1. 如图，与$\odot O$相离的直线是 （）

A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$

1. A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确直线和圆的三种位置关系的判定依据：根据直线和圆的公共点个数区分，直线与圆没有公共点时为相离，有1个公共点时为相切，有2个公共点时为相交。接下来只需要逐一观察图中4条直线和⊙O的公共点个数，即可选出符合要求的直线。
【解析】
我们逐个判断各直线与⊙O的位置关系：
1. 直线$l_1$：和$\odot O$没有公共点，符合相离的定义；
2. 直线$l_2$：和$\odot O$有2个公共点，属于相交关系；
3. 直线$l_3$：和$\odot O$有2个公共点，属于相交关系；
4. 直线$l_4$：和$\odot O$只有1个公共点，属于相切关系。
因此与$\odot O$相离的直线是$l_1$。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点对直线与圆的三种位置关系的识别进行考核，解题时只需结合定义观察图形即可，难度较低。
【难度系数】
0.9

2.已知$\odot O$的半径是5，点A在$\odot O$上，P是$\odot O$所在平面内一点，且$AP=2$，过点P作直线$l$，使$l⊥ PA$，则点O到直线$l$的距离的最大值为。

2. 7

【分析】
我们要找点O到直线l的最大距离，首先明确直线l的约束条件：过点P且垂直于AP。首先作辅助线转化所求距离：过O作OH⊥l于H（H为垂足，OH即为所求距离），由l⊥AP、OH⊥l可推出AP//OH，再过A作AC⊥OH于C，可证四边形APHC是矩形，因此CH=AP=2，即OH=OC+2。此时问题转化为求OC的最大值：OC是Rt△OAC的直角边，斜边OA为⊙O半径，是定值5，根据直角三角形中直角边不大于斜边，可得OC最大值为5，代入即可求出OH的最大值。
【解析】
解：作OH⊥直线l于点H，过点A作AC⊥OH于点C。
∵ $ l ⊥ PA $，$ OH ⊥ l $
∴ $ PA // OH $
又
∵ $ AC ⊥ OH $，$ PH ⊥ OH $
∴ 四边形APHC是矩形，
∴ $ CH = AP = 2 $，
∴ $ OH = OC + CH = OC + 2 $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAC $中，直角边长度不大于斜边长度，即$ OC ≤ OA $。
∵ 点A在$ \odot O $上，$ \odot O $半径为5，
∴ $ OA=5 $，即OC的最大值为5（当且仅当O、A、P三点共线，且A位于O、P之间时，$ OC=OA=5 $）。
∴ OH的最大值为$ 5 + 2 = 7 $。
【答案】
7
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 矩形的判定与性质
3. 直角三角形三边关系
【点评】
本题属于几何综合类题目，解题核心是通过构造辅助线将未知的距离最值转化为已知定长线段和可变线段的和，结合圆的半径为定值的性质找到最大值的临界情况，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3. 在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=4$，$AC=3$.
(1)若以点$C$为圆心，2为半径作$\odot C$，则直线$AB$与$\odot C$的位置关系是什么？
(2)若线段$AB$与半径为$r$的$\odot C$只有一个公共点，请直接写出$r$的取值范围.

3.【解】(1)$\because$ 在$△ ABC$ 中,$AB=5,BC=4,AC=3$,
$3^2+4^2=5^2$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$.
$\therefore△ ABC$ 为直角三角形,且$∠ ACB=90°$.
如图,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$,垂足为 $D$,

则 $△ ABC$ 的面积为 $\dfrac{AB· CD}{2}=\dfrac{AC· BC}{2}$,即
$\dfrac{5CD}{2}=\dfrac{3× 4}{2}$.
$\therefore CD=2.4$.
$\because 2＜2.4$,
$\therefore$ 直线 $AB$ 与$\odot C$ 相离.
(2)$3＜ r≤ 4$ 或 $r=2.4$.

【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系的核心是比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小关系，因此首先需要求出点$C$到直线$AB$的距离。先通过勾股定理逆定理判定$△ ABC$是直角三角形，再用等面积法求出斜边上的高，也就是$C$到$AB$的距离，最后和半径$2$比较即可得出结论。
（2）线段$AB$和圆只有一个公共点分两种情况：一是圆和线段$AB$相切，此时半径等于圆心到$AB$的距离；二是圆和线段$AB$相交，仅和线段交于一点，此时半径范围是大于$AC$的长度且小于等于$BC$的长度，综合两种情况即可得到$r$的取值范围。
【解析】
(1) 已知在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=4$，$AC=3$，
$\because 3^2+4^2=5^2$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$为直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$，

根据三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
代入数值计算：$\frac{1}{2}×5× CD=\frac{1}{2}×3×4$，
解得$CD=2.4$。
$\because \odot C$的半径为$2$，$2＜2.4$，即$d＞r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相离。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$\odot C$与$AB$相切时，线段$AB$与$\odot C$只有1个公共点，此时$r=CD=2.4$；
② 当$\odot C$与线段$AB$相交且仅交于1个点时，半径需满足大于$AC$的长度、小于等于$BC$的长度，即$3＜r≤4$。
综上，$r$的取值范围是$3＜r≤4$或$r=2.4$。
【答案】
(1) 直线$AB$与$\odot C$相离；
(2) $3＜ r≤ 4$ 或 $r=2.4$。
【知识点】
直线与圆的位置关系；勾股定理逆定理；等面积法求高
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的判定，解题时要注意区分“直线”和“线段”与圆相交的区别，第二问容易遗漏相切或相交仅一个交点的其中一种情况，做题时要分类讨论全面。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在平面直角坐标系中,半径为2的$\odot P$的圆心的坐标是$(-3,0)$,将$\odot P$沿x轴的正方向平移.若$\odot P$与y轴相切,则平移的距离为 ()

A.1
B.1或5
C.3
D.5

(第4题图)
(第5题图)

4. B

【分析】
要解决这个问题，首先明确圆与直线相切的判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。首先设平移距离为d，写出平移后圆心的坐标，再根据圆心到y轴的距离等于半径2列方程，注意圆和y轴相切存在两种情况：圆在y轴左侧相切、圆在y轴右侧相切，因此需要解绝对值方程得到两个解。
【解析】
设$\odot P$沿x轴正方向平移的距离为$d$（$d＞0$），则平移后圆心$P$的坐标为$(-3+d, 0)$。
$\because \odot P$与$y$轴相切，
$\therefore$ 圆心到$y$轴的距离等于半径2，即$|-3+d|=2$。
分两种情况解方程：
① 当$-3+d=2$时，解得$d=5$，此时圆在$y$轴右侧与$y$轴相切；
② 当$-3+d=-2$时，解得$d=1$，此时圆在$y$轴左侧与$y$轴相切。
综上，平移的距离为1或5，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆相切的性质，图形的平移，绝对值方程求解
【点评】
本题易错点是容易忽略圆在y轴左侧相切的情况，只算出一个解，解题时要考虑全面，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7

5.如图,点A,B的坐标分别为$(1,0),(0,2),M$为线段AB的中点,以点O为圆心,$\frac{2\sqrt{5}}{5}$为半径作$\odot O$,则下列结论正确的是（）

A.AB与$\odot O$相切
B.点A在$\odot O$上
C.点B在$\odot O$上
D.点M在$\odot O$上

5. A

【分析】
要判断各选项是否正确，我们可以按以下思路分析：①判断直线AB与⊙O的位置关系：先通过A、B坐标求出AB长度，再用面积法计算原点O到AB的距离，将距离和⊙O半径比较，若相等则AB与圆相切；②判断各点与⊙O的位置关系：分别计算点A、B、M到原点O的距离，和半径比较，距离等于半径则点在圆上，大于半径则在圆外，小于则在圆内，最终选出正确结论。
【解析】
已知点$A(1,0)$，$B(0,2)$，因此$OA=1$，$OB=2$。
1. 计算线段$AB$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 求点$O$到$AB$的距离$d$：
由$△ AOB$面积的两种计算方法可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}AB· d$
代入数值：$\frac{1}{2}×1×2=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× d$
解得$d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，刚好等于$\odot O$的半径，因此$AB$与$\odot O$相切，故A选项正确。
3. 逐一验证其他选项：
选项B：点$A$到$O$的距离$OA=1$，$1＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，因此点$A$在$\odot O$外，B错误；
选项C：点$B$到$O$的距离$OB=2$，$2＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，因此点$B$在$\odot O$外，C错误；
选项D：$M$是$AB$中点，$\mathrm{Rt}△ AOB$中斜边中线等于斜边一半，因此$OM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}＞\frac{2\sqrt{5}}{5}$，因此点$M$在$\odot O$外，D错误。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点与圆的位置关系判定；勾股定理
【点评】
本题核心考查点、直线与圆位置关系的判定方法，其中用面积法求点到直线的距离是常用的简便技巧，熟练掌握“距离与半径比较”的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7

6.已知$\odot O$的半径为2，圆心O到直线l的距离为m.若关于x的一元二次方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + m - 1 = 0$有实数根，则直线l与$\odot O$的位置关系是什么？

6.【解】$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^2 - 2\sqrt{2}x + m - 1 = 0$ 有实数根,
$\therefore\Delta=(-2\sqrt{2})^2-4× 2(m-1)=8-8m+8=16-8m≥0$.
$\therefore m≤2$.
$\because\odot O$ 的半径为 2,圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $m$,
$\therefore$ 直线 $l$ 与$\odot O$ 的位置关系是相切或相交.

【分析】
解题可以分两步进行：第一步，先根据一元二次方程有实数根的条件，利用判别式Δ≥0列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围；第二步，结合直线与圆位置关系的判定规则：比较圆心到直线的距离m和圆半径的大小，将求出的m范围和已知半径2对比，即可判断直线和圆的位置关系。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + m - 1 = 0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=m-1$，
代入计算得：$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4×2×(m-1) = 8 - 8(m-1) = 16 - 8m≥0$，
解不等式得：$m≤2$。
∵ $\odot O$的半径为2，圆心O到直线l的距离为m，
∴ 当$m=2$时，距离等于半径，直线l与$\odot O$相切；当$m＜2$时，距离小于半径，直线l与$\odot O$相交。
【答案】
直线l与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，同时考查了一元二次方程根的判别式的应用和直线与圆位置关系的判断，解题核心是先求出m的取值范围，再结合位置关系判定规则得出结论，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

7.如图，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=2$，将半径为$r$的$\odot O$向右平移。
(1)当$r=1.2$时，试说明$\odot O$必先与线段$AC$相切，再与射线$BA$相切。
(2)若$\odot O$同时与线段$AC$和射线$BA$相切，求$r$的值；若$\odot O$先与射线$BA$相切，再与线段$AC$相切，求$r$的取值范围。

7.【解】(1)如图,设$\odot O$ 平移到圆心在$O'$处时,与线段$AC$ 相切. 作 $O'E⊥ AC$,垂足为 $E$,$O'E$ 的延长线交$AB$ 于点 $F$,作 $O'D⊥ AB$,垂足为 $D$,

则 $O'E=r$,$AE=2-r$.
易得在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中,$∠ AFE=∠ B=30°$.
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AF$.
$\therefore AF=2(2-r)$.
$\therefore EF=\sqrt{AF^2-AE^2}=\sqrt{3}(2-r)$.
$\therefore O'F=EF+r=\sqrt{3}(2-r)+r=2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)r$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ O'DF$ 中,$∠ O'FD=30°$,
$\therefore O'D=\dfrac{1}{2}O'F=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}r$.
$\therefore$ 当 $r=1.2$ 时,$O'D=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}× 1.2=\dfrac{2\sqrt{3}}{5}+0.6＞1.2$.
$\therefore$ 当 $r=1.2$ 时,$\odot O$ 必先与线段 $AC$ 相切,再与射线 $BA$ 相切.
(2)由(1)可知,当 $O'D=r$ 时,$\odot O$ 同时与线段$AC$ 和射线 $BA$ 相切.
此时$\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}r=r$.
解得 $r=3-\sqrt{3}$.
当 $O'D＜ r$ 时,$\odot O$ 先与射线 $BA$ 相切,再与线段 $AC$ 相切.
此时$\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}r＜ r$.
解得 $r＞3-\sqrt{3}$.
又$\odot O$ 必须与线段 $AC$ 相切(即半径不能超过$AC$ 的长),
$\therefore r≤2$.
综上,$r$ 的取值范围是 $3-\sqrt{3}＜ r≤2$.

【分析】
本题属于圆的平移与直线相切的综合问题，解题核心是利用“圆心到直线的距离等于半径”这一相切判定条件分析问题。
1. 首先明确平移特征：$\odot O$沿水平方向平移，因此圆心到下方水平直线的距离始终等于半径$r$，圆心纵坐标恒定。
2. 解决第(1)问时，先假设$\odot O$平移到与线段$AC$相切的位置，此时圆心到$AC$的距离为$r$，再计算该位置下圆心到射线$BA$的距离，将其与$r$比较：若距离大于$r$，说明此时还未与$BA$相切，即$\odot O$先与$AC$相切，后与$BA$相切。
3. 解决第(2)问时，①同时相切的条件为“圆心到$AC$的距离等于$r$，且圆心到$BA$的距离也等于$r$”，据此列方程求解$r$即可；②若先与$BA$相切，说明在圆心到$AC$的距离还大于$r$时，圆心到$BA$的距离已经等于$r$，据此列不等式，再结合$\odot O$能与线段$AC$相切的前提（$r≤AC$的长2），即可求出$r$的取值范围。
【解析】
(1) 如图，设$\odot O$平移到圆心在$O'$处时，与线段$AC$相切。作$O'E⊥AC$，垂足为$E$，$O'E$的延长线交$AB$于点$F$，作$O'D⊥AB$，垂足为$D$，

则$O'E=r$，$AE=AC-O'E=2-r$。
易得在$\mathrm{Rt}△AEF$中，$∠ AFE=∠ B=30°$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AF$，
$\therefore AF=2(2-r)$，
由勾股定理得$EF=\sqrt{AF^2-AE^2}=\sqrt{3}(2-r)$，
$\therefore O'F=EF+O'E=\sqrt{3}(2-r)+r=2\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)r$。
在$\mathrm{Rt}△O'DF$中，$∠ O'FD=30°$，
$\therefore O'D=\dfrac{1}{2}O'F=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}r$。
当$r=1.2$时，代入得：
$O'D=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}×1.2=\dfrac{2\sqrt{3}}{5}+0.6\approx1.292＞1.2$，
即此时圆心到$AB$的距离大于半径$r$，说明$\odot O$与$AC$相切时还未与$AB$相切，因此$\odot O$必先与线段$AC$相切，再与射线$BA$相切。
(2) 若$\odot O$同时与线段$AC$和射线$BA$相切，需满足圆心到两条线的距离均等于$r$，即$O'D=r$：
列方程得$\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}r=r$，
解方程得：
$\sqrt{3}=\dfrac{r(\sqrt{3}+1)}{2}$，
$\therefore r=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=3-\sqrt{3}$。
若$\odot O$先与射线$BA$相切，再与线段$AC$相切，说明当$\odot O$与$AC$相切时，圆心到$AB$的距离已经小于$r$，即$O'D＜r$：
列不等式得$\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}r＜r$，
解得$r＞3-\sqrt{3}$。
又$\odot O$需能与线段$AC$相切，因此半径不能超过$AC$的长度，即$r≤2$，
综上，$r$的取值范围是$3-\sqrt{3}＜r≤2$。
【答案】
(1) 当$r=1.2$时，$\odot O$必先与线段$AC$相切，再与射线$BA$相切，证明见解析；
(2) 同时与线段$AC$和射线$BA$相切时$r=3-\sqrt{3}$；先与射线$BA$相切时$r$的取值范围是$3-\sqrt{3}＜r≤2$。

【知识点】
直线与圆的位置关系；含30°直角三角形的性质；平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的性质、直线与圆相切的判定以及直角三角形的相关计算，需要学生结合几何特征将相切条件转化为代数方程或不等式求解，既锻炼了几何分析能力，也考查了代数计算能力，是圆相关综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6