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3. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足。”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完。”设梨有$x$个，则可列方程为 （）
A.$\frac{x}{4} - 12 = \frac{x}{6}$
B.$\frac{x - 12}{4} = \frac{x}{6}$
C.$6x - 12 = 4x$
D.$4(x - 12) = 6x$
A.$\frac{x}{4} - 12 = \frac{x}{6}$
B.$\frac{x - 12}{4} = \frac{x}{6}$
C.$6x - 12 = 4x$
D.$4(x - 12) = 6x$
答案
B
解析
【分析】
要列方程解决本题，首先要找到题目中的不变量作为等量关系：无论哪种分梨方式，孩童的总人数是相等的。我们已知梨的总数为x个，只需分别用两种分梨情况表示出孩童人数，让两个表达式相等即可列出方程。
【解析】
第一步：根据第一种分梨情况表示孩童人数：
每人分4个梨时多12个，梨共有x个，因此实际分出去的梨数量为$(x-12)$个，孩童人数 = 分出去的梨数÷每人分到的梨数，即人数为$\frac{x-12}{4}$。
第二步：根据第二种分梨情况表示孩童人数：
每人分6个梨恰好分完，因此孩童人数 = 梨的总数÷每人分到的梨数，即人数为$\frac{x}{6}$。
第三步：根据孩童人数相等列方程：
$\frac{x-12}{4}=\frac{x}{6}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系识别
【点评】
本题结合古代数学文化考查一元一次方程的列写，解题核心是抓住分配过程中不变的量（孩童人数）建立等式，只要理清两种分配方案中各数量的对应关系，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
要列方程解决本题，首先要找到题目中的不变量作为等量关系：无论哪种分梨方式，孩童的总人数是相等的。我们已知梨的总数为x个，只需分别用两种分梨情况表示出孩童人数，让两个表达式相等即可列出方程。
【解析】
第一步：根据第一种分梨情况表示孩童人数：
每人分4个梨时多12个，梨共有x个，因此实际分出去的梨数量为$(x-12)$个，孩童人数 = 分出去的梨数÷每人分到的梨数，即人数为$\frac{x-12}{4}$。
第二步：根据第二种分梨情况表示孩童人数：
每人分6个梨恰好分完，因此孩童人数 = 梨的总数÷每人分到的梨数，即人数为$\frac{x}{6}$。
第三步：根据孩童人数相等列方程：
$\frac{x-12}{4}=\frac{x}{6}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系识别
【点评】
本题结合古代数学文化考查一元一次方程的列写，解题核心是抓住分配过程中不变的量（孩童人数）建立等式，只要理清两种分配方案中各数量的对应关系，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
1. (2024·宿迁)我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何? 这段话的意思是:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一尺.绳长、井深各几尺? 若设绳长为$x$尺,则可列方程为()
A.$\dfrac{1}{3}x - 4 = \dfrac{1}{4}x - 1$
B.$\dfrac{1}{3}x + 4 = \dfrac{1}{4}x - 1$
C.$\dfrac{1}{3}x - 4 = \dfrac{1}{4}x + 1$
D.$\dfrac{1}{3}x + 4 = \dfrac{1}{4}x + 1$
A.$\dfrac{1}{3}x - 4 = \dfrac{1}{4}x - 1$
B.$\dfrac{1}{3}x + 4 = \dfrac{1}{4}x - 1$
C.$\dfrac{1}{3}x - 4 = \dfrac{1}{4}x + 1$
D.$\dfrac{1}{3}x + 4 = \dfrac{1}{4}x + 1$
答案
A
解析
【分析】
解决这类列方程的应用题，首先要抓住题目中的不变量，本题中井的深度是固定不变的，我们只需要用含绳长$x$的式子分别表示出两种测量方式对应的井深，再令两个表示井深的式子相等即可得到方程。首先分析三折测井的情况：绳三折后每段长度是总绳长的$\dfrac{1}{3}$，即$\dfrac{1}{3}x$尺，此时井外余绳4尺，说明折后的绳长比井深多4尺，因此井深为$\dfrac{1}{3}x-4$；再分析四折测井的情况：绳四折后每段长度是总绳长的$\dfrac{1}{4}$，即$\dfrac{1}{4}x$尺，此时井外余绳1尺，同理井深为$\dfrac{1}{4}x-1$，最后根据井深相等列等式即可。
【解析】
本题的核心等量关系为：两种测量方式下井的深度相等。
1. 绳三折测量时，每段绳长为$\dfrac{1}{3}x$尺，井外余绳4尺，因此井深可表示为：$\dfrac{1}{3}x - 4$；
2. 绳四折测量时，每段绳长为$\dfrac{1}{4}x$尺，井外余绳1尺，因此井深可表示为：$\dfrac{1}{4}x - 1$；
根据井深相等，可列方程：$\dfrac{1}{3}x - 4 = \dfrac{1}{4}x - 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用、等量关系的确定
【点评】
本题以古代数学文化问题为载体，考查列一元一次方程的能力，解题关键是找准“井深不变”这一隐含等量关系，准确理解“折绳”“井外余绳”的含义即可轻松求解，注意不要混淆加减项的逻辑。
【难度系数】
0.8
解决这类列方程的应用题，首先要抓住题目中的不变量，本题中井的深度是固定不变的，我们只需要用含绳长$x$的式子分别表示出两种测量方式对应的井深，再令两个表示井深的式子相等即可得到方程。首先分析三折测井的情况：绳三折后每段长度是总绳长的$\dfrac{1}{3}$，即$\dfrac{1}{3}x$尺，此时井外余绳4尺，说明折后的绳长比井深多4尺，因此井深为$\dfrac{1}{3}x-4$；再分析四折测井的情况：绳四折后每段长度是总绳长的$\dfrac{1}{4}$，即$\dfrac{1}{4}x$尺，此时井外余绳1尺，同理井深为$\dfrac{1}{4}x-1$，最后根据井深相等列等式即可。
【解析】
本题的核心等量关系为：两种测量方式下井的深度相等。
1. 绳三折测量时，每段绳长为$\dfrac{1}{3}x$尺，井外余绳4尺，因此井深可表示为：$\dfrac{1}{3}x - 4$；
2. 绳四折测量时，每段绳长为$\dfrac{1}{4}x$尺，井外余绳1尺，因此井深可表示为：$\dfrac{1}{4}x - 1$；
根据井深相等，可列方程：$\dfrac{1}{3}x - 4 = \dfrac{1}{4}x - 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用、等量关系的确定
【点评】
本题以古代数学文化问题为载体，考查列一元一次方程的能力，解题关键是找准“井深不变”这一隐含等量关系，准确理解“折绳”“井外余绳”的含义即可轻松求解，注意不要混淆加减项的逻辑。
【难度系数】
0.8
2. 在数学活动课上,兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验. 如图2所示,在轻质木杆O处用一根细线悬挂,左端A处挂一重物,右端B处挂钩码,每个钩码质量是50 g. 若OA=20 cm,OB=40 cm,挂3个钩码可使轻质木杆在水平位置平衡. 设重物的质量为x g,根据题意列方程得 ()
A.$20x=40×50×3$
B.$40x=20×50×3$
C.$3×20x=40×50$
D.$3×40x=20×50$
A.$20x=40×50×3$
B.$40x=20×50×3$
C.$3×20x=40×50$
D.$3×40x=20×50$
答案
A
解析
【分析】
本题考查结合杠杆平衡原理列一元一次方程，解题思路如下：首先明确题目中的等量关系为杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂；其次分别确定左右两端的力（因为重力和质量成正比，本题中可直接用质量代表力的大小）和对应的力臂：左端重物质量为x g，对应力臂为OA=20cm，右端3个钩码总质量为50×3 g，对应力臂为OB=40cm；最后将数值代入等量关系即可列出方程。
【解析】
根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，本题中重力与质量成正比，可直接用质量与力臂乘积相等列等式：
左端：质量为x g，力臂OA=20 cm，乘积为20x；
右端：3个钩码总质量为50×3 g，力臂OB=40 cm，乘积为40×50×3；
木杆平衡时两者相等，即$20x=40×50×3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
杠杆平衡原理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是跨学科基础应用题，结合物理杠杆平衡知识考查列方程的能力，解题关键是准确找到等量关系，分清左右两侧对应的质量和力臂，避免混淆对应关系出错。
【难度系数】
0.8
本题考查结合杠杆平衡原理列一元一次方程，解题思路如下：首先明确题目中的等量关系为杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂；其次分别确定左右两端的力（因为重力和质量成正比，本题中可直接用质量代表力的大小）和对应的力臂：左端重物质量为x g，对应力臂为OA=20cm，右端3个钩码总质量为50×3 g，对应力臂为OB=40cm；最后将数值代入等量关系即可列出方程。
【解析】
根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，本题中重力与质量成正比，可直接用质量与力臂乘积相等列等式：
左端：质量为x g，力臂OA=20 cm，乘积为20x；
右端：3个钩码总质量为50×3 g，力臂OB=40 cm，乘积为40×50×3；
木杆平衡时两者相等，即$20x=40×50×3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
杠杆平衡原理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是跨学科基础应用题，结合物理杠杆平衡知识考查列方程的能力，解题关键是准确找到等量关系，分清左右两侧对应的质量和力臂，避免混淆对应关系出错。
【难度系数】
0.8
3. (2025·内江)学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方购了72套,每套减价3元,但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为x元,则可列方程为 ()
A.$72(100 - x) = 60(100 + 3 - x)$
B.$60(100 - x) = 72(100 - 3 - x)$
C.$60(100 + x) = 72(100 - 3 + x)$
D.$\dfrac{100 - x}{60} = \dfrac{100 - 3 - x}{72}$
A.$72(100 - x) = 60(100 + 3 - x)$
B.$60(100 - x) = 72(100 - 3 - x)$
C.$60(100 + x) = 72(100 - 3 + x)$
D.$\dfrac{100 - x}{60} = \dfrac{100 - 3 - x}{72}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确利润的基本计算关系：总利润=单套利润×销售数量，单套利润=售价-成本。题目给出两次销售商店获得的利润相同，因此我们只需要分别计算出原订购方案的总利润和实际购买方案的总利润，令两者相等即可列出方程。
【解析】
首先计算原订购方案的总利润：
原计划订购60套，每套售价100元，每套成本为x元，因此单套利润为$(100 - x)$元，总利润为$60(100 - x)$元。
再计算实际购买方案的总利润：
实际购买72套，每套减价3元，因此实际每套售价为$(100 - 3)$元，单套利润为$(100 - 3 - x)$元，总利润为$72(100 - 3 - x)$元。
已知两次销售利润相等，因此可列方程：
$60(100 - x) = 72(100 - 3 - x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题属于销售类列方程的基础题型，核心是抓住“利润相同”这一等量关系，只要掌握总利润的计算公式，就能快速准确列出方程，是方程应用的常规考查内容。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确利润的基本计算关系：总利润=单套利润×销售数量，单套利润=售价-成本。题目给出两次销售商店获得的利润相同，因此我们只需要分别计算出原订购方案的总利润和实际购买方案的总利润，令两者相等即可列出方程。
【解析】
首先计算原订购方案的总利润：
原计划订购60套，每套售价100元，每套成本为x元，因此单套利润为$(100 - x)$元，总利润为$60(100 - x)$元。
再计算实际购买方案的总利润：
实际购买72套，每套减价3元，因此实际每套售价为$(100 - 3)$元，单套利润为$(100 - 3 - x)$元，总利润为$72(100 - 3 - x)$元。
已知两次销售利润相等，因此可列方程：
$60(100 - x) = 72(100 - 3 - x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题属于销售类列方程的基础题型，核心是抓住“利润相同”这一等量关系，只要掌握总利润的计算公式，就能快速准确列出方程，是方程应用的常规考查内容。
【难度系数】
0.8
