7.如图，在△ABC中，∠BCA的平分线CD与AB边的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AC交CA的延长线于点E，DF⊥BC于点F.求证:AE=BF.

7. 证明:如图,连接AD,BD.

因为CD平分∠BCA,DE⊥AC,DF⊥BC,
所以DE=DF.
因为DG是AB的垂直平分线,
所以DA=DB.
在Rt△ADE和Rt△BDF中,
$\begin{cases} DA=DB, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以Rt△ADE≌Rt△BDF(HL).
所以AE=BF.

8.如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称，$△ A'B'C'$与$△ A''B''C''$关于直线$EF$对称.
(1)画出直线$EF$；
(2)若直线$MN$与$EF$相交于点$O$，试探究$∠ BOB''$与直线$MN$，$EF$所夹锐角$α$的数量关系.

8. 解:(1)如图,连接$B'B''$,作线段$B'B''$的垂直平分线EF,则直线EF即为所求.

(2)如图,连接$BO,B'O,B''O$.
因为$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线MN对称,
所以$∠BOM=∠B'OM$.
又因为$△ A'B'C'$与$△ A''B''C''$关于直线EF对称,
所以$∠B'OE=∠B''OE$.
所以 $∠BOB'' = ∠BOM + ∠B' OM + ∠B'OE + ∠B'' OE = 2(∠B'OM+∠B'OE)=2∠MOE=2α$.

9.如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为O.若OE,OF分别是点O到∠CAD两边的距离,试说明它们之间的大小关系.

9. 解:$OE=OF$.

10.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离大小如何判断呢？
【自主探究】(1)如图①，直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，点$P$在直线$l$的左侧，经测量，$PA＜PB$，请证明这个结论.
【迁移应用】(2)如图②，直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，点$C$在直线$l$外，且与点$A$在直线$l$的同侧，点$D$是直线$l$上的任意一点，连接$AD$，$BC$，$CD$.试判断$BC$和$AD+CD$的大小关系，并说明理由.

10.(1) 证明:如图①,连接PA,PB,PB与直线l交于点M,连接AM.

因为直线l是线段AB的垂直平分线,
所以$AM=BM$,
所以$PB=PM+BM=PM+AM$.
因为$PM+AM＞PA$,
所以$PA＜PB$.
(2) 解:$AD+CD≥BC$.理由如下:
如图②,当D不在线段BC上时,
连接BD.

因为直线l是线段AB的垂直平分线,
所以$AD=BD$,
所以$AD+CD=BD+CD＞BC$.
当D在线段BC上时,$AD+CD=BC$,
所以$AD+CD≥BC$.