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1 已知等腰三角形的顶角为$α$，腰长为$m$，则它的底边长可表示为 （
A.$2m$
B.$2m\sin\frac{α}{2}$
C.$2m\cos\frac{α}{2}$
D.$m\sinα$
B
）A.$2m$
B.$2m\sin\frac{α}{2}$
C.$2m\cos\frac{α}{2}$
D.$m\sinα$
答案
1. B
2 如图,在菱形ABCD中,$∠ ABC=60°$,E是CD的中点,则$\sin∠ EBC$的值为 （
A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{21}}{14}$
D.$\frac{5\sqrt{7}}{14}$
（第2题）
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{21}}{14}$
D.$\frac{5\sqrt{7}}{14}$
（第2题）答案
2. C
3 如图，$\odot O$的直径AB经过弦CD的中点H.若$\cos∠ CDB=\frac{4}{5},BD=5$,则$\odot O$的半径为（
A.$\frac{25}{6}$
B.$\frac{25}{3}$
C.$\frac{25}{8}$
D.$\frac{25}{4}$
A
）A.$\frac{25}{6}$
B.$\frac{25}{3}$
C.$\frac{25}{8}$
D.$\frac{25}{4}$
答案
3. A
4 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$∠ C=72°$，D是AB的中点，点E在AC上，$DE⊥ AB$，连接BE，则$\cos A$的值为 （
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C
）A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
4. C
5 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ ABC=60°$,$∠ BAC=∠ CAD=45°$,$AB+AD=2$,则$\odot O$的半径是（
A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
A
）A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
5. A 【解析】如图,延长 AB 到点 E,使得 BE=AD,连接 BD,CE.
∵ AB+AD=2,
∴ AB+BE=AE=2.
∵ 四边形ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠ADC+∠ABC=180°.
∵ ∠CBE+∠ABC=180°,
∴ ∠ADC = ∠CBE.
∵ ∠BAC = ∠CAD,
∴ ⌢BC=⌢CD.
∴ ∠DBC=∠CDB.
∴ BC=CD.
∴ △ADC≌△EBC.
∴ ∠ACD=∠ECB,CA=CE.
∴ ∠DCB=∠ACE.
∵ ∠DAB=∠BAC+∠CAD=45°+45°=90°,
∴ BD 是⊙O的直径.
∴ ∠DCB=90°.
∴ ∠ACE=90°.
∴ 在Rt△ACE 中,AC=AE·cos 45°=√2. 连接 CO 并延长,交⊙O 于点 F,连接AF,则∠FAC=90°,∠F=∠ABC=60°.
∴ CF=AC/sin60°=2√6/3.
∴ ⊙O 的半径为√6/3.
6（1）若锐角α满足$2\sin(α - 15°) - 1 = 0$，则$\tanα$的值为________；
（2）在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \dfrac{12}{13}$，则$\cos B$的值为________。
（2）在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \dfrac{12}{13}$，则$\cos B$的值为________。
答案
6. (1) 1 (2) $\frac{12}{13}$
7 在$△ ABC$中，$AB=3\sqrt{6}$，$AC=6$，$∠ B=45°$，则$BC$的长为
$3\sqrt{3}+3$或$3\sqrt{3}-3$
。答案
7. $3\sqrt{3}+3$或$3\sqrt{3}-3$
8 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象过点$P(1,1)$，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且$\tan∠ABO=3$，则点A的坐标是
$(-2,0)$或$(4,0)$
。答案
8. $(-2,0)$或$(4,0)$
9 [2026 苏州]如图,在等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,AB=2.将△ADE沿DE翻折得到△A'DE,若点A'恰好落在边BC上,则线段AD长度的最小值为
$4\sqrt{3}-6$
.答案
9. $4\sqrt{3}-6$ 【解析】如图,过点 D 作 DH ⊥ BC 于点 H,
∴ ∠DHB=∠DHA' = 90°.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠B=60°. 设 AD=x.
∵ AB=2,
∴ BD=AB−AD=2−x. 在△DHB 中,∠DHB=90°,
∴ sin B=DH/BD.
∴ DH=BD·sin B=(2−x)×sin 60°=$\frac{\sqrt{3}(2-x)}{2}$.
∵ 将△ADE 沿 DE 翻折得到△A'DE,点A'恰好落在边BC 上,
∴ AD=A'D=x.
∴ 当A'D 的长最小时,线段 AD 的长最小. 根据“垂线段最短”,得A'D≥DH.
∴ 当点 A'与点 H 重合时,A'D 的长最小,此时 AD的长最小.
∴ $x≥\frac{\sqrt{3}(2-x)}{2}$,解得 $x≥4\sqrt{3}-6$.
∴ x 的最小值为$4\sqrt{3}-6$.
∴ 线段 AD 长度的最小值为$4\sqrt{3}-6$.
