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1. 货物总量不变时，卸载速度与卸载时间成
反比例
关系。答案
1. 反比例
解析
【分析】
要判定两个量的比例关系，首先回忆比例关系的判定规则：两个相关联的量，若比值（商）一定则成正比例关系，若乘积一定则成反比例关系。首先梳理本题涉及的三个量的数量关系：货物总量=卸载速度×卸载时间，题目明确货物总量不变，即卸载速度和卸载时间的乘积是固定值，符合反比例关系的判定条件，即可得出结论。
【解析】
首先写出三者的数量关系式：$\mathrm{卸载速度} × \mathrm{卸载时间} = \mathrm{货物总量}$。
已知货物总量保持不变，即卸载速度与卸载时间的乘积为定值。根据反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，若二者的乘积一定，则这两个量成反比例关系，因此卸载速度与卸载时间成反比例关系。
【答案】
反比例
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 基本数量关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例关系的理解与应用，解题关键是明确两个变量是乘积一定还是比值一定，熟练掌握比例关系的判定规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判定两个量的比例关系，首先回忆比例关系的判定规则：两个相关联的量，若比值（商）一定则成正比例关系，若乘积一定则成反比例关系。首先梳理本题涉及的三个量的数量关系：货物总量=卸载速度×卸载时间，题目明确货物总量不变，即卸载速度和卸载时间的乘积是固定值，符合反比例关系的判定条件，即可得出结论。
【解析】
首先写出三者的数量关系式：$\mathrm{卸载速度} × \mathrm{卸载时间} = \mathrm{货物总量}$。
已知货物总量保持不变，即卸载速度与卸载时间的乘积为定值。根据反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，若二者的乘积一定，则这两个量成反比例关系，因此卸载速度与卸载时间成反比例关系。
【答案】
反比例
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 基本数量关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例关系的理解与应用，解题关键是明确两个变量是乘积一定还是比值一定，熟练掌握比例关系的判定规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 阻力×阻力臂=动力×动力臂，当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂成
反比例
关系。答案
2. 反比例
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的等量关系，第一步先确定不变量：题目说明阻力和阻力臂一定，即二者的乘积是不为0的定值；第二步分析两个变量的运算关系：动力和动力臂的乘积等于这个定值，再结合反比例关系的定义即可判断二者的关系。
【解析】
解：根据题意可得等量关系：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$
∵ 阻力和阻力臂是固定值，
∴ 设$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = k$（$k$为常数，$k≠0$）
代入等量关系可得：$\mathrm{动力} × \mathrm{动力臂} = k$
根据反比例关系的定义：若两个变量的乘积为非零常数，则这两个变量成反比例关系，因此动力与动力臂成反比例关系。
【答案】
反比例
【知识点】
反比例关系判定，等量关系应用
【点评】
本题结合杠杆平衡公式考查反比例关系的判断，属于基础题，解题核心是抓住题中的定值，通过分析两个变量的乘积是否为定值来判断比例关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的等量关系，第一步先确定不变量：题目说明阻力和阻力臂一定，即二者的乘积是不为0的定值；第二步分析两个变量的运算关系：动力和动力臂的乘积等于这个定值，再结合反比例关系的定义即可判断二者的关系。
【解析】
解：根据题意可得等量关系：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$
∵ 阻力和阻力臂是固定值，
∴ 设$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = k$（$k$为常数，$k≠0$）
代入等量关系可得：$\mathrm{动力} × \mathrm{动力臂} = k$
根据反比例关系的定义：若两个变量的乘积为非零常数，则这两个变量成反比例关系，因此动力与动力臂成反比例关系。
【答案】
反比例
【知识点】
反比例关系判定，等量关系应用
【点评】
本题结合杠杆平衡公式考查反比例关系的判断，属于基础题，解题核心是抓住题中的定值，通过分析两个变量的乘积是否为定值来判断比例关系。
【难度系数】
0.9
典例分享
例 某市计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$，某运输公司承担了运送土石方的任务.
(1)运输公司平均运送速度$v$(单位：$\mathrm{m}^3/$天)与完成运送任务所需时间$t$(单位：天)之间具有怎样的函数关系？
(2)这个运输公司每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，公司完成全部运输任务需要多长时间？
(3)若公司由于工程进度的需要，所有运输任务必须在50天内完成，公司每天至少要运送多少土石方？
解 (1)$\because vt=10^6$，$\therefore v=\dfrac{10^6}{t}$.
即运输公司平均运送速度$v$与完成运送任务所需时间$t$之间的函数关系为$v=\dfrac{10^6}{t}$.
(2)当$v=10^4$时，$t=\dfrac{10^6}{10^4}=100$(天)，
$\therefore$公司完成全部运输任务需要100天.
(3)当$t=50$时，$v=\dfrac{10^6}{50}=2×10^4(\mathrm{m}^3)$，
$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小，$t≤50$，所以$v≥2×10^4$.
$\therefore$运输任务要在50天内完成，公司每天至少要运送$2×10^4\ \mathrm{m}^3$土石方.
方法感悟 找定值，列反比；临界代入求数值；增减性质判范围；答语要规范完整.
例 某市计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$，某运输公司承担了运送土石方的任务.
(1)运输公司平均运送速度$v$(单位：$\mathrm{m}^3/$天)与完成运送任务所需时间$t$(单位：天)之间具有怎样的函数关系？
(2)这个运输公司每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，公司完成全部运输任务需要多长时间？
(3)若公司由于工程进度的需要，所有运输任务必须在50天内完成，公司每天至少要运送多少土石方？
解 (1)$\because vt=10^6$，$\therefore v=\dfrac{10^6}{t}$.
即运输公司平均运送速度$v$与完成运送任务所需时间$t$之间的函数关系为$v=\dfrac{10^6}{t}$.
(2)当$v=10^4$时，$t=\dfrac{10^6}{10^4}=100$(天)，
$\therefore$公司完成全部运输任务需要100天.
(3)当$t=50$时，$v=\dfrac{10^6}{50}=2×10^4(\mathrm{m}^3)$，
$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小，$t≤50$，所以$v≥2×10^4$.
$\therefore$运输任务要在50天内完成，公司每天至少要运送$2×10^4\ \mathrm{m}^3$土石方.
方法感悟 找定值，列反比；临界代入求数值；增减性质判范围；答语要规范完整.
答案
(1) $\because vt=10^6$，$\therefore v=\dfrac{10^6}{t}$，即运输公司平均运送速度$v$与完成运送任务所需时间$t$之间的函数关系为$v=\dfrac{10^6}{t}$。
(2) 当$v=10^4$时，$t=\dfrac{10^6}{10^4}=100$(天)，公司完成全部运输任务需要100天。
(3) 当$t=50$时，$v=\dfrac{10^6}{50}=2×10^4(\mathrm{m}^3)$，$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小，$t≤50$，所以$v≥2×10^4$，运输任务要在50天内完成，公司每天至少要运送$2×10^4\ \mathrm{m}^3$土石方。
(2) 当$v=10^4$时，$t=\dfrac{10^6}{10^4}=100$(天)，公司完成全部运输任务需要100天。
(3) 当$t=50$时，$v=\dfrac{10^6}{50}=2×10^4(\mathrm{m}^3)$，$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小，$t≤50$，所以$v≥2×10^4$，运输任务要在50天内完成，公司每天至少要运送$2×10^4\ \mathrm{m}^3$土石方。
解析
【分析】
解题时紧扣“土石方总量固定”这一核心条件，按以下思路逐步求解：
1. 第(1)问：利用运输问题的基本等量关系“运送总量=平均运送速度×运送时间”，已知总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$，可得$vt=10^6$，变形后即可得到v与t的函数关系，属于反比例函数模型的建立。
2. 第(2)问：属于已知函数值求自变量的问题，直接将$v=10^4$代入第(1)问得到的函数关系式，计算即可得到对应的时间t。
3. 第(3)问：要求50天内完成任务即$t≤50$，先代入临界值$t=50$求出对应的v值，再结合反比例函数的增减性判断v的取值范围，即可得到每天最少运送量。
【解析】
(1) 根据运送总量=平均运送速度×运送时间，可得$vt=10^6$，变形得$v=\dfrac{10^6}{t}$，即运输公司平均运送速度$v$与完成运送任务所需时间$t$之间的函数关系为$v=\dfrac{10^6}{t}$。
(2) 当$v=10^4$时，代入函数式得$t=\dfrac{10^6}{10^4}=100$(天)，即公司完成全部运输任务需要100天。
(3) 先代入$t=50$，得$v=\dfrac{10^6}{50}=2×10^4(\mathrm{m}^3)$，由于$t＞0$时，反比例函数$v=\dfrac{10^6}{t}$中$k=10^6＞0$，v随t的增大而减小，因此当$t≤50$时，$v≥2×10^4$，即运输任务要在50天内完成，公司每天至少要运送$2×10^4\ \mathrm{m}^3$土石方。
【答案】
(1) $v=\dfrac{10^6}{t}$；
(2) 100天；
(3) $2×10^4\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 反比例函数的增减性
3. 代入法求函数值
【点评】
本题以实际工程运输问题为背景，考查反比例函数的建模与应用，解题关键是抓住总量不变的定值建立函数关系，再结合函数性质求解对应值和取值范围，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时紧扣“土石方总量固定”这一核心条件，按以下思路逐步求解：
1. 第(1)问：利用运输问题的基本等量关系“运送总量=平均运送速度×运送时间”，已知总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$，可得$vt=10^6$，变形后即可得到v与t的函数关系，属于反比例函数模型的建立。
2. 第(2)问：属于已知函数值求自变量的问题，直接将$v=10^4$代入第(1)问得到的函数关系式，计算即可得到对应的时间t。
3. 第(3)问：要求50天内完成任务即$t≤50$，先代入临界值$t=50$求出对应的v值，再结合反比例函数的增减性判断v的取值范围，即可得到每天最少运送量。
【解析】
(1) 根据运送总量=平均运送速度×运送时间，可得$vt=10^6$，变形得$v=\dfrac{10^6}{t}$，即运输公司平均运送速度$v$与完成运送任务所需时间$t$之间的函数关系为$v=\dfrac{10^6}{t}$。
(2) 当$v=10^4$时，代入函数式得$t=\dfrac{10^6}{10^4}=100$(天)，即公司完成全部运输任务需要100天。
(3) 先代入$t=50$，得$v=\dfrac{10^6}{50}=2×10^4(\mathrm{m}^3)$，由于$t＞0$时，反比例函数$v=\dfrac{10^6}{t}$中$k=10^6＞0$，v随t的增大而减小，因此当$t≤50$时，$v≥2×10^4$，即运输任务要在50天内完成，公司每天至少要运送$2×10^4\ \mathrm{m}^3$土石方。
【答案】
(1) $v=\dfrac{10^6}{t}$；
(2) 100天；
(3) $2×10^4\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 反比例函数的增减性
3. 代入法求函数值
【点评】
本题以实际工程运输问题为背景，考查反比例函数的建模与应用，解题关键是抓住总量不变的定值建立函数关系，再结合函数性质求解对应值和取值范围，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.8
1. 小夕家到学校的路程为3 km，到校所需时间$t$(单位:h)随平均速度$v$(单位:km/h)的变化而变化，则$t$关于$v$的函数解析式是(
A.$t=3v$
B.$t=\dfrac{1}{3}v$
C.$t=3v^2$
D.$t=\dfrac{3}{v}$
D
).A.$t=3v$
B.$t=\dfrac{1}{3}v$
C.$t=3v^2$
D.$t=\dfrac{3}{v}$
答案
1. D
解析
【分析】
要推导t关于v的函数解析式，首先结合题目背景想到行程问题的核心公式：路程=速度×时间（$s=vt$）。题目中已给出固定路程s为3km，我们只需要将公式变形，把t单独放在等号左侧，用含v的式子表示t，再对应选项匹配即可。
【解析】
根据行程问题的基本等量关系可得：$s = vt$。
已知小夕家到学校的路程$s=3\mathrm{km}$，代入公式得：$3 = vt$。
由于速度v是正数，将等式两边同时除以v，变形得到t关于v的解析式：$t=\dfrac{3}{v}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 列函数解析式
【点评】
本题是基础的函数实际应用题，主要考察行程问题中三个量的转换关系，难度较低，只要熟记行程公式，掌握等式变形的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要推导t关于v的函数解析式，首先结合题目背景想到行程问题的核心公式：路程=速度×时间（$s=vt$）。题目中已给出固定路程s为3km，我们只需要将公式变形，把t单独放在等号左侧，用含v的式子表示t，再对应选项匹配即可。
【解析】
根据行程问题的基本等量关系可得：$s = vt$。
已知小夕家到学校的路程$s=3\mathrm{km}$，代入公式得：$3 = vt$。
由于速度v是正数，将等式两边同时除以v，变形得到t关于v的解析式：$t=\dfrac{3}{v}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 列函数解析式
【点评】
本题是基础的函数实际应用题，主要考察行程问题中三个量的转换关系，难度较低，只要熟记行程公式，掌握等式变形的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 某地计划修建铁路1 200 km，则铺轨天数y(单位:天)关于平均每天铺轨量x(单位:km/天)之间的函数解析式是(
A.$y=1200x$
B.$y=\dfrac{1200}{x}$
C.$y=1200+x$
D.$y=1200-x$
B
).A.$y=1200x$
B.$y=\dfrac{1200}{x}$
C.$y=1200+x$
D.$y=1200-x$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定铺轨天数y与平均每天铺轨量x的函数解析式，首先回忆工程问题的核心数量关系：工作总量=工作效率×工作时间。本题中工作总量是固定的1200km，工作效率为x（km/天），工作时间为y（天），我们只需把已知量代入数量关系，变形后得到y关于x的表达式，再对应选项判断即可。
【解析】
根据工程问题的等量关系：$\mathrm{铺轨总长度} = \mathrm{平均每天铺轨量} × \mathrm{铺轨天数}$，代入已知数据可得：
$1200 = x · y$
将上式变形，把y单独放在等号左边，可得：
$y = \dfrac{1200}{x}$（其中$x＞0$），对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数解析式
2. 工程问题数量关系
【点评】
本题结合实际施工场景考查基础数量关系的应用，属于基础题，只要熟练掌握常见的工程类等量关系，就能快速推导得到函数解析式。
【难度系数】
0.9
要确定铺轨天数y与平均每天铺轨量x的函数解析式，首先回忆工程问题的核心数量关系：工作总量=工作效率×工作时间。本题中工作总量是固定的1200km，工作效率为x（km/天），工作时间为y（天），我们只需把已知量代入数量关系，变形后得到y关于x的表达式，再对应选项判断即可。
【解析】
根据工程问题的等量关系：$\mathrm{铺轨总长度} = \mathrm{平均每天铺轨量} × \mathrm{铺轨天数}$，代入已知数据可得：
$1200 = x · y$
将上式变形，把y单独放在等号左边，可得：
$y = \dfrac{1200}{x}$（其中$x＞0$），对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数解析式
2. 工程问题数量关系
【点评】
本题结合实际施工场景考查基础数量关系的应用，属于基础题，只要熟练掌握常见的工程类等量关系，就能快速推导得到函数解析式。
【难度系数】
0.9
3. 某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备. 其中用5 000元购买单价是m元的机器n台，则n关于m的函数解析式为(
A.$n=5\,000m$
B.$n=\dfrac{5\,000}{m}$
C.$n=m+5\,000$
D.$n=m-5\,000$
B
).A.$n=5\,000m$
B.$n=\dfrac{5\,000}{m}$
C.$n=m+5\,000$
D.$n=m-5\,000$
答案
3. B
解析
【分析】
解本题首先需要提取题目中的等量关系：采购设备的总费用=设备的单价×采购的设备数量。已知总费用为5000元，单价为m元，数量为n台，将对应量代入等量关系后，对式子变形使n单独位于等号一侧，即可得到n关于m的函数解析式。
【解析】
根据购物问题的基本数量关系：$\mathrm{总费用}=\mathrm{单价}×\mathrm{数量}$，将题目中已知的总费用5000元、单价m元、数量n台代入关系式，可得：
$5000 = m· n$
由于单价m为正数（$m＞0$），将等式两边同时除以m，变形可得：
$n=\dfrac{5000}{m}$
因此选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
列函数解析式；反比例函数；数量关系应用
【点评】
本题是基础应用题，重点考查从实际场景中提取等量关系、列函数表达式的能力，掌握常见的基础数量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解本题首先需要提取题目中的等量关系：采购设备的总费用=设备的单价×采购的设备数量。已知总费用为5000元，单价为m元，数量为n台，将对应量代入等量关系后，对式子变形使n单独位于等号一侧，即可得到n关于m的函数解析式。
【解析】
根据购物问题的基本数量关系：$\mathrm{总费用}=\mathrm{单价}×\mathrm{数量}$，将题目中已知的总费用5000元、单价m元、数量n台代入关系式，可得：
$5000 = m· n$
由于单价m为正数（$m＞0$），将等式两边同时除以m，变形可得：
$n=\dfrac{5000}{m}$
因此选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
列函数解析式；反比例函数；数量关系应用
【点评】
本题是基础应用题，重点考查从实际场景中提取等量关系、列函数表达式的能力，掌握常见的基础数量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
