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1. 规定一种新运算：$a\otimes b = a^2 - 2b$. 若 $3\otimes (-x) = 7$, 则 $x$ 的值为 .
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
解决新定义运算类题目可按三步思考：第一步先明确新运算的规则，本题中$\otimes$运算的规则是前一个数的平方减去后一个数的2倍；第二步找准新运算中对应位置的数值，本题里3对应规则中的$a$，$-x$对应规则中的$b$，代入规则后就能转化为我们熟悉的一元一次方程；第三步解这个一元一次方程即可求出$x$的值。
【解析】
根据新运算规则$a\otimes b = a^2 - 2b$，将$a=3$，$b=-x$代入运算式得：
$\begin{aligned}3^2 - 2×(-x) &= 7 \\9 + 2x &= 7 \\2x &= 7 - 9 \\2x &= -2 \\x &= -1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题是新定义运算的基础题型，核心考查对新运算规则的转化应用能力，只要准确对应运算位置、正确代入规则，转化为常规一元一次方程后即可轻松求解，是新定义运算板块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解决新定义运算类题目可按三步思考：第一步先明确新运算的规则，本题中$\otimes$运算的规则是前一个数的平方减去后一个数的2倍；第二步找准新运算中对应位置的数值，本题里3对应规则中的$a$，$-x$对应规则中的$b$，代入规则后就能转化为我们熟悉的一元一次方程；第三步解这个一元一次方程即可求出$x$的值。
【解析】
根据新运算规则$a\otimes b = a^2 - 2b$，将$a=3$，$b=-x$代入运算式得：
$\begin{aligned}3^2 - 2×(-x) &= 7 \\9 + 2x &= 7 \\2x &= 7 - 9 \\2x &= -2 \\x &= -1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题是新定义运算的基础题型，核心考查对新运算规则的转化应用能力，只要准确对应运算位置、正确代入规则，转化为常规一元一次方程后即可轻松求解，是新定义运算板块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
2. 定义新运算“$\otimes$”，规定$a\otimes b=\dfrac{1}{2}a+3b$，若$3x\otimes(-1)=6\otimes4$，则
$x=$.
$x=$.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解决这道题首先要准确理解新运算“$\otimes$”的运算规则：$a\otimes b$等于$a$的二分之一加上$b$的3倍。解题步骤分为三步：第一步，先把等式右侧的$6\otimes4$按照新运算规则转化为普通算术运算，算出结果；第二步，把等式左侧的$3x\otimes(-1)$按照新运算规则转化为含$x$的代数式；第三步，根据左右两边相等列出一元一次方程，解方程即可求出$x$的值。
【解析】
根据新运算$a\otimes b=\dfrac{1}{2}a+3b$：
1. 先计算等式右侧$6\otimes 4$的值：
$6\otimes 4=\dfrac{1}{2}× 6 + 3× 4=3+12=15$
2. 再化简等式左侧$3x\otimes (-1)$：
$3x\otimes (-1)=\dfrac{1}{2}× 3x + 3× (-1)=\dfrac{3}{2}x - 3$
3. 根据题意列方程并求解：
$\dfrac{3}{2}x - 3 = 15$
移项得：$\dfrac{3}{2}x = 15 + 3 = 18$
两边同时乘以$\dfrac{2}{3}$得：$x=18× \dfrac{2}{3}=12$
【答案】
$12$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题是新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解和转化能力，只要正确将新运算转化为常规四则运算，再熟练掌握一元一次方程的解法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要准确理解新运算“$\otimes$”的运算规则：$a\otimes b$等于$a$的二分之一加上$b$的3倍。解题步骤分为三步：第一步，先把等式右侧的$6\otimes4$按照新运算规则转化为普通算术运算，算出结果；第二步，把等式左侧的$3x\otimes(-1)$按照新运算规则转化为含$x$的代数式；第三步，根据左右两边相等列出一元一次方程，解方程即可求出$x$的值。
【解析】
根据新运算$a\otimes b=\dfrac{1}{2}a+3b$：
1. 先计算等式右侧$6\otimes 4$的值：
$6\otimes 4=\dfrac{1}{2}× 6 + 3× 4=3+12=15$
2. 再化简等式左侧$3x\otimes (-1)$：
$3x\otimes (-1)=\dfrac{1}{2}× 3x + 3× (-1)=\dfrac{3}{2}x - 3$
3. 根据题意列方程并求解：
$\dfrac{3}{2}x - 3 = 15$
移项得：$\dfrac{3}{2}x = 15 + 3 = 18$
两边同时乘以$\dfrac{2}{3}$得：$x=18× \dfrac{2}{3}=12$
【答案】
$12$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题是新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解和转化能力，只要正确将新运算转化为常规四则运算，再熟练掌握一元一次方程的解法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”. 如图1所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为.
答案
5
解析
【分析】
解决这道题的核心是先理清图形中各正方形边长的数量关系：观察图形可知，两个上下叠放的正方形b的总高度等于正方形a的边长，正方形c的边长等于a的边长加b的边长，正方形d的边长与大矩形的宽相等。我们可以设最小的正方形b的边长为x，用含x的代数式表示出其余正方形的边长以及大矩形的长和宽，再结合大矩形的周长列方程求解即可。
【解析】
解：设正方形b的边长为$x$。
根据图形中各正方形的边长关系可得：
正方形$a$的边长为$2x$，
正方形$c$的边长为$2x + x = 3x$，
正方形$d$的边长等于大矩形的宽，即$2x + 3x = 5x$，
大矩形的长为$3x + 5x = 8x$。
已知大矩形周长为26，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，列方程得：
$2×(8x + 5x) = 26$
化简得$26x = 26$，解得$x=1$。
因此正方形$d$的边长为$5x = 5×1 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
正方形的性质，一元一次方程的应用，长方形周长计算
【点评】
本题结合新定义考查图形与方程的结合应用，解题的关键是准确观察图形得到各正方形边长的数量关系，通过设未知数列方程求解，能有效锻炼图形分析能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是先理清图形中各正方形边长的数量关系：观察图形可知，两个上下叠放的正方形b的总高度等于正方形a的边长，正方形c的边长等于a的边长加b的边长，正方形d的边长与大矩形的宽相等。我们可以设最小的正方形b的边长为x，用含x的代数式表示出其余正方形的边长以及大矩形的长和宽，再结合大矩形的周长列方程求解即可。
【解析】
解：设正方形b的边长为$x$。
根据图形中各正方形的边长关系可得：
正方形$a$的边长为$2x$，
正方形$c$的边长为$2x + x = 3x$，
正方形$d$的边长等于大矩形的宽，即$2x + 3x = 5x$，
大矩形的长为$3x + 5x = 8x$。
已知大矩形周长为26，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，列方程得：
$2×(8x + 5x) = 26$
化简得$26x = 26$，解得$x=1$。
因此正方形$d$的边长为$5x = 5×1 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
正方形的性质，一元一次方程的应用，长方形周长计算
【点评】
本题结合新定义考查图形与方程的结合应用，解题的关键是准确观察图形得到各正方形边长的数量关系，通过设未知数列方程求解，能有效锻炼图形分析能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
1.（2025·德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数，物各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（）
A.5
B.7
C.8
D.9
A.5
B.7
C.8
D.9
答案
D
解析
【分析】
本题是结合古代数学文化的一元一次方程应用题，解题核心是抓住题中不变量——鸡的总价钱。我们可以通过两种出钱方式分别表示鸡的价格，利用价格相等建立等量关系列方程求解：①每人出9文多11文时，鸡价等于总出钱减去多出的11文，可表示为9x-11；②每人出6文差16文时，鸡价等于总出钱加上差的16文，可表示为6x+16；两个式子均表示鸡价，因此相等，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设买鸡的人数为x人，根据鸡的总价钱不变列方程：
$9x - 11 = 6x + 16$
移项得：$9x - 6x = 16 + 11$
合并同类项得：$3x = 27$
系数化为1得：$x = 9$
因此买鸡的人数为9人。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；盈亏问题
【点评】
本题依托《九章算术》的经典问题，考查一元一次方程在实际盈亏场景中的应用，解题关键是找准不变量建立等量关系，属于基础应用题，能有效考查学生将文字信息转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.8
本题是结合古代数学文化的一元一次方程应用题，解题核心是抓住题中不变量——鸡的总价钱。我们可以通过两种出钱方式分别表示鸡的价格，利用价格相等建立等量关系列方程求解：①每人出9文多11文时，鸡价等于总出钱减去多出的11文，可表示为9x-11；②每人出6文差16文时，鸡价等于总出钱加上差的16文，可表示为6x+16；两个式子均表示鸡价，因此相等，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设买鸡的人数为x人，根据鸡的总价钱不变列方程：
$9x - 11 = 6x + 16$
移项得：$9x - 6x = 16 + 11$
合并同类项得：$3x = 27$
系数化为1得：$x = 9$
因此买鸡的人数为9人。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；盈亏问题
【点评】
本题依托《九章算术》的经典问题，考查一元一次方程在实际盈亏场景中的应用，解题关键是找准不变量建立等量关系，属于基础应用题，能有效考查学生将文字信息转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.8
2. 明代《算法纂要》书中有一题:“牧童分杏各争竞,不知人数不知杏.三人五个多十枚,四人八枚两个剩.问有几个牧童几个杏?”题目大意是:牧童们要分一堆杏,不知道人数也不知道有多少个杏.若3人一组,每组5个杏,则多10个杏.若4人一组,每组8个杏,则多2个杏.有多少个牧童,多少个杏? 设共有$x$个牧童,则下列方程正确的是 ()
A.$3×5x+10=4×8x+2$
B.$\dfrac{x}{3}×5+10=\dfrac{x}{4}×8-2$
C.$\dfrac{x}{3}×5+10=\dfrac{x}{4}×8+2$
D.$\dfrac{x}{3}×5-10=\dfrac{x}{4}×8-2$
A.$3×5x+10=4×8x+2$
B.$\dfrac{x}{3}×5+10=\dfrac{x}{4}×8-2$
C.$\dfrac{x}{3}×5+10=\dfrac{x}{4}×8+2$
D.$\dfrac{x}{3}×5-10=\dfrac{x}{4}×8-2$
答案
C
解析
【分析】
这是一道列一元一次方程的应用题，解题核心是抓住不变量：杏的总数量始终相等。我们可以先根据两种分配方案，分别用含x（牧童人数）的式子表示出杏的总数量，再令两个式子相等即可得到正确方程。思考步骤如下：1. 先分析第一种分法：3人一组，总共有$\frac{x}{3}$组，每组分5个杏，分出去的杏为$\frac{x}{3}×5$，加上多余的10个就是杏的总数量；2. 再分析第二种分法：4人一组，总共有$\frac{x}{4}$组，每组分8个杏，分出去的杏为$\frac{x}{4}×8$，加上多余的2个就是杏的总数量；3. 因为杏的总数量相等，所以两个表达式相等，即可列出方程。
【解析】
设共有$x$个牧童。
1. 根据第一种分配方案计算杏的总数量：
3人一组可分的组数为$\frac{x}{3}$组，分出去的杏的数量为$\frac{x}{3}×5$，还多10个，因此杏的总数量为：$\frac{x}{3}×5 + 10$。
2. 根据第二种分配方案计算杏的总数量：
4人一组可分的组数为$\frac{x}{4}$组，分出去的杏的数量为$\frac{x}{4}×8$，还多2个，因此杏的总数量为：$\frac{x}{4}×8 + 2$。
3. 由于杏的总数量固定不变，因此两个表达式相等，可得方程：
$\dfrac{x}{3}×5+10=\dfrac{x}{4}×8+2$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系分析
【点评】
本题结合古代数学文化命题，考查列方程解应用题的基本能力，解题的关键是准确找到题目中的不变量，梳理清楚两种分配方式对应的数量关系，避免将剩余量的运算符号搞混。
【难度系数】
0.8
这是一道列一元一次方程的应用题，解题核心是抓住不变量：杏的总数量始终相等。我们可以先根据两种分配方案，分别用含x（牧童人数）的式子表示出杏的总数量，再令两个式子相等即可得到正确方程。思考步骤如下：1. 先分析第一种分法：3人一组，总共有$\frac{x}{3}$组，每组分5个杏，分出去的杏为$\frac{x}{3}×5$，加上多余的10个就是杏的总数量；2. 再分析第二种分法：4人一组，总共有$\frac{x}{4}$组，每组分8个杏，分出去的杏为$\frac{x}{4}×8$，加上多余的2个就是杏的总数量；3. 因为杏的总数量相等，所以两个表达式相等，即可列出方程。
【解析】
设共有$x$个牧童。
1. 根据第一种分配方案计算杏的总数量：
3人一组可分的组数为$\frac{x}{3}$组，分出去的杏的数量为$\frac{x}{3}×5$，还多10个，因此杏的总数量为：$\frac{x}{3}×5 + 10$。
2. 根据第二种分配方案计算杏的总数量：
4人一组可分的组数为$\frac{x}{4}$组，分出去的杏的数量为$\frac{x}{4}×8$，还多2个，因此杏的总数量为：$\frac{x}{4}×8 + 2$。
3. 由于杏的总数量固定不变，因此两个表达式相等，可得方程：
$\dfrac{x}{3}×5+10=\dfrac{x}{4}×8+2$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系分析
【点评】
本题结合古代数学文化命题，考查列方程解应用题的基本能力，解题的关键是准确找到题目中的不变量，梳理清楚两种分配方式对应的数量关系，避免将剩余量的运算符号搞混。
【难度系数】
0.8
