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1. (2024·安徽)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$与一次函数$y=2-x$的图象的一个交点的横坐标为3，则$k$的值为 ()
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
答案
A
解析
【分析】
本题的核心是利用函数交点的性质解题：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。解题思路分为两步：第一步，先把交点的横坐标代入一次函数解析式，求出对应的纵坐标，得到完整的交点坐标；第二步，把交点坐标代入反比例函数解析式，就能计算出k的值。
【解析】
∵ 反比例函数与一次函数图象的一个交点的横坐标为3，
∴ 将$x=3$代入一次函数$y=2-x$，可得：
$y=2-3=-1$
∴ 该交点的坐标为$(3,-1)$
将$(3,-1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-1=\frac{k}{3}$
解得$k=-3$
【答案】
A
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 反比例函数与一次函数交点问题
3. 待定系数法求参数
【点评】
本题属于基础题，重点考查函数交点的本质属性，解题的关键是明确交点坐标可同时代入两个函数解析式运算，熟练掌握代入求值的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题的核心是利用函数交点的性质解题：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。解题思路分为两步：第一步，先把交点的横坐标代入一次函数解析式，求出对应的纵坐标，得到完整的交点坐标；第二步，把交点坐标代入反比例函数解析式，就能计算出k的值。
【解析】
∵ 反比例函数与一次函数图象的一个交点的横坐标为3，
∴ 将$x=3$代入一次函数$y=2-x$，可得：
$y=2-3=-1$
∴ 该交点的坐标为$(3,-1)$
将$(3,-1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-1=\frac{k}{3}$
解得$k=-3$
【答案】
A
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 反比例函数与一次函数交点问题
3. 待定系数法求参数
【点评】
本题属于基础题，重点考查函数交点的本质属性，解题的关键是明确交点坐标可同时代入两个函数解析式运算，熟练掌握代入求值的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$(-2,a),(2,b),(3,c)$都在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，则下列判断正确的是（）
A.$a＜b＜c$
B.$b＜a＜c$
C.$a＜c＜b$
D.$c＜b＜a$
A.$a＜b＜c$
B.$b＜a＜c$
C.$a＜c＜b$
D.$c＜b＜a$
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数的性质：当$k＞0$时，函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。第一步先根据三个点横坐标的正负，判断点所在的象限：横坐标为负的点在第三象限，对应的$y$值为负；横坐标为正的点在第一象限，对应的$y$值为正，因此第三象限的点的$y$值一定小于第一象限的点的$y$值，可先确定$a$是三个数中最小的。第二步再比较第一象限内两个点的函数值，根据第一象限内的增减性，横坐标越大，对应的$y$值越小，即可得到$b$和$c$的大小关系，最终排出三个数的顺序。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $-2＜0$，
∴ 点$(-2,a)$在第三象限，$\therefore a＜0$。
∵ $2＞0$，$3＞0$，
∴ 点$(2,b)$、$(3,c)$都在第一象限，$\therefore b＞0$，$c＞0$。
又
∵ $2＜3$，且第一象限内$y$随$x$增大而减小，
$\therefore b＞c$。
综上可得：$a＜c＜b$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是先区分不同象限内点的函数值的正负，再结合同象限内的增减性比较大小，避免直接套用增减性忽略象限差异导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆反比例函数的性质：当$k＞0$时，函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。第一步先根据三个点横坐标的正负，判断点所在的象限：横坐标为负的点在第三象限，对应的$y$值为负；横坐标为正的点在第一象限，对应的$y$值为正，因此第三象限的点的$y$值一定小于第一象限的点的$y$值，可先确定$a$是三个数中最小的。第二步再比较第一象限内两个点的函数值，根据第一象限内的增减性，横坐标越大，对应的$y$值越小，即可得到$b$和$c$的大小关系，最终排出三个数的顺序。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $-2＜0$，
∴ 点$(-2,a)$在第三象限，$\therefore a＜0$。
∵ $2＞0$，$3＞0$，
∴ 点$(2,b)$、$(3,c)$都在第一象限，$\therefore b＞0$，$c＞0$。
又
∵ $2＜3$，且第一象限内$y$随$x$增大而减小，
$\therefore b＞c$。
综上可得：$a＜c＜b$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是先区分不同象限内点的函数值的正负，再结合同象限内的增减性比较大小，避免直接套用增减性忽略象限差异导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 某学校要种植一块面积为100 m²的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长 y(m)随另一边长 x(m)的变化而变化的图象可能是 ()
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先根据长方形面积公式推导y与x的函数关系，确定函数类型；再结合“两边长均不小于5m”的限制条件，求出自变量x的取值范围；最后根据函数类型和x的取值范围匹配对应图像。
第一步：长方形面积=长×宽，已知面积为100m²，因此可得x和y的乘积为定值，符合反比例函数的特征；第二步：边长为正数，且两边长都≥5m，因此x≥5，同时y=100/x≥5，解不等式可得到x的上限；第三步：排除不符合函数类型、取值范围的选项，得到正确答案。
【解析】
由长方形面积公式得：$xy=100$，整理得$y=\frac{100}{x}$，即y是x的反比例函数，且x、y均为正数。
根据题意，两边长均不小于5m，因此：
$\begin{cases}x≥5 \\y=\frac{100}{x}≥5\end{cases}$
解不等式$\frac{100}{x}≥5$（x＞0，不等号方向不变），得$x≤20$。
综上，自变量x的取值范围是$5≤ x≤20$，因此函数图象是反比例函数$y=\frac{100}{x}$在第一象限内，x介于5到20之间的一段曲线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的图像识别，解题的关键是不能忽略实际问题对自变量取值范围的限制，需同时结合函数解析式和限制条件筛选图像。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据长方形面积公式推导y与x的函数关系，确定函数类型；再结合“两边长均不小于5m”的限制条件，求出自变量x的取值范围；最后根据函数类型和x的取值范围匹配对应图像。
第一步：长方形面积=长×宽，已知面积为100m²，因此可得x和y的乘积为定值，符合反比例函数的特征；第二步：边长为正数，且两边长都≥5m，因此x≥5，同时y=100/x≥5，解不等式可得到x的上限；第三步：排除不符合函数类型、取值范围的选项，得到正确答案。
【解析】
由长方形面积公式得：$xy=100$，整理得$y=\frac{100}{x}$，即y是x的反比例函数，且x、y均为正数。
根据题意，两边长均不小于5m，因此：
$\begin{cases}x≥5 \\y=\frac{100}{x}≥5\end{cases}$
解不等式$\frac{100}{x}≥5$（x＞0，不等号方向不变），得$x≤20$。
综上，自变量x的取值范围是$5≤ x≤20$，因此函数图象是反比例函数$y=\frac{100}{x}$在第一象限内，x介于5到20之间的一段曲线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的图像识别，解题的关键是不能忽略实际问题对自变量取值范围的限制，需同时结合函数解析式和限制条件筛选图像。
【难度系数】
0.7
4. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限的图象如图1所示，则k的值可能是（）
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
【分析】
要确定反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的取值，首先明确反比例函数的基本性质：在第一象限内$k＞0$，且对于图象上任意一点$(x,y)$，都满足$k=xy$。接下来结合图象给出的坐标范围推导$k$的范围：观察图象可得，当$x=1$时，对应的函数值小于4；当$x=2$时，对应的函数值大于1。分别代入$k=xy$即可得到关于$k$的不等式，求出$k$的取值范围后匹配选项即可。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限，
∴ $k＞0$，且对于图象上任意一点$(x,y)$，都有$k=xy$。
观察图象可知：
当$x=1$时，$y＜4$，代入得$k=1× y ＜4$；
当$x=2$时，$y＞1$，代入得$k=2× y＞2×1=2$。
综上，$k$的取值范围为$2＜k＜4$，
结合选项，只有$k=3$符合要求，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数系数k的几何意义
【点评】
本题主要考查反比例函数系数k的取值判断，解题的核心是利用图象上点的坐标特征得到k的不等式，渗透了数形结合的数学思想，属于基础题。
【难度系数】
0.7
要确定反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的取值，首先明确反比例函数的基本性质：在第一象限内$k＞0$，且对于图象上任意一点$(x,y)$，都满足$k=xy$。接下来结合图象给出的坐标范围推导$k$的范围：观察图象可得，当$x=1$时，对应的函数值小于4；当$x=2$时，对应的函数值大于1。分别代入$k=xy$即可得到关于$k$的不等式，求出$k$的取值范围后匹配选项即可。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限，
∴ $k＞0$，且对于图象上任意一点$(x,y)$，都有$k=xy$。
观察图象可知：
当$x=1$时，$y＜4$，代入得$k=1× y ＜4$；
当$x=2$时，$y＞1$，代入得$k=2× y＞2×1=2$。
综上，$k$的取值范围为$2＜k＜4$，
结合选项，只有$k=3$符合要求，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数系数k的几何意义
【点评】
本题主要考查反比例函数系数k的取值判断，解题的核心是利用图象上点的坐标特征得到k的不等式，渗透了数形结合的数学思想，属于基础题。
【难度系数】
0.7
5. (2024·扬州)在平面直角坐标系中,函数$y=\frac{4}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是 ()
A.0
B.1
C.2
D.4
A.0
B.1
C.2
D.4
答案
B
解析
【分析】
要确定函数图象与坐标轴的交点个数，需分两种情况讨论：①求与y轴的交点：令x=0，代入函数解析式计算y值，同时要保证x的取值符合函数定义域；②求与x轴的交点：令y=0，代入解析式求解x，判断是否存在符合条件的解。最后统计所有有效交点的数量即可。
【解析】
1. 求与y轴的交点：
令x=0，代入$y=\frac{4}{x+2}$，得$y=\frac{4}{0+2}=2$，且x=0满足自变量取值要求$x+2≠0$，因此函数图象与y轴交于点$(0,2)$，有1个交点。
2. 求与x轴的交点：
令y=0，即$\frac{4}{x+2}=0$，由于分子$4≠0$，该分式方程无解，因此函数图象与x轴没有交点。
综上，函数图象与坐标轴的交点总个数是1个。
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图象与坐标轴交点求法
2. 分式有意义的条件
3. 反比例函数的性质
【点评】
本题考查函数图象与坐标轴交点的求解，解题时需分类讨论x=0、y=0两种情况，要注意分式类函数分母不能为0，避免出现假根或漏判交点的错误。
【难度系数】
0.7
要确定函数图象与坐标轴的交点个数，需分两种情况讨论：①求与y轴的交点：令x=0，代入函数解析式计算y值，同时要保证x的取值符合函数定义域；②求与x轴的交点：令y=0，代入解析式求解x，判断是否存在符合条件的解。最后统计所有有效交点的数量即可。
【解析】
1. 求与y轴的交点：
令x=0，代入$y=\frac{4}{x+2}$，得$y=\frac{4}{0+2}=2$，且x=0满足自变量取值要求$x+2≠0$，因此函数图象与y轴交于点$(0,2)$，有1个交点。
2. 求与x轴的交点：
令y=0，即$\frac{4}{x+2}=0$，由于分子$4≠0$，该分式方程无解，因此函数图象与x轴没有交点。
综上，函数图象与坐标轴的交点总个数是1个。
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图象与坐标轴交点求法
2. 分式有意义的条件
3. 反比例函数的性质
【点评】
本题考查函数图象与坐标轴交点的求解，解题时需分类讨论x=0、y=0两种情况，要注意分式类函数分母不能为0，避免出现假根或漏判交点的错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图2,点A在双曲线$y=\frac{4}{x}$上,点B在双曲线$y=\frac{12}{x}$上,且$AB// x$轴,点C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为（）
A.4
B.6
C.8
D.12
A.4
B.6
C.8
D.12
答案
C
解析
【分析】
首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$。本题中$AB// x$轴，且四边形ABCD是矩形，说明A、B两点纵坐标相同，我们可以延长BA交y轴于点E，此时四边形OEAD、OEBC都是矩形，它们的面积分别对应两个反比例函数的$|k|$值，矩形ABCD的面积就是两个矩形的面积差，通过这个思路即可快速求解。
【解析】
延长BA交y轴于点E，
∵$AB// x$轴，四边形ABCD为矩形，
∴$BE⊥ y$轴，$AD⊥ x$轴，$BC⊥ x$轴，
∴四边形OEAD为矩形，
∵点A在$y=\frac{4}{x}$上，
∴$S_{矩形OEAD}=|4|=4$，
四边形OEBC为矩形，
∵点B在$y=\frac{12}{x}$上，
∴$S_{矩形OEBC}=|12|=12$，
∴$S_{矩形ABCD}=S_{矩形OEBC}-S_{矩形OEAD}=12-4=8$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题考查反比例函数性质的灵活应用，利用k的几何意义求矩形面积比设坐标计算更简便，解题时要注意结合图形特征，选择最优方法提高解题效率。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$。本题中$AB// x$轴，且四边形ABCD是矩形，说明A、B两点纵坐标相同，我们可以延长BA交y轴于点E，此时四边形OEAD、OEBC都是矩形，它们的面积分别对应两个反比例函数的$|k|$值，矩形ABCD的面积就是两个矩形的面积差，通过这个思路即可快速求解。
【解析】
延长BA交y轴于点E，
∵$AB// x$轴，四边形ABCD为矩形，
∴$BE⊥ y$轴，$AD⊥ x$轴，$BC⊥ x$轴，
∴四边形OEAD为矩形，
∵点A在$y=\frac{4}{x}$上，
∴$S_{矩形OEAD}=|4|=4$，
四边形OEBC为矩形，
∵点B在$y=\frac{12}{x}$上，
∴$S_{矩形OEBC}=|12|=12$，
∴$S_{矩形ABCD}=S_{矩形OEBC}-S_{矩形OEAD}=12-4=8$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题考查反比例函数性质的灵活应用，利用k的几何意义求矩形面积比设坐标计算更简便，解题时要注意结合图形特征，选择最优方法提高解题效率。
【难度系数】
0.7
