9. 新素养 推理能力 已知$A(a,-1),B(2,b)$为同一个正比例函数图象上的两点，且$A,B$两点在不同象限，则（ ）
A. $a＜0,b＜0$
B. $a＞0,b＞0$
C. $a＞0,b＜0$
D. $a＜0,b＞0$

D

10. 已知函数$y=(1-3m)x$是正比例函数，且函数值$y$随自变量$x$的增大而增大，则$m$的取值范围为$\underline{\hspace{5cm}}$．

$m＜\frac{1}{3}$

11. 已知 $y=(k-1)x^{|k|}$ 是正比例函数，且 $A(-2,y_1),B(1,y_2)$ 两点都在该函数图象上，则 $y_1$ ______ $y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）

$＞$

12.* 已知无论 $ a $ 取什么实数，点 $ P(a+1, 2a+2) $ 都在直线 $ l $ 上，若 $ Q(m,n) $ 是直线 $ l $ 上的点，则 $ (2m - n - 1)^2 $ 的值是 ______。

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13. 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数$y=kx$的图象经过点$A$,且点$A$在第四象限,过点$A$作$AH ⊥ x$轴于点$H$,点$A$的横坐标为$3$,$△ AOH$的面积为$3$.
(1) 求该正比例函数的表达式;
(2) 在$x$轴上是否存在一点$P$,使$△ AOP$的面积为$5$? 若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

解：​$(1)$​由题意得​$OH = 3$​∵​$S_{\triangle AOH}=3，$​​$S_{\triangle AOH}=\frac 12OH·AH$​∴​$AH = \frac {2S_{\triangle AOH}}{OH}=2$​又点​$A$​在第四象限，∴点​$A$​的坐标为​$(3，$​​$-2)$​将点​$A(3，$​​$-2)$​的坐标代入​$y = kx$​中，得​$3k = -2，$​解得​$k = -\frac 23$​∴该正比例函数的表达式为​$y = -\frac 23x$​​$(2)$​存在。由​$(1)，$​得​$AH = 2$​设点​$P $​的坐标为​$(a，$​​$0)，$​则​$OP = |a|$​又​$S_{\triangle AOP}=5，$​​$S_{\triangle AOP}=\frac 12\ \mathrm {A}H·OP$​∴​$\frac 12×2·|a| = 5，$​解得​$a = \pm 5$​∴点​$P $​的坐标为​$(5，$​​$0)$​或​$(-5，$​​$0)$​

14. (2025·江苏连云港期末)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1 ⊥ x $ 轴于点(1,0),直线 $ l_2 ⊥ x $ 轴于点(2,0),直线 $ l_3 ⊥ x $ 轴于点(3,0),…,直线 $ l_n ⊥ x $ 轴于点$(n,0)$.正比例函数 $ y = x $ 的图象与直线 $ l_1, l_2, l_3, \dots, l_n $ 分别交于点 $ A_1, A_2, A_3, \dots, A_n $;正比例函数 $ y = 3x $ 的图象与直线 $ l_1, l_2, l_3, \dots, l_n $ 分别交于点 $ B_1, B_2, B_3, \dots, B_n $.若把 $ △ OA_1B_1 $ 的面积记作 $ S_1 $,四边形 $ A_1A_2B_2B_1 $ 的面积记作 $ S_2 $,四边形 $ A_2A_3B_3B_2 $ 的面积记作 $ S_3, \dots $,四边形 $ A_{n-1}A_nB_nB_{n-1} $ 的面积记作 $ S_n $,则 $ S_{2025} = \_\_\_\_\_\_ $.

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15. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(2,0)$,在直线 $y=x$ 上取点 P,使$△ OPA$ 是等腰三角形,求所有满足条件的点 P 的坐标.

解：∵点​$A$​的坐标为​$(2，$​​$0)，$​∴​$OA = 2$​又点​$P $​在直线​$y = x$​上，且​$\triangle OP A$​是等腰三角形∴​$OP = OA$​或​$P A = OA$​或​$OP = P A$​​$①$​当​$OP = OA = 2$​时，过点​$P $​作​$P B\perp x$​轴设点​$P $​的坐标为​$(a，$​​$a)，$​则​$OB = |a|，$​​$P B = |a|$​在​$Rt\triangle OP B$​中，由勾股定理，得​$OB^2+P B^2=OP^2，$​∴​$2|a|^2=4，$​解得​$a = \pm \sqrt 2$​∴点​$P $​的坐标为​$(\sqrt 2，$​​$\sqrt 2)$​或​$(-\sqrt 2，$​​$-\sqrt 2)$​​$②$​当​$P A = OA$​时，易得点​$P $​的坐标为​$(2，$​​$2)$​​$③$​当​$OP = P A$​时，过点​$P $​作​$P D\perp x$​轴则​$OD=\frac 12OA = 1$​对于​$y = x，$​令​$x = 1，$​得​$y = 1$​∴点​$P $​的坐标为​$(1，$​​$1)$​综上，点​$P $​的坐标为​$(\sqrt 2，$​​$\sqrt 2)$​或​$(-\sqrt 2，$​​$-\sqrt 2)$​或​$(2，$​​$2)$​或​$(1，$​​$1)$​