$时，$d＞r$.
故直线$AB$与$\odot C$相离，没有公共点.
当$r＝2\sqrt{2}$时，$d＝r$.
故直线$AB$与$\odot C$相切，有一个公共点.
当$r＝3$时，$d＜r$.
故直线$AB$与$\odot C$相交，有两个公共点.
规律方法 判断直线与圆的位置关系的两种方法：
（1）根据直线与圆的公共点的个数来判断.
（2）根据圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系来判断.
$\because∠ A＝45°$，
$\therefore△ ACD$是等腰直角三角形.
$\therefore AD＝CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2＋CD^2＝AC^2$，即$2CD^2＝16$.
$\therefore CD＝2\sqrt{2}$.
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d＝CD＝2\sqrt{2}$.
当$r＝2$时，$d＞r$.
故直线$AB$与$\odot C$相离，没有公共点.
当$r＝2\sqrt{2}$时，$d＝r$.
故直线$AB$与$\odot C$相切，有一个公共点.
当$r＝3$时，$d＜r$.
故直线$AB$与$\odot C$相交，有两个公共点.
规律方法 判断直线与圆的位置关系的两种方法：
（1）根据直线与圆的公共点的个数来判断.
（2）根据圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系来判断.
解析
【分析】
要判断直线AB与⊙C的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d与圆半径r的大小关系。首先我们过点C作AB的垂线段CD，结合已知∠A=45°、AC=4的条件，可推出△ACD是等腰直角三角形，利用勾股定理就能求出CD的长度也就是d的值，再分别将d与r=2、$2\sqrt{2}$、3比较，对应得出不同r下直线与圆的位置关系和公共点个数即可。
【解析】
过点C作$CD⊥ AB$，垂足为D（图略），则$∠ ADC＝90°$。
$\because∠ A＝45°$，
$\therefore△ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore AD＝CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2＋CD^2＝AC^2$，AC=4，代入得$2CD^2＝16$，
$\therefore CD＝2\sqrt{2}$，即圆心C到直线AB的距离$d=CD=2\sqrt{2}$。
当$r＝2$时，$d＞r$，故直线$AB$与$\odot C$相离，没有公共点；
当$r＝2\sqrt{2}$时，$d＝r$，故直线$AB$与$\odot C$相切，有一个公共点；
当$r＝3$时，$d＜r$，故直线$AB$与$\odot C$相交，有两个公共点。
【答案】
当r=2时，直线AB与⊙C相离，无公共点；当r=$2\sqrt{2}$时，直线AB与⊙C相切，有1个公共点；当r=3时，直线AB与⊙C相交，有2个公共点。
【知识点】
直线与圆的位置关系；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是牢记位置关系与d、r大小的对应规则，通过构造直角三角形求出圆心到直线的距离即可求解，利用特殊直角三角形的性质可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
要判断直线AB与⊙C的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d与圆半径r的大小关系。首先我们过点C作AB的垂线段CD，结合已知∠A=45°、AC=4的条件，可推出△ACD是等腰直角三角形，利用勾股定理就能求出CD的长度也就是d的值，再分别将d与r=2、$2\sqrt{2}$、3比较，对应得出不同r下直线与圆的位置关系和公共点个数即可。
【解析】
过点C作$CD⊥ AB$，垂足为D（图略），则$∠ ADC＝90°$。
$\because∠ A＝45°$，
$\therefore△ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore AD＝CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2＋CD^2＝AC^2$，AC=4，代入得$2CD^2＝16$，
$\therefore CD＝2\sqrt{2}$，即圆心C到直线AB的距离$d=CD=2\sqrt{2}$。
当$r＝2$时，$d＞r$，故直线$AB$与$\odot C$相离，没有公共点；
当$r＝2\sqrt{2}$时，$d＝r$，故直线$AB$与$\odot C$相切，有一个公共点；
当$r＝3$时，$d＜r$，故直线$AB$与$\odot C$相交，有两个公共点。
【答案】
当r=2时，直线AB与⊙C相离，无公共点；当r=$2\sqrt{2}$时，直线AB与⊙C相切，有1个公共点；当r=3时，直线AB与⊙C相交，有2个公共点。
【知识点】
直线与圆的位置关系；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是牢记位置关系与d、r大小的对应规则，通过构造直角三角形求出圆心到直线的距离即可求解，利用特殊直角三角形的性质可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
