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19. (8分)在平面直角坐标系中,点$P$的坐标为$(m + 1,m - 1)$.
(1)试判断点$P$是否在一次函数$y = x - 2$的图象上,并说明理由;
(2)如图,一次函数$y = -\frac{1}{2}x + 3$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于点$A,B$,若点$P$在$\triangle AOB$的内部,求$m$的取值范围.
(1)试判断点$P$是否在一次函数$y = x - 2$的图象上,并说明理由;
点$P$在一次函数$y = x - 2$的图象上，理由：当$x=m + 1$时，$y=(m + 1)-2=m - 1$，与点$P$纵坐标相等。
(2)如图,一次函数$y = -\frac{1}{2}x + 3$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于点$A,B$,若点$P$在$\triangle AOB$的内部,求$m$的取值范围.
$1\lt m\lt\frac{7}{3}$
答案
【解析】：
### $(1)$判断点$P$是否在一次函数$y = x - 2$的图象上
要判断点$P(m + 1,m - 1)$是否在函数$y=x - 2$的图象上，只需将点$P$的横坐标代入函数解析式，看得到的纵坐标是否与点$P$的纵坐标相等。
当$x=m + 1$时，代入$y=x - 2$可得：$y=(m + 1)-2=m - 1$。
这与点$P$的纵坐标相等，所以点$P$在一次函数$y = x - 2$的图象上。
### $(2)$求$m$的取值范围
**步骤一：求$A$、$B$两点的坐标**
对于一次函数$y = -\frac{1}{2}x + 3$，
令$y = 0$，则$0=-\frac{1}{2}x + 3$，
移项可得$\frac{1}{2}x = 3$，解得$x = 6$，所以$A(6,0)$；
令$x = 0$，则$y=3$，所以$B(0,3)$。
**步骤二：根据点$P$在$\triangle AOB$内部列不等式组**
因为点$P(m + 1,m - 1)$在$\triangle AOB$内部，所以有：
$\begin{cases}m + 1\gt0 \\m - 1\gt0 \\m - 1\lt-\frac{1}{2}(m + 1)+3 \end{cases}$
解第一个不等式$m + 1\gt0$，得$m\gt - 1$；
解第二个不等式$m - 1\gt0$，得$m\gt1$；
解第三个不等式$m - 1\lt-\frac{1}{2}(m + 1)+3$：
去括号得$m - 1\lt-\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}+3$，
移项得$m+\frac{1}{2}m\lt3-\frac{1}{2}+1$，
合并同类项得$\frac{3}{2}m\lt\frac{7}{2}$，
两边同时除以$\frac{3}{2}$得$m\lt\frac{7}{3}$。
**步骤三：确定$m$的取值范围**
综合以上三个不等式的解，取交集得$1\lt m\lt\frac{7}{3}$。
【答案】：
$(1)$点$P$在一次函数$y = x - 2$的图象上，理由：当$x=m + 1$时，$y=(m + 1)-2=m - 1$，与点$P$纵坐标相等。
$(2)$$1\lt m\lt\frac{7}{3}$。
### $(1)$判断点$P$是否在一次函数$y = x - 2$的图象上
要判断点$P(m + 1,m - 1)$是否在函数$y=x - 2$的图象上，只需将点$P$的横坐标代入函数解析式，看得到的纵坐标是否与点$P$的纵坐标相等。
当$x=m + 1$时，代入$y=x - 2$可得：$y=(m + 1)-2=m - 1$。
这与点$P$的纵坐标相等，所以点$P$在一次函数$y = x - 2$的图象上。
### $(2)$求$m$的取值范围
**步骤一：求$A$、$B$两点的坐标**
对于一次函数$y = -\frac{1}{2}x + 3$，
令$y = 0$，则$0=-\frac{1}{2}x + 3$，
移项可得$\frac{1}{2}x = 3$，解得$x = 6$，所以$A(6,0)$；
令$x = 0$，则$y=3$，所以$B(0,3)$。
**步骤二：根据点$P$在$\triangle AOB$内部列不等式组**
因为点$P(m + 1,m - 1)$在$\triangle AOB$内部，所以有：
$\begin{cases}m + 1\gt0 \\m - 1\gt0 \\m - 1\lt-\frac{1}{2}(m + 1)+3 \end{cases}$
解第一个不等式$m + 1\gt0$，得$m\gt - 1$；
解第二个不等式$m - 1\gt0$，得$m\gt1$；
解第三个不等式$m - 1\lt-\frac{1}{2}(m + 1)+3$：
去括号得$m - 1\lt-\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}+3$，
移项得$m+\frac{1}{2}m\lt3-\frac{1}{2}+1$，
合并同类项得$\frac{3}{2}m\lt\frac{7}{2}$，
两边同时除以$\frac{3}{2}$得$m\lt\frac{7}{3}$。
**步骤三：确定$m$的取值范围**
综合以上三个不等式的解，取交集得$1\lt m\lt\frac{7}{3}$。
【答案】：
$(1)$点$P$在一次函数$y = x - 2$的图象上，理由：当$x=m + 1$时，$y=(m + 1)-2=m - 1$，与点$P$纵坐标相等。
$(2)$$1\lt m\lt\frac{7}{3}$。
20. (11分)某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔赛,他们的跳高成绩(单位:$cm$)如下:
甲:$172\ 168\ 175\ 169\ 174\ 167\ 166\ 169$
乙:$164\ 175\ 174\ 165\ 162\ 173\ 172\ 175$
(1)甲、乙两名运动员跳高的平均成绩分别是多少?
(2)分别求出甲、乙跳高成绩的方差;
(3)哪个人的成绩更为稳定?为什么?
(4)经预测,跳高$165cm$以上就很可能获得冠军,该校为了获取跳高比赛冠军,可能选哪名运动员参赛?若预测跳高$170cm$以上很可能获得冠军,又应该选哪名运动员参赛?
甲:$172\ 168\ 175\ 169\ 174\ 167\ 166\ 169$
乙:$164\ 175\ 174\ 165\ 162\ 173\ 172\ 175$
(1)甲、乙两名运动员跳高的平均成绩分别是多少?
(2)分别求出甲、乙跳高成绩的方差;
(3)哪个人的成绩更为稳定?为什么?
(4)经预测,跳高$165cm$以上就很可能获得冠军,该校为了获取跳高比赛冠军,可能选哪名运动员参赛?若预测跳高$170cm$以上很可能获得冠军,又应该选哪名运动员参赛?
答案
$(1)$计算甲、乙两名运动员跳高的平均成绩
- 平均数公式为$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_{1} + x_{2}+\cdots+x_{n})$（$n$表示样本数量，$x_{i}$表示第$i$个样本数据）。
甲的平均成绩$\bar{x}_{甲}$：
$\bar{x}_{甲}=\frac{1}{8}\times(172 + 168 + 175 + 169 + 174 + 167 + 166 + 169)$
$=\frac{1}{8}\times(172+168+175+169+174+167+166+169)$
$=\frac{1}{8}\times1360 = 170(cm)$
乙的平均成绩$\bar{x}_{乙}$：
$\bar{x}_{乙}=\frac{1}{8}\times(164 + 175 + 174 + 165 + 162 + 173 + 172 + 175)$
$=\frac{1}{8}\times(164 + 175+174 + 165 + 162 + 173 + 172 + 175)$
$=\frac{1}{8}\times1360=170(cm)$
$(2)$计算甲、乙跳高成绩的方差
- 方差公式为$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$。
甲的方差$s_{甲}^{2}$：
$\begin{aligned}s_{甲}^{2}&=\frac{1}{8}[(172 - 170)^{2}+(168 - 170)^{2}+(175 - 170)^{2}+(169 - 170)^{2}+(174 - 170)^{2}+(167 - 170)^{2}+(166 - 170)^{2}+(169 - 170)^{2}]\\&=\frac{1}{8}(4 + 4+25 + 1+16 + 9+16 + 1)\\&=\frac{1}{8}\times76\\& = 9.5\end{aligned}$
乙的方差$s_{乙}^{2}$：
$\begin{aligned}s_{乙}^{2}&=\frac{1}{8}[(164 - 170)^{2}+(175 - 170)^{2}+(174 - 170)^{2}+(165 - 170)^{2}+(162 - 170)^{2}+(173 - 170)^{2}+(172 - 170)^{2}+(175 - 170)^{2}]\\&=\frac{1}{8}(36+25 + 16+25 + 64+9 + 4+25)\\&=\frac{1}{8}\times204\\&=25.5\end{aligned}$
$(3)$判断谁的成绩更稳定
- 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。
因为$s_{甲}^{2}=9.5$，$s_{乙}^{2}=25.5$，且$9.5\lt25.5$，所以甲的成绩更为稳定。
$(4)$根据预测选择参赛运动员
若跳高$165cm$以上就很可能获得冠军：
甲$8$次成绩都在$165cm$以上；乙有$164$、$162$、$165$三次成绩在$165cm$及以下，所以选甲运动员参赛。
若跳高$170cm$以上很可能获得冠军：
甲有$172$、$175$、$174$三次成绩在$170cm$以上；乙有$175$、$174$、$173$、$172$、$175$五次成绩在$170cm$以上，所以选乙运动员参赛。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\bar{x}_{甲}=170cm，\bar{x}_{乙}=170cm}$；$(2)$$\boldsymbol{s_{甲}^{2}=9.5，s_{乙}^{2}=25.5}$；$(3)$甲的成绩更稳定，因为$\boldsymbol{s_{甲}^{2}\lt s_{乙}^{2}}$；$(4)$跳高$\boldsymbol{165cm}$以上夺冠选甲，跳高$\boldsymbol{170cm}$以上夺冠选乙。
- 平均数公式为$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_{1} + x_{2}+\cdots+x_{n})$（$n$表示样本数量，$x_{i}$表示第$i$个样本数据）。
甲的平均成绩$\bar{x}_{甲}$：
$\bar{x}_{甲}=\frac{1}{8}\times(172 + 168 + 175 + 169 + 174 + 167 + 166 + 169)$
$=\frac{1}{8}\times(172+168+175+169+174+167+166+169)$
$=\frac{1}{8}\times1360 = 170(cm)$
乙的平均成绩$\bar{x}_{乙}$：
$\bar{x}_{乙}=\frac{1}{8}\times(164 + 175 + 174 + 165 + 162 + 173 + 172 + 175)$
$=\frac{1}{8}\times(164 + 175+174 + 165 + 162 + 173 + 172 + 175)$
$=\frac{1}{8}\times1360=170(cm)$
$(2)$计算甲、乙跳高成绩的方差
- 方差公式为$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$。
甲的方差$s_{甲}^{2}$：
$\begin{aligned}s_{甲}^{2}&=\frac{1}{8}[(172 - 170)^{2}+(168 - 170)^{2}+(175 - 170)^{2}+(169 - 170)^{2}+(174 - 170)^{2}+(167 - 170)^{2}+(166 - 170)^{2}+(169 - 170)^{2}]\\&=\frac{1}{8}(4 + 4+25 + 1+16 + 9+16 + 1)\\&=\frac{1}{8}\times76\\& = 9.5\end{aligned}$
乙的方差$s_{乙}^{2}$：
$\begin{aligned}s_{乙}^{2}&=\frac{1}{8}[(164 - 170)^{2}+(175 - 170)^{2}+(174 - 170)^{2}+(165 - 170)^{2}+(162 - 170)^{2}+(173 - 170)^{2}+(172 - 170)^{2}+(175 - 170)^{2}]\\&=\frac{1}{8}(36+25 + 16+25 + 64+9 + 4+25)\\&=\frac{1}{8}\times204\\&=25.5\end{aligned}$
$(3)$判断谁的成绩更稳定
- 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。
因为$s_{甲}^{2}=9.5$，$s_{乙}^{2}=25.5$，且$9.5\lt25.5$，所以甲的成绩更为稳定。
$(4)$根据预测选择参赛运动员
若跳高$165cm$以上就很可能获得冠军：
甲$8$次成绩都在$165cm$以上；乙有$164$、$162$、$165$三次成绩在$165cm$及以下，所以选甲运动员参赛。
若跳高$170cm$以上很可能获得冠军：
甲有$172$、$175$、$174$三次成绩在$170cm$以上；乙有$175$、$174$、$173$、$172$、$175$五次成绩在$170cm$以上，所以选乙运动员参赛。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\bar{x}_{甲}=170cm，\bar{x}_{乙}=170cm}$；$(2)$$\boldsymbol{s_{甲}^{2}=9.5，s_{乙}^{2}=25.5}$；$(3)$甲的成绩更稳定，因为$\boldsymbol{s_{甲}^{2}\lt s_{乙}^{2}}$；$(4)$跳高$\boldsymbol{165cm}$以上夺冠选甲，跳高$\boldsymbol{170cm}$以上夺冠选乙。
