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17. (6分)计算:
(1)$\sqrt{18}-\sqrt{8}$;
(2)$(2\sqrt{48}-3\sqrt{27})+\sqrt{6}$.
(1)$\sqrt{18}-\sqrt{8}$;
(2)$(2\sqrt{48}-3\sqrt{27})+\sqrt{6}$.
答案
【解析】：
(1) 先将各项根式化为最简二次根式，再进行减法运算。
$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
(2) 先分别化简括号内的根式，再进行括号内的运算，最后加上$\sqrt{6}$。
$2\sqrt{48}=2\sqrt{16\times3}=2\times4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，$3\sqrt{27}=3\sqrt{9\times3}=3\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$，则$(2\sqrt{48}-3\sqrt{27})+\sqrt{6}=(8\sqrt{3}-9\sqrt{3})+\sqrt{6}=-\sqrt{3}+\sqrt{6}$。
【答案】：(1)$\sqrt{2}$；(2)$-\sqrt{3}+\sqrt{6}$
(1) 先将各项根式化为最简二次根式，再进行减法运算。
$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
(2) 先分别化简括号内的根式，再进行括号内的运算，最后加上$\sqrt{6}$。
$2\sqrt{48}=2\sqrt{16\times3}=2\times4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，$3\sqrt{27}=3\sqrt{9\times3}=3\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$，则$(2\sqrt{48}-3\sqrt{27})+\sqrt{6}=(8\sqrt{3}-9\sqrt{3})+\sqrt{6}=-\sqrt{3}+\sqrt{6}$。
【答案】：(1)$\sqrt{2}$；(2)$-\sqrt{3}+\sqrt{6}$
18. (7分)如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是$BC$边上的中线,点$M$在$AB$边上,点$N$在$AC$边上,且$\angle MDN = 90^{\circ}$.若$BM^2 + CN^2 = DM^2 + DN^2$,求证:$AD^2 = \frac{1}{4}(AB^2 + AC^2)$.
证明：延长$ND$到点$E$，使$DE = DN$，连接$BE$、$ME$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDN$中，$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE=\angle CDN\\DE = DN\end{cases}$，根据
所以$BE = CN$，$\angle EBD=\angle C$，则$BE// AC$。
因为$\angle MDN = 90^{\circ}$，$DE = DN$，所以$MD$垂直平分$EN$，根据线段垂直平分线的性质，可得$ME = MN$。
已知$BM^{2}+CN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$，又因为在$Rt\triangle MDN$中，根据勾股定理$MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$，且$BE = CN$，所以$BM^{2}+BE^{2}=ME^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\angle MBE = 90^{\circ}$。
因为$BE// AC$，所以$\angle BAC+\angle ABE = 180^{\circ}$，则$\angle BAC = $
在$Rt\triangle ABC$中，$AD$是斜边$BC$上的中线。
根据直角三角形斜边中线定理，可得$AD=$
由勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，将$AD=\frac{1}{2}BC$两边同时平方得$AD^{2}=\frac{1}{4}BC^{2}$。
所以$AD^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2})$。
证明：延长$ND$到点$E$，使$DE = DN$，连接$BE$、$ME$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDN$中，$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE=\angle CDN\\DE = DN\end{cases}$，根据
$SAS$
全等判定定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CDN$。所以$BE = CN$，$\angle EBD=\angle C$，则$BE// AC$。
因为$\angle MDN = 90^{\circ}$，$DE = DN$，所以$MD$垂直平分$EN$，根据线段垂直平分线的性质，可得$ME = MN$。
已知$BM^{2}+CN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$，又因为在$Rt\triangle MDN$中，根据勾股定理$MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$，且$BE = CN$，所以$BM^{2}+BE^{2}=ME^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\angle MBE = 90^{\circ}$。
因为$BE// AC$，所以$\angle BAC+\angle ABE = 180^{\circ}$，则$\angle BAC = $
$90^{\circ}$
。在$Rt\triangle ABC$中，$AD$是斜边$BC$上的中线。
根据直角三角形斜边中线定理，可得$AD=$
$\frac{1}{2}BC$
。由勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，将$AD=\frac{1}{2}BC$两边同时平方得$AD^{2}=\frac{1}{4}BC^{2}$。
所以$AD^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2})$。
答案
【解析】：
1. 延长$ND$到点$E$，使$DE = DN$，连接$BE$、$ME$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDN$中，$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE=\angle CDN\\DE = DN\end{cases}$，根据“边角边”（$SAS$）全等判定定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CDN$。
所以$BE = CN$，$\angle EBD=\angle C$，则$BE// AC$。
2. 因为$\angle MDN = 90^{\circ}$，$DE = DN$，所以$MD$垂直平分$EN$，根据线段垂直平分线的性质，可得$ME = MN$。
3. 已知$BM^{2}+CN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$，又因为在$Rt\triangle MDN$中，根据勾股定理$MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$，且$BE = CN$，所以$BM^{2}+BE^{2}=ME^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\angle MBE = 90^{\circ}$。
4. 因为$BE// AC$，所以$\angle BAC+\angle ABE = 180^{\circ}$，则$\angle BAC = 90^{\circ}$。
5. 在$Rt\triangle ABC$中，$AD$是斜边$BC$上的中线。
根据直角三角形斜边中线定理，可得$AD=\frac{1}{2}BC$。
由勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，将$AD=\frac{1}{2}BC$两边同时平方得$AD^{2}=\frac{1}{4}BC^{2}$。
所以$AD^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2})$。
【答案】：证明过程如上述解析所示，通过延长$ND$构造全等三角形，利用勾股定理及其逆定理证明$\angle BAC = 90^{\circ}$，再根据直角三角形斜边中线定理得出$AD^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2})$。
1. 延长$ND$到点$E$，使$DE = DN$，连接$BE$、$ME$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDN$中，$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE=\angle CDN\\DE = DN\end{cases}$，根据“边角边”（$SAS$）全等判定定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CDN$。
所以$BE = CN$，$\angle EBD=\angle C$，则$BE// AC$。
2. 因为$\angle MDN = 90^{\circ}$，$DE = DN$，所以$MD$垂直平分$EN$，根据线段垂直平分线的性质，可得$ME = MN$。
3. 已知$BM^{2}+CN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$，又因为在$Rt\triangle MDN$中，根据勾股定理$MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}$，且$BE = CN$，所以$BM^{2}+BE^{2}=ME^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\angle MBE = 90^{\circ}$。
4. 因为$BE// AC$，所以$\angle BAC+\angle ABE = 180^{\circ}$，则$\angle BAC = 90^{\circ}$。
5. 在$Rt\triangle ABC$中，$AD$是斜边$BC$上的中线。
根据直角三角形斜边中线定理，可得$AD=\frac{1}{2}BC$。
由勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，将$AD=\frac{1}{2}BC$两边同时平方得$AD^{2}=\frac{1}{4}BC^{2}$。
所以$AD^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2})$。
【答案】：证明过程如上述解析所示，通过延长$ND$构造全等三角形，利用勾股定理及其逆定理证明$\angle BAC = 90^{\circ}$，再根据直角三角形斜边中线定理得出$AD^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2})$。
