基础知识·预习
问题1 切线和过切点的半径有什么位置关系？
问题2 怎么证明一条直线是圆的切线？
问题3 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？
问题4 举出几个生活中直线与圆相切的实例。

1. 切线与过切点的半径互相垂直，圆的切线垂直于过切点的半径。
2. 证明一条直线是圆的切线的常用方法：① 利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，若已知直线过圆上某一点，连接该点与圆心得到对应半径，证明直线与这条半径垂直即可；② 若无法确定直线和圆是否有公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径，即可判定该直线是圆的切线；也可通过定义证明直线与圆仅有一个公共点完成判定。
3. 连接圆上的已知点和圆心得到一条半径，过这个已知点作该半径的垂线，这条垂线就是所求的过该点的圆的切线。
4. 生活实例如：正常滚动的自行车车轮与地面的位置关系、砂轮打磨刀具时迸出的火星沿砂轮的切线方向、平放在水平桌面的杯子底面边缘与桌面的位置关系等。

【分析】
这是一组关于圆的切线的基础预习类问题，核心考查切线的基础概念、性质、判定及实际应用。解题思路如下：问题1可直接结合切线的性质定理得到结论；问题2需分两种常见场景梳理切线的判定方法，也可结合切线的定义补充判定思路；问题3可结合切线的判定定理推导作图步骤；问题4需联系生活中直线与圆仅有一个公共点的场景举例即可。
【解析】
我们对四个问题逐一解答：
1. 根据切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径，因此切线和过切点的半径互相垂直。
2. 证明直线是圆的切线分三类常用方法：
① 若已知直线过圆上某一点，可连接该点与圆心得到半径，证明直线与这条半径垂直即可（对应切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）；
② 若无法确定直线与圆是否有公共点，可过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径，即可判定直线是圆的切线；
③ 也可通过切线的定义，证明直线与圆仅有一个公共点，完成切线判定。
3. 过圆上一点作圆的切线，可依据切线判定定理操作：先连接圆上的已知点和圆心得到半径，再过这个已知点作该半径的垂线，这条垂线就是所求的切线。
4. 生活中直线与圆相切的场景较多，常见的有正常滚动的自行车车轮与地面的位置关系、砂轮打磨刀具时迸出的火星沿砂轮的切线方向、平放在水平桌面的杯子底面边缘与桌面的位置关系等。
【答案】
1. 切线与过切点的半径互相垂直，圆的切线垂直于过切点的半径。
2. 证明一条直线是圆的切线的常用方法：① 利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，若已知直线过圆上某一点，连接该点与圆心得到对应半径，证明直线与这条半径垂直即可；② 若无法确定直线和圆是否有公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径，即可判定该直线是圆的切线；也可通过定义证明直线与圆仅有一个公共点完成判定。
3. 连接圆上的已知点和圆心得到一条半径，过这个已知点作该半径的垂线，这条垂线就是所求的过该点的圆的切线。
4. 生活实例如：正常滚动的自行车车轮与地面的位置关系、砂轮打磨刀具时迸出的火星沿砂轮的切线方向、平放在水平桌面的杯子底面边缘与桌面的位置关系等。
【知识点】
切线的性质，切线的判定，切线的作图
【点评】
这组题目是切线模块的入门基础题，侧重对基础概念、定理的识记与理解，同时引导学生将数学知识与生活实际关联，为后续学习切线的综合应用夯实基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题 1】如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BC$是$\odot O$的切线,与$\odot O$相切于点$E$,连接$AE$,圆心$O$在$AC$上,$\odot O$经过点$A$,且$\odot O$分别交$AB$,$AC$于点$D$,$F$.

(1)求证:$AE$平分$∠ BAC$.
(2)若$∠ C=30°$,$\odot O$的半径为$3$,求$BD$的长.
(1)【证明】连接$OE$(图略).
$\because BC$是$\odot O$的切线,
$\therefore OE⊥ BC$.
$\therefore∠ OEC=90°$.
$\because∠ ABC=90°$,
$\therefore∠ ABC=∠ OEC$.
$\therefore AB// OE$.
$\therefore∠ BAE=∠ OEA$.
$\because OA=OE$,
$\therefore∠ OAE=∠ OEA$.
$\therefore∠ BAE=∠ OAE$.
$\therefore AE$平分$∠ BAC$.
(2)【解】连接$OD$(图略).
由(1)得$∠ OEC=90°$.
$\because∠ C=30°$,$∠ ABC=90°$,
$\therefore∠ CAB=60°$,$OC=2OE=6$.
$\therefore AC=3+6=9$.
$\because OA=OD$,$∠ CAB=60°$,
$\therefore△ ADO$为等边三角形.
$\therefore AD=OA=OD=3$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=30°$,
$\therefore AB=\frac{1}{2}AC=4.5$.
$\therefore BD=AB-AD=4.5-3=1.5$.

1. 【证明】连接$OE$(图略).
$\because BC$是$\odot O$的切线,
$\therefore OE⊥ BC$.
$\therefore∠ OEC=90°$.
$\because∠ ABC=90°$,
$\therefore∠ ABC=∠ OEC$.
$\therefore AB// OE$.
$\therefore∠ BAE=∠ OEA$.
$\because OA=OE$,
$\therefore∠ OAE=∠ OEA$.
$\therefore∠ BAE=∠ OAE$.
$\therefore AE$平分$∠ BAC$.
2. 【解】连接$OD$(图略).
由(1)得$∠ OEC=90°$.
$\because∠ C=30°$,$∠ ABC=90°$,
$\therefore∠ CAB=60°$,$OC=2OE=6$.
$\therefore AC=3+6=9$.
$\because OA=OD$,$∠ CAB=60°$,
$\therefore△ ADO$为等边三角形.
$\therefore AD=OA=OD=3$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=30°$,
$\therefore AB=\frac{1}{2}AC=4.5$.
$\therefore BD=AB-AD=4.5-3=1.5$.

【分析】
(1) 要证明AE平分∠BAC，需证∠BAE=∠OAE。首先根据切线的性质，连接切点E和圆心O，可得OE⊥BC，结合∠ABC=90°可推出AB//OE，得到∠BAE=∠OEA；再由OA=OE，等腰三角形两底角相等得∠OAE=∠OEA，等量代换即可完成证明。
(2) 求BD的长，可通过BD=AB-AD计算：①求AD：连接OD，由∠BAC=60°、OA=OD可判定△ADO为等边三角形，得AD=OA=3；②求AB：在Rt△OEC中，∠C=30°，得OC=2OE=6，故AC=OA+OC=9；再在Rt△ABC中利用30°角对的直角边是斜边一半的性质，得$AB=\frac{1}{2}AC=4.5$，作差即可得到BD的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$OE$。
$\because BC$是$\odot O$的切线，
$\therefore OE⊥ BC$，
$\therefore∠ OEC=90°$。
$\because∠ ABC=90°$，
$\therefore∠ ABC=∠ OEC$，
$\therefore AB// OE$，
$\therefore∠ BAE=∠ OEA$。
$\because OA=OE$，
$\therefore∠ OAE=∠ OEA$，
$\therefore∠ BAE=∠ OAE$，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$。
(2) 解：连接$OD$。
由(1)得$∠ OEC=90°$。
$\because∠ C=30°$,$∠ ABC=90°$,
$\therefore∠ CAB=60°$,$OC=2OE=6$，
$\therefore AC=3+6=9$。
$\because OA=OD$,$∠ CAB=60°$,
$\therefore△ ADO$为等边三角形，
$\therefore AD=OA=OD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=30°$,
$\therefore AB=\frac{1}{2}AC=4.5$，
$\therefore BD=AB-AD=4.5-3=1.5$。
【答案】
(1) AE平分∠BAC，证明成立；
(2) 1.5（或$\frac{3}{2}$）
【知识点】
切线的性质；等边三角形的判定；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题关键是合理添加辅助线，将圆的性质和特殊三角形的判定、性质结合运用，能有效巩固几何重点知识，提升综合分析图形的能力。
【难度系数】
0.7